EExpert · deel E3 · Thermodynamica en stroming

Oplossingen · hoofdstuk 15De hoofdwetten van de thermodynamica

Energie verdwijnt nooit, maar ze verliest wel aan waarde: wat dat betekent voor motoren, centrales en het station

Uitgewerkte oplossingen bij de 18 opdrachten van het werkboek. Voor de leerkracht, en voor wie zichzelf wil verbeteren nadat hij het eerst zelf probeerde.

6× oefenen7× toepassen5× uitdagen± 580 min

EEnergie WWiskundig modelleren

Wat uit een koeltoren opstijgt, is geen rook maar waterdamp: de warmte die een centrale moet lozen omdat de tweede hoofdwet het zo wil.

Voor de leerkrachtDeze pagina bevat de antwoorden. Druk het werkboek af zonder deze pagina.

Oefenen

één stap, direct toepassen

15.1

Tekens in de eerste hoofdwet

Oefenen6Begrijpen15 min

Gebruik

Δ U = Q - W

met

Q > 0

als warmte naar het systeem gaat en

W > 0

als het systeem arbeid levert. Vul in (J).

a
Een gas krijgt 500 J warmte en zet uit, waarbij het 200 J arbeid levert.
$Q = + 500$ , $W = + 200$ : $Δ U = + 300 J$ .
b
Een fietspomp perst lucht samen met 80 J arbeid; de lucht geeft 30 J warmte af aan de pomp.
$W = - 80$ (arbeid op het gas), $Q = - 30$ : $Δ U = - 30 - (- 80) = + 50 J$ : de lucht warmt op.
c
Een gas zet adiabatisch uit en levert 150 J arbeid.
$Q = 0$ , $W = + 150$ : $Δ U = - 150 J$ : het gas koelt af.
d
Een kringproces neemt 1200 J warmte op en geeft 900 J af. Hoeveel arbeid levert het, en wat is ΔU over één ronde?
Over een ronde $Δ U = 0$ , dus $W = Q_{netto} = 1200 - 900 = 300 J$ (rendement 25 %).

15.2

Arbeid uit een pV-diagram

Oefenen6Rekenen20 min

Een gas doorloopt de rechthoekige kring in de figuur (1 bar = 10⁵ Pa, 1 L = 10⁻³ m³).

Een gas doorloopt de kring A → B → C → D → A.

a
Bereken de arbeid door het gas op elk van de vier stukken.
A → B: isobaar bij 1 bar, $W = 1 \cdot 1 0^{5} \cdot 2 \cdot 1 0^{- 3} = + 200 J$ ; B → C: isochoor, 0; C → D: isobaar bij 4 bar, $W = 4 \cdot 1 0^{5} \cdot (- 2 \cdot 1 0^{- 3}) = - 800 J$ ; D → A: isochoor, 0.
b
Hoeveel netto arbeid per ronde? Loopt de kring als motor of als warmtepomp?
Netto $200 - 800 = - 600 J$ : de omgeving levert 600 J aan het gas. De kring loopt tegen de klok in (uitzetten bij lage druk, samenpersen bij hoge): een warmtepomp of koelmachine. Andersom doorlopen is het een motor die 600 J levert, de oppervlakte $2 L \cdot 3 bar$ .
c
Als het een ideaal gas is: in welk hoekpunt is de temperatuur het hoogst, en hoeveel keer hoger dan in A?
$T \sim p V$ : in C ( $4 \cdot 3 = 12$ tegenover $1 \cdot 1 = 1$ in A): 12 keer zo hoog.

15.3

De vier processen voor één mol lucht

Oefenen6Rekenen25 min

Eén mol lucht (

c_{v} = \frac{5}{2} R

c_{p} = \frac{7}{2} R

γ = 1, 4

) start bij 300 K. Bereken

Q

W

Δ U

(J).

a
Isochoor opwarmen tot 400 K.
$Q = 2079$ , $W = 0$ , $Δ U = 2079 J$ .
b
Isobaar opwarmen tot 400 K.
$Q = 2910$ , $W = 831$ , $Δ U = 2079 J$ .
c
Isotherm uitzetten tot het dubbele volume.
$Q = 1729$ , $W = 1729$ , $Δ U = 0 J$ .
d
Adiabatisch uitzetten tot het dubbele volume. Wat is de eindtemperatuur?
$T_{2} = 300 \cdot 2^{- 0, 4} = 227, 4 K$ ; $Q = 0$ , $W = n c_{v} (T_{1} - T_{2}) = 1510 J$ , $Δ U = - 1510 J$ .

