Oplossingen · hoofdstuk 19Elektrische en magnetische velden, inductie

$F=k\frac{|q_1{q}_2|}{r^2}=8,99\cdot 10^9\cdot \frac{3\cdot 10^{-9}\cdot 1\cdot 10^{-9}}{0,04^2}=16,9\mu \mathrm{N}$; tegengestelde tekens: ze trekken elkaar aan.

In $x=-2\mathrm{cm}$: $E_1=k\cdot 3\cdot 10^{-9}/0,02^2=67425V/m$ naar links (weg van de positieve lading); $E_2=k\cdot 10^{-9}/0,06^2=2497V/m$ naar rechts (naar de negatieve lading). Samen $64928V/m$ naar links.

Tussen de ladingen wijzen beide velden naar rechts: geen nul. Links van 0 overheerst altijd de grote, dichtere lading. Rechts van 4 cm wijzen ze tegen elkaar in, en de kleine lading ligt dichter: $\frac{3}{x^2}=\frac{1}{(x-4{)}^2}\Rightarrow \sqrt{3}(x-4)=x\Rightarrow x=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=9,46\mathrm{cm}$.

Uit de linkerlading vertrekken zestien lijnen, en de helft daarvan eindigt op de rechterlading: 8. Het aantal lijnen is evenredig met de lading: −1 nC 'vangt' de helft van de lijnen van +2 nC; de andere helft gaat naar oneindig (in de figuur: naar de rand).

Rechts van de negatieve lading op de as, waar de lijnen uit elkaar wijken (sommige buigen terug naar −1 nC, andere gaan naar rechts weg): rond $x\approx 6\mathrm{cm}$. Berekening: $\frac{2}{(x+1{)}^2}=\frac{1}{(x-1{)}^2}\Rightarrow x=(\sqrt{2}+1{)}^2=5,83\mathrm{cm}$.

Langs een equipotentiaallijn verandert V niet, dus de arbeid qΔV is nul; dat kan alleen als de kracht loodrecht op de verplaatsing staat, dus het veld loodrecht op de equipotentiaallijn. Langs de lijn van 0 V: geen arbeid.

$V=\frac{k\cdot 2q}{r_1}-\frac{kq}{r_2}=0\Rightarrow \frac{2}{r_1}=\frac{1}{r_2}\Rightarrow r_1=2r_2$: een cirkel van Apollonius (de verzameling punten waarvan de afstanden tot twee vaste punten een vaste verhouding hebben).

$C={\epsilon }_{0}A/d=8,854\cdot 10^{-12}\cdot 0,01/0,001=88,5\mathrm{pF}$; $Q=CU=8,85\mathrm{nC}$; $E=U/d=100kV/m$; $W=\frac{1}{2}C{U}^2=0,44\mu \mathrm{J}$.

$C$ wordt 2,2 keer groter: $195\mathrm{pF}$. De bron houdt $U=100\mathrm{V}$, dus $E=U/d$ blijft 100 kV/m, $Q$ en $W$ worden ook 2,2 keer groter (de bron levert extra lading).

Doorslag lucht ±3 kV/mm: $U_{\text{max}}\approx 3\mathrm{kV}$ (in de praktijk minder door de randen).

$B={\mu }_{0}I/(2\pi a)$: op 2 cm $900\mu \mathrm{T}$ (18 keer het aardveld), op 1,0 m $18\mu \mathrm{T}$ (ongeveer een derde ervan).

$B={\mu }_{0}NI/l=4\pi \cdot 10^{-7}\cdot 500\cdot 0,40/0,25=1,005\mathrm{mT}$.

$I=Bl/({\mu }_{0}N)=0,010\cdot 0,25/(4\pi \cdot 10^{-7}\cdot 500)=3,98\mathrm{A}$.