15.4

Rendementen

Oefenen6Rekenen20 min

Bereken het Carnot-rendement (temperaturen in kelvin!) en vergelijk met het echte rendement als dat gegeven is.

a
Een kerncentrale: stoom van 285 °C, koelwater van 25 °C; echt 33 %.
$1 - 298, 15/558, 15 = 46, 6 %$ : echt 71 % van Carnot.
b
Een thermo-elektrische generator op een houtkachel: 250 °C tegenover 30 °C; echt ±4 %.
$1 - 303, 15/523, 15 = 42, 1 %$ : de generator haalt maar een tiende daarvan (halfgeleiders zijn slechte motoren).
c
Een motor die de warmte van de oceaan (25 °C aan het oppervlak, 5 °C op 1000 m diep) gebruikt (OTEC).
$1 - 278, 15/298, 15 = 6, 7 %$ : heel weinig. Een OTEC-centrale moet enorme hoeveelheden water verpompen voor een beetje arbeid; de pompen zelf eten een groot deel op.
d
Waarom verhoogt het rendement meer als je de koude kant 10 K kouder maakt dan als je de hete kant 10 K warmer maakt?
$η = 1 - T_{c} / T_{h}$ : $\partial η / \partial T_{c} = - 1/ T_{h}$ en $\partial η / \partial T_{h} = T_{c} / T_{h}^{2}$ . Omdat $T_{c} < T_{h}$ is $1/ T_{h} > T_{c} / T_{h}^{2}$ : een graad aan de koude kant is meer waard. Daarom zijn koeltorens en koud koelwater belangrijk.

15.5

Entropie berekenen

Oefenen6Rekenen20 min

Gebruik

Δ S = Q / T

(constante T),

Δ S = m c ln (T_{2} / T_{1})

Δ S = n R ln (V_{2} / V_{1})

a
0,5 kg water van 20 °C wordt opgewarmd tot 100 °C. Bereken ΔS van het water.
$0, 5 \cdot 4186 \cdot ln (373, 15/293, 15) = 505 J/K$ .
b
Daarna verdampt het bij 100 °C (2257 kJ/kg). Bereken ΔS.
$0, 5 \cdot 2257 000/373, 15 = 3024 J/K$ : verdampen wint veel meer entropie dan opwarmen.
c
2 mol gas zet isotherm uit van 10 L tot 50 L. Bereken ΔS van het gas. Als het gebeurt door een klep te openen naar een lege ruimte (vrije expansie, Q = 0), wat is dan ΔS van het gas en van de omgeving?
$Δ S = 2 \cdot 8, 314 \cdot ln 5 = 26, 8 J/K$ . Bij vrije expansie is de eindtoestand dezelfde, dus ook $Δ S_{gas} = + 26, 8 J/K$ (toestandsgrootheid), maar de omgeving verandert niet ( $Q = 0$ ): de totale entropie stijgt met 26,8 J/K. Bij het omkeerbare isotherme proces verliest de omgeving evenveel als het gas wint: totaal 0.

15.6

Kan dit?

Oefenen6Begrijpen15 min

Zeg telkens of het kan volgens de hoofdwetten, en waarom (een zin).

a
Een schip vaart op de warmte van het zeewater: het pompt water binnen, haalt er warmte uit en loost het ijskoud.
Nee: arbeid uit één warmtebron zonder een koudere bron is een perpetuum mobile van de tweede soort (Kelvin-Planck).
b
In een warme kamer zet je de deur van de koelkast open om de kamer te koelen.
Nee: de koelkast pompt de warmte uit haar binnenkant naar het rooster achteraan, in dezelfde kamer, en voegt de warmte van haar motor toe. De kamer wordt warmer.
c
Een verkoper belooft een warmtepomp die bij 0 °C buiten 20 kW warmte levert voor 1 kW stroom, met water van 35 °C.
Nee: het maximum is $T_{h} / (T_{h} - T_{c}) = 308/35 = 8, 8$ (hoofdstuk 16); 20 kan niet, zelfs een perfecte machine haalt maar 8,8 kW.
d
Een zonnepaneel zet 22 % van het licht om in elektriciteit, meer dan een 'Carnot-rendement' zou toelaten met een omgeving van 20 °C en een paneel van 50 °C.
Het kan: een zonnepaneel is geen warmtemotor. Het zet het licht rechtstreeks om (elk foton maakt een elektron-gatpaar), niet via warmte van het paneel. De bovengrens volgt uit de 'temperatuur' van het zonlicht (±5800 K) en de fysica van de halfgeleider (de grens van Shockley en Queisser, ±33 % voor één laag silicium).