$\vec{v}\times \vec{B}=(0\cdot 0,01-0;0-2\cdot 10^6\cdot 0,01;0)=(0;-2\cdot 10^4;0)$. Met $q=-e$: $\vec{F}=(0;3,20\cdot 10^{-15};0)\mathrm{N}$, langs $+y$. $r=m_{e}v/(eB)=9,11\cdot 10^{-31}\cdot 2\cdot 10^6/(1,602\cdot 10^{-19}\cdot 0,01)=1,14\mathrm{mm}$.

$\vec{L}\times \vec{B}=(0,1\cdot 0,1-0;0-0;0-0,1\cdot 0,2)=(0,01;0;-0,02)$, maal 5: $\vec{F}=(0,05;0;-0,10)\mathrm{N}$, $|\vec{F}|=0,112\mathrm{N}$. $\vec{F}\cdot \vec{L}=0$ en $\vec{F}\cdot \vec{B}=0,05\cdot 0,2-0,10\cdot 0,1=0$. Klopt.

$\Phi =BA=0,40\cdot 12\cdot 10^{-4}=4,8\cdot 10^{-4}\mathrm{Wb}$; $N\Phi =0,096\mathrm{Wb}$.

$|e|=N\Delta \Phi /\Delta t=0,096/0,020=4,8\mathrm{V}$.

De flux gaat ook van $0,096\mathrm{Wb}$ naar 0 ($\cos 90^{\circ }=0$), nu in 10 ms: $9,6\mathrm{V}$.

$e=BLv=0,40\cdot 0,50\cdot 2,0=0,40\mathrm{V}$.

$N_2=1100\cdot 12/230=57,4$, dus 57 windingen.

$I_2=60/12=5,0\mathrm{A}$; $I_1=I_2{N}_2/N_1=60/230=0,261\mathrm{A}$.

$R_2=12/5=2,4\mathrm{\Omega }$; $R_1=(230/12{)}^2\cdot 2,4=882\mathrm{\Omega }$. Controle: $230^2/882=60\mathrm{W}$.

Voorspelling: de helft (8), omdat −1 nC de helft van de flux van +2 nC opvangt. Programma en echte uitvoer:

# veldlijnen2.py - +2 nC en -1 nC: hoeveel veldlijnen bereiken de negatieve lading, en waar is het veld nul?
import numpy as np

K = 8.99e9
ladingen = [(+2e-9, np.array([-0.01, 0.0])), (-1e-9, np.array([0.01, 0.0]))]


def veld(p):
    E = np.zeros(2)
    for q, a in ladingen:
        r = p - a
        E += K * q * r / np.linalg.norm(r) ** 3
    return E


def veldlijn(start, h=0.0002, n_max=6000):
    def richting(p):
        E = veld(p)
        return E / np.linalg.norm(E)
    p = np.array(start, float)
    lijn = [p]
    for _ in range(n_max):
        k1 = richting(p)
        k2 = richting(p + h / 2 * k1)
        k3 = richting(p + h / 2 * k2)
        k4 = richting(p + h * k3)
        p = p + h / 6 * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4)
        lijn.append(p)
        if np.linalg.norm(p - ladingen[1][1]) < 0.001:
            return np.array(lijn), True
        if np.linalg.norm(p) > 0.30:              # 30 cm ver: deze lijn gaat naar oneindig
            return np.array(lijn), False
    return np.array(lijn), False


hoeken = np.radians(11.25 + np.arange(0, 360, 22.5))    # niet precies op de as beginnen
lijnen = [veldlijn(ladingen[0][1] + 0.001 * np.array([np.cos(a), np.sin(a)])) for a in hoeken]
aan = sum(1 for _, op in lijnen if op)
print(f"{aan} van de {len(lijnen)} lijnen eindigen op -1 nC")

a, b = 0.011, 0.20                  # nulpunt op de x-as rechts van -1 nC: bisectie op E_x
for _ in range(50):
    m = (a + b) / 2
    if veld(np.array([a, 0.0]))[0] * veld(np.array([m, 0.0]))[0] <= 0:
        b = m
    else:
        a = m
print(f"E = 0 in x = {100 * m:.3f} cm (theorie {(1 + np.sqrt(2)) ** 2:.3f} cm)")

8 van de 16 lijnen eindigen op -1 nC
E = 0 in x = 5.828 cm (theorie 5.828 cm)

De bisectie staat in hetzelfde programma: het nulpunt ligt op 5,83 cm, zoals de theorie $(1+\sqrt{2}{)}^2\cdot 1\mathrm{cm}$.

In het nulpunt heeft E geen richting: E/|E| deelt door nul. De veldlijn uit de richting 90° loopt precies naar dat punt en splitst daar: een scheidingslijn tussen de lijnen die op −1 nC eindigen en die die weggaan. Daarom start het programma op 11,25° + k · 22,5°.

Twee elektroden in serie: elk 20 F. Per m² $0,142\mathrm{F}$, dus $20/0,142=141{\mathrm{m}}^2$ per elektrode, $94\mathrm{mg}$ kool in theorie; met de praktische 100 F/g per elektrode 0,2 g elk, 0,4 g samen: zo'n 12 % van de massa.

$W=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 2,7^2=36,5\mathrm{J}=10,1\mathrm{mWh}$; per kg $10,1/3,4=3,0Wh/kg$, ruim dertig keer minder dan LiFePO4. Kortsluitstroom $2,7/0,025=108\mathrm{A}$: dat is zijn sterkte, vermogen in plaats van energie.

$48/2,7=17,8$, dus 18 cellen in serie: $10/18=0,56\mathrm{F}$ bij 48,6 V. Cellen met een iets kleinere capaciteit of meer lekstroom krijgen een groter deel van de spanning en gaan boven 2,7 V: ze verouderen of falen. Elke cel krijgt daarom een balanceerschakeling (een parallelweerstand of een actieve schakeling).

$-3\mathrm{A}$: $2,5-0,555=1,945\mathrm{V}$, ruw $1,945/5\cdot 1024=398$. $+5\mathrm{A}$: $2,5+0,925=3,425\mathrm{V}$, ruw 701.

$4,88\mathrm{mV}/185mV/A=26\mathrm{mA}$ per stap (bij de 20 A-versie 49 mA). Een pomp van 1 A gebruikt bij de 20 A-versie maar 20 stappen van het bereik; de 5 A-versie is bijna twee keer fijner.

Ruis ±2 stappen ≈ 52 mA; middelen over $N$ metingen deelt door $\sqrt{N}$: $52/\sqrt{N}\le 10\Rightarrow N\ge 27$. Neem 32 metingen (en zorg dat de ruis echt toevallig is: bij PWM middel je over hele periodes, zoals A4 in de module).

De ene draad maakt op afstand $d$ een veld $B={\mu }_0{I}_1/(2\pi d)$, loodrecht op de tweede draad. Op een stuk $L$ daarvan: $F=I_{2}LB$, dus $F/L={\mu }_0{I}_1{I}_2/(2\pi d)$.

90 A: $F/L=2\cdot 10^{-7}\cdot 90^2/0,012=0,135N/m$, niets. 5,0 kA: $417N/m$, op 2 m ruim 833 N. Tegengestelde stromen stoten af.

De kabels worden bij een kortsluiting met honderden newton uit elkaar geslagen: bevestig ze om de paar decimeter met stevige klemmen, zodat ze niet losrukken of tegen scherpe randen slaan. De stroom moet zo snel mogelijk stoppen: de hoofdzekering hoort zo dicht mogelijk bij de pluspool, zodat de lange kabel beschermd is (zoals F6 van de meetkas, maar met een zekering die kA's kan onderbreken).