Toepassen

meerdere stappen, in een context

15.7

Labo: arbeid wordt warmte met loodhagel

Toepassen7Labo50 min

Voer de proef met de loodhagel uit het handboek uit (of met koperhagel, c = 385 J/(kg·K)). Werk in een team: één persoon keert, één telt, één meet.

a
Noteer de temperatuur na 0, 25, 50, 75 en 100 keer omkeren, en de valhoogte.
Voorbeeld: 0: 20,4 °C, 25: 22,0 °C, 50: 23,4 °C, 75: 24,8 °C, 100: 26,1 °C; ideaal 7,2 K per 100 keer.
b
Zet ΔT uit tegen het aantal en bepaal de helling. Vergelijk met gh/c.
Helling ±0,057 K per omkering tegenover $g h / c = 9, 81 \cdot 0, 95/129 = 0, 072$ K.
c
Welk deel van de arbeid wordt warmte van de hagel? Noem drie oorzaken van het verschil en hoe je ze kleiner maakt.
Ongeveer 79 %. Oorzaken: warmte naar de buis en de lucht (een dunwandige, isolerende buis gebruiken), afkoelen tijdens het meten (sensor in de buis laten), de hagel valt niet altijd over de volle hoogte (snel en recht omkeren), een deel van de energie gaat in geluid en in de buis bij de klap.
d
Waarom hangt de temperatuurstijging niet af van de massa hagel? Waarom geeft koper een kleinere stijging?
Arbeid $N m g h$ en warmte $m c Δ T$ zijn allebei evenredig met $m$ : $Δ T = N g h / c$ . Koper heeft een drie keer grotere $c$ : drie keer minder stijging.

Zo wordt dit beoordeeld

Meting	Vijf punten, valhoogte gecorrigeerd voor de dikte van de laag, beginwaarde na evenwicht.
Verwerking	Grafiek met rechte, helling vergeleken met gh/c.
Interpretatie	Verhouding berekend; verliezen naar buis en lucht, afkoelen tijdens meten, onvolledige val.
Veiligheid	Lood in een gesloten zakje, handschoenen, handen wassen.

15.8

Een dieselmotor samenpersen

Toepassen7Rekenen25 min

Een cilinder van een dieselmotor bevat 0,50 L lucht van 1,0 bar en 20 °C. De compressieverhouding is 18. Neem aan dat het samenpersen adiabatisch is (γ = 1,4).

a
Bereken de druk en de temperatuur aan het eind van het samenpersen.
$p_{2} = 1 8^{1, 4} = 57 bar$ ; $T_{2} = 293, 15 \cdot 1 8^{0, 4} = 932 K$ (658 °C).
b
Bereken de arbeid die de zuiger op de lucht verricht.
$W_{op} = \frac{p _{2} V _{2} - p _{1} V _{1}}{γ - 1} = \frac{57 , 2 \cdot 1 0 ^{5} \cdot 0 , 5/18 \cdot 1 0 ^{- 3} - 50}{0 , 4} = 272 J$ .
c
De motor draait met 2000 tpm en heeft 4 cilinders; een cilinder perst één keer samen per twee omwentelingen. Welk vermogen gaat naar het samenpersen alleen? Waar komt die energie terug?
Per seconde: $4 \cdot 2000/60/2 = 66, 7$ keer samenpersen: $18, 1 kW$ . Die energie komt bijna volledig terug bij het uitzetten (de adiabaat van de arbeidsslag); alleen de warmte die tijdens het samenpersen naar de wand lekt, is verloren.