Voorbeeld met het model van het handboek (een echte meting wijkt enkele tientallen procent af, vooral in de pieken):

h (cm)	piek 1 (V)	piek 2 (V)	Δt (ms)	opp. 1 (mV·s)	opp. 2 (mV·s)
5	−0,78	0,88	12,1	−11,5	11,7
10	−1,15	1,22	8,6	−11,7	11,8
20	−1,64	1,69	6,1	−11,8	11,8

$\sqrt{2gh}$ is 0,99, 1,40 en 1,98 m/s: verhoudingen 1 : 1,41 : 2. De pieken schalen ongeveer zo (0,88, 1,22 en 1,69 V); de tweede piek groeit iets sneller omdat de magneet in de spoel nog versnelt.

De oppervlakte is $\int e\mathrm{d}t=-N\Delta \Phi =N{\Phi }_{\text{max}}$ (11,8 mV·s in het model), onafhankelijk van de snelheid: sneller vallen geeft een hogere maar kortere puls. (Bij 5 cm is de eerste oppervlakte iets kleiner: de magneet vertrekt al zo dicht bij de spoel dat de flux bij de start niet nul is.) Het is de maximale flux die de magneet door de spoel stuurt, dus een maat voor de magneet zelf: zo meet men magneten met een 'fluxmeter'.

Nu loopt er stroom in de spoel; die werkt de verandering van de flux tegen (Lenz): een afstotende kracht bij het naderen, een aantrekkende bij het verlaten. De magneet valt trager door de spoel, de pulsen worden lager en breder. De bewegingsenergie die hij minder krijgt, wordt warmte in de 10 Ω en in de spoel.

$I=12/160=75\mathrm{mA}$; $\tau =L/R=2,5\mathrm{ms}$; $W=\frac{1}{2}\cdot 0,40\cdot 0,075^2=1,12\mathrm{mJ}$.

$u=L\Delta i/\Delta t=0,40\cdot 0,075/10^{-6}=30\mathrm{kV}$. In werkelijkheid stijgt de spanning tot de MOSFET doorslaat (avalanche) en de energie opneemt, of tot er een vonk overspringt: op den duur gaat de transistor stuk.

Met $t=\tau \ln \frac{I_0+U_k/R}{0,2I_0+U_k/R}$: diode ($U_k=0,7\mathrm{V}$): $3,53\mathrm{ms}$; diode + zener ($U_k=24,7\mathrm{V}$): $0,76\mathrm{ms}$. De MOSFET ziet dan $12+24,7=36,7\mathrm{V}$, onder de 55 V.

$v_{\text{Cu}}=1,00/8,0=0,125m/s$, $v_{\text{Al}}=1,00/4,3=0,233m/s$ (de korte aanloop verwaarloosd). Vrije val over 1 m: $\sqrt{2/9,81}=0,45\mathrm{s}$: pvc geleidt niet, er lopen geen wervelstromen.

De bewegende magneet wekt wervelstromen op in de buiswand, en die remmen (Lenz) met een kracht $F=kv$. De magneet versnelt tot $kv=mg$: dan is de netto kracht nul en de snelheid constant, $v_t=mg/k$ (zoals een parachute in hoofdstuk 9, maar met $F$ evenredig met $v$).

$v_{\text{Al}}/v_{\text{Cu}}=1,86$ en ${\sigma }_{\text{Cu}}/{\sigma }_{\text{Al}}=5,96/3,2=1,86$: de eindsnelheid is omgekeerd evenredig met de geleidbaarheid. Dat klopt: bij dezelfde snelheid geeft een dubbel zo goede geleider dubbel zoveel wervelstroom, dus dubbel zoveel remkracht ($k\propto \sigma$).

$P=mgv=0,020\cdot 9,81\cdot 0,125=24,5\mathrm{mW}$: de zwaarte-energie wordt warmte in de buis (niet merkbaar). Met een lengtespleet kunnen de wervelstromen niet meer rondlopen in de omtrek: de remming valt grotendeels weg en de magneet valt veel sneller.

$N_1=230/(4,44\cdot 50\cdot 8\cdot 10^{-4}\cdot 1,2)=1079$; per secundaire $1079\cdot 12/230\cdot 1,08=60,8$, dus 61 windingen.

$I_1=50/230=0,217\mathrm{A}$: $0,072\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$ (Ø 0,30 mm). Elke secundaire 25 VA: $I=2,08\mathrm{A}$, $0,69\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$ (Ø 0,95 mm). Koper: $1079\cdot 0,072+2\cdot 61\cdot 0,69=163\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$, tegenover $0,40\cdot 400=160\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$: net te veel, en de isolatie tussen de lagen komt er nog bij. Kies een iets grotere kern, of een stroomdichtheid van 3,2 A/mm² (dan $\approx 152\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$; de draad wordt iets warmer).

Serie: het eind van de ene aan het begin van de andere (anders heffen de spanningen elkaar op: 0 V). Parallel: begin aan begin en eind aan eind; de spanningen moeten gelijk zijn (zelfde aantal windingen), anders loopt er een kringstroom tussen de twee spoelen.

Primaire en secundaire gescheiden door dubbele of versterkte isolatie (vaak twee kamers op de spoelvorm), een thermische zekering of een zekering aan de primaire kant, en een behuizing die niet onder spanning kan komen. De norm voor veiligheidstransformatoren is EN 61558-2-6.

Elk stukje $\mathrm{d}l$ van de winding staat loodrecht op de verbindingslijn naar het punt, met lengte $r=\sqrt{R^2+z^2}$: $\mathrm{d}B=\frac{{\mu }_{0}I\mathrm{d}l}{4\pi r^2}$. De componenten loodrecht op de as heffen elkaar rondom op; langs de as blijft $\mathrm{d}B\cdot R/r$. Rondom: $B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi r^2}\cdot \frac{R}{r}\cdot 2\pi R=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2(R^2+z^2{)}^{3/2}}$.

Met $g(z)=(R^2+z^2{)}^{-3/2}$ is $g^{\prime \prime }(z)=3(4z^2-R^2)(R^2+z^2{)}^{-7/2}$. Het totaal $g(z-d/2)+g(z+d/2)$ heeft in $z=0$ tweede afgeleide $2g^{\prime \prime }(d/2)$, en die is nul als $4(d/2{)}^2=R^2$, dus $d=R$.

In het midden: $2\cdot \frac{{\mu }_{0}NI{R}^2}{2(R^2+R^2/4{)}^{3/2}}=\frac{{\mu }_{0}NI}{R}(\frac{4}{5}{)}^{3/2}$, met $(4/5{)}^{3/2}=0,7155$. Met de getallen: $0,899\mathrm{mT}$.

Programma en echte uitvoer:

# helmholtz.py - hoe homogeen is het veld tussen twee spoelen op afstand d = R?
import numpy as np

mu0, N, I, R = 4e-7 * np.pi, 100, 1.0, 0.10


def B_lus(z, z0):
    """Veld op de as van een spoel van N windingen (straal R) in z0, in het punt z."""
    return mu0 * N * I * R**2 / (2 * (R**2 + (z - z0)**2) ** 1.5)


for d in (0.5 * R, R, 1.5 * R):
    z = np.array([0.0, 0.25 * R, 0.5 * R])
    B = B_lus(z, -d / 2) + B_lus(z, d / 2)
    afw = 100 * (B / B[0] - 1)
    print(f"d = {d / R:.1f} R: B(0) = {1000 * B[0]:.3f} mT, afwijking op R/4 {afw[1]:+.2f} %, op R/2 {afw[2]:+.2f} %")

d = 0.5 R: B(0) = 1.147 mT, afwijking op R/4 -6.06 %, op R/2 -21.96 %
d = 1.0 R: B(0) = 0.899 mT, afwijking op R/4 -0.42 %, op R/2 -5.42 %
d = 1.5 R: B(0) = 0.643 mT, afwijking op R/4 +4.40 %, op R/2 +12.97 %

Bij $d=R$ wijkt het veld op $R/4$ maar 0,42 % af: het is in een bol van een halve straal nagenoeg homogeen. Dichter bij elkaar ontstaat een bult, verder uit elkaar een dal.