15.9

Een Stirling-motor met cijfers

Toepassen7Rekenen30 min

Een Stirling-motor bevat 0,050 mol helium (c_v = 3/2 R) tussen 900 K en 300 K; het volume verdubbelt op de hete isotherm. De kring: isotherm uitzetten bij 900 K, isochoor afkoelen tot 300 K, isotherm samenpersen bij 300 K, isochoor opwarmen tot 900 K.

a
Bereken de netto arbeid per cyclus.
$W = n R (T_{h} - T_{c}) ln 2 = 0, 05 \cdot 8, 314 \cdot 600 \cdot 0, 693 = 173 J$ .
b
Bereken het rendement zonder regenerator (alle warmte bij het isochore opwarmen komt uit de bron).
$Q_{in} = n R T_{h} ln 2 + n c_{v} (T_{h} - T_{c}) = 259 + 374 = 633 J$ (met $c_{v} = \frac{3}{2} R$ voor helium); $η = 27, 3 %$ .
c
Bereken het rendement met een perfecte regenerator en vergelijk met Carnot.
Met regenerator: $η = W / (n R T_{h} ln 2) = 1 - 300/900 = 66, 7 %$ : Carnot.
d
Waarom gebruikt men helium (of waterstof) in plaats van lucht?
Helium en waterstof zijn licht en hun moleculen snel: ze geleiden warmte veel beter en stromen gemakkelijk door de regenerator, zodat de motor sneller kan draaien. Helium is bovendien inert en eenatomig (hoge γ).

15.10

Code: arbeid uit een gemeten indicatordiagram

Toepassen7Programmeren35 min

Een drukopnemer en een hoeksensor op een kleine luchtcompressor leveren 36 punten (V, p) per omwenteling (het bestand indicator.csv bij het codeblad 'Een kringproces numeriek integreren' in het handboek, kolommen V_L;p_bar). De compressor draait met 1450 tpm. De metingen:

V (L)	0,300	0,298	0,292	0,282	0,268	0,252	0,233	0,211	0,188	0,165	0,142	0,119
p (bar)	0,98	1,01	0,99	1,06	1,18	1,28	1,38	1,53	1,76	2,08	2,57	3,15

V (L)	0,098	0,078	0,062	0,048	0,038	0,032	0,030	0,032	0,038	0,048	0,062	0,078
p (bar)	4,06	5,35	6,03	5,99	5,97	6,01	6,01	5,55	4,46	3,32	2,44	1,79

V (L)	0,098	0,119	0,142	0,165	0,188	0,211	0,233	0,252	0,268	0,282	0,292	0,298
p (bar)	1,37	0,98	1,07	1,03	1,00	0,99	0,99	0,99	1,01	0,95	1,01	1,02

Gemeten druk en volume in een kleine compressor, 36 punten per omwenteling.

Lees het bestand in en bereken de netto arbeid per cyclus met de trapeziumregel. Let op: sluit de kring.

Bijvoorbeeld:

import numpy as np

meting = np.loadtxt("indicator.csv", delimiter=";", skiprows=1)     # kolommen: V (L), p (bar)
V = np.append(meting[:, 0], meting[0, 0]) * 1e-3    # sluit de kring: terug naar het eerste punt
p = np.append(meting[:, 1], meting[0, 1]) * 1e5
W = np.trapezoid(p, V)                              # ∮ p dV (trapeziumregel)
print(f"netto arbeid door het gas per cyclus: {W:.1f} J")
print(f"bij 1450 tpm: {abs(W) * 1450 / 60:.0f} W")

Uitvoer (met de meting van de figuur):

netto arbeid door het gas per cyclus: -37.1 J
bij 1450 tpm: 897 W

b
Is de arbeid positief of negatief, en wat betekent dat? Hoeveel mechanisch vermogen vraagt de compressor aan het gas?
Negatief: de kring loopt tegen de klok in (samenpersen bij hoge druk, aanzuigen bij lage), het gas krijgt netto arbeid: 37,1 J per cyclus, of 897 W aan het gas (de motor levert meer, door wrijving en verliezen).
c
Waarom geeft een meting met maar 36 punten per cyclus een fout, en in welke richting? Hoe controleer je dat?
De trapeziumregel vervangt de kromme tussen twee punten door een rechte. In de hoeken (kleppen die openen) verandert de druk snel: daar mist de meting details. Controle: dezelfde meting met de helft van de punten (om de twee) verwerken; verandert het resultaat nauwelijks, dan volstaan 36 punten (hoofdstuk 3: fout ~ h²).