Per fase: emk $E=k{\omega }_e$ (effectief) over de impedantie $R+j{\omega }_{e}L$ (hoofdstuk 7), dus $|I|=k{\omega }_e/\sqrt{R^2+{\omega }_e^2{L}^2}$. Mechanisch vermogen = warmte in de drie weerstanden: $M{\omega }_m=3I^{2}R$. (De zelfinductie neemt geen gemiddeld vermogen op.)

Met k = 0,379 V·s: 75 tpm: $I=33,6\mathrm{A}$, $M=216\mathrm{N}\mathrm{m}$; 150 tpm: $42,4\mathrm{A}$, $172\mathrm{N}\mathrm{m}$; 300 tpm: $46,0\mathrm{A}$, $101\mathrm{N}\mathrm{m}$. Het maximum ligt waar ${\omega }_{e}L=R$: $f=R/(2\pi L)=9,95\mathrm{Hz}$, $n=75\mathrm{tpm}$, met $M_{\text{max}}=3k^{2}p/(2L)=216\mathrm{N}\mathrm{m}$.

Bij hoge snelheid zet de zelfinductie de stroom vast (±47 A) en daalt het koppel als 1/ω: bij 300 tpm is het maar ±101 N·m, minder dan wat de wind bij sterke wind duwt. Een weggelopen rotor stopt de kortsluitrem niet; hij houdt wel een trage rotor stil. Dus: eerst het toerental laten zakken (dumpbelasting, uit de wind draaien), pas onder ±150 tpm kortsluiten, en de rotor dan vergrendelen.

$R=U_{\text{dc}}^2/P=223^2/3000=16,6\mathrm{\Omega }$, vermogensweerstand van minstens 3 kW (liefst 4 kW) met PWM-sturing door de omzetter. Nuttig: een verwarmingselement in het buffervat of de boiler van het station. Volgorde: batterij vol → omzetter stuurt het overschot naar de dump (regelt zo het toerental); boven 330 tpm → dump volledig aan en alarm; storm boven ±15 m/s → de turbine draait uit de wind (hoofdstuk 11); onder 150 tpm → kortsluitrem en mechanische vergrendeling voor onderhoud.

(a) Lagere spanning kan het schokrisico beperken. De richtwaarde 120 V geldt voor rimpelvrije gelijkspanning onder specifieke droge omstandigheden; zij garandeert geen veilige aanraking of onderhoudswerk. Vocht, geleidende omgeving, foutenergie en bescherming blijven bepalend (HSE: elektrische testveiligheid). Onderhoud aan de mast vraagt een geïsoleerde, gecontroleerd spanningsloze installatie en een vergrendelde rotor. Ook B blijft niet bij elk toerental onder 120 V: 0,25 V/tpm geeft bij 400 tpm 141 V piek. Prijs: 2,2 keer meer stroom, 4,8 keer meer kabelverlies bij dezelfde doorsnede, een buck-boost. (b) Het handboek blijft met 11,0 A per fase en ±1,6 % kabelverlies met 4 mm² zuinig; de spanning is lager dan die van het gewone 230 V-net (325 V piek). Isolatie, behuizing, scheiding en passende foutbescherming moeten voor dit generator-/DC-systeem afzonderlijk worden ontworpen en beproefd; een gewone netdifferentieelschakelaar bewijst die bescherming niet.

Technisch: dubbel geïsoleerde kabel in een beschermbuis, afgesloten behuizingen, een werkschakelaar die alle polen onderbreekt en vergrendeld kan worden, isolatiebewaking, onderdelen voor minstens 400 V, dumpbelasting tegen overtoeren. Organisatorisch: alleen spanningsloos werken, rotor vergrendeld (een draaiende generator is nooit spanningsloos!), procedure en opleiding. Technische maatregelen werken ook als iemand een fout maakt; organisatorische niet: dat pleit voor zoveel mogelijk techniek.