15.11

Een centrale en haar koelwater

Toepassen7Rekenen25 min

Een STEG-centrale (gas- en stoomturbine) levert 400 MW elektrisch met een rendement van 58 %. De stoomturbine loost haar warmte via een condensor aan rivierwater. Een warmtekrachtkoppeling zou de stoom laten condenseren bij 90 °C voor een warmtenet; dan daalt de elektriciteit tot 360 MW.

a
Hoeveel warmte gaat naar de condensor (neem aan dat 10 % van de brandstofenergie met de rookgassen weggaat)?
Brandstof $400/0, 58 = 690 MW$ ; rookgassen $69 MW$ ; condensor $690 - 400 - 69 = 221 MW$ .
b
Hoeveel rivierwater per seconde als het 7 °C mag opwarmen?
$\overset{m}{˙} = 221 \cdot 1 0^{6} / (4186 \cdot 7) = 7532 kg/s$ , ongeveer 7,5 m³/s.
c
Met warmtekrachtkoppeling: hoeveel warmte kan het warmtenet krijgen (zelfde rookgasverlies), en welk deel van de brandstof wordt dan nuttig gebruikt?
Warmte naar het net: $690 \cdot 0, 9 - 360 = 261 MW$ . Nuttig: $(360 + 261) /690 = 90 %$ . Voor 40 MW minder elektriciteit komt er 261 MW nuttige warmte bij: ruim 6 keer meer, omdat warmte van 90 °C 'weinig arbeid waard' is.

15.12

Habitat: de jaarbalans en het Sankey-diagram

Toepassen7Habitat70 min

Gebruik jaar.py uit het handboek en de tabel met de jaarstromen. Het team wil weten wat drie keuzes veranderen: (1) 2,0 kWp extra zonnepanelen, (2) een windturbine op een plek met gemiddeld 5,0 m/s in plaats van 4,0 m/s (de windenergie wordt dan 1,89 keer zo groot, volgens de vermogenscurve), (3) de verwarming zuiniger maken: een warmtepomp met een seizoensgemiddelde COP van 4 (hoofdstuk 16).

a
Pas jaar.py aan voor elke keuze afzonderlijk en noteer het tekort (net) en het overschot per jaar.
Met dezelfde maandwaarden: basis: net 175 kWh, overschot 3014 kWh, tekort in jan, dec; +2 kWp: net 12 kWh, overschot 4846 kWh, tekort in dec; wind 5 m/s: net 0 kWh, overschot 4881 kWh, tekort in geen maand; warmtepomp: net 0 kWh, overschot 3586 kWh, tekort in geen maand.
b
Teken met sankey() of met de hand het Sankey-diagram van de elektriciteitsketen voor de beste variant.
Bijvoorbeeld de warmtepomp: sankey(E_in = zon + wind + net, verliezen = [overschot, omzetverlies], nuttig = verbruik + verwarming/4). De overschotband wordt nog breder, de verwarmingsband smaller.
c
Waarom helpt extra zon zo weinig tegen het tekort in december? Reken het na met de maandwaarden.
In december levert 1 kWp maar $1, 25 \cdot 31 = 38, 8 kWh$ , in juni $3, 54 \cdot 30 = 106, 2 kWh$ . 2 kWp extra geeft in december 78 kWh, terwijl het tekort daar 90 kWh is: je hebt veel panelen nodig voor een kleine winst, en in de zomer groeit het overschot enorm.
d
Schrijf een advies van vijf regels voor het dossier.
Bijvoorbeeld: 'Het knelpunt is december-januari, niet het jaartotaal. De warmtepomp (hoofdstuk 16) haalt het tekort weg met het minste materiaal; extra panelen helpen weinig in de winter en vergroten het zomeroverschot; een betere windplek helpt in de winter het meest, maar hangt af van het terrein. Advies: warmtepomp, en de wind op het proefterrein een jaar meten met de weermast voor we de turbine definitief plaatsen.'

Zo wordt dit beoordeeld

Code	Varianten correct ingevoerd (kWp, windfactor, warmte/4), resultaten per maand gecontroleerd.
Tabel	Net, overschot en tekortmaanden voor alle varianten.
Sankey	Banden evenredig, labels met kWh, in = uit.
Advies	Winter als knelpunt herkend; combinatie van maatregelen onderbouwd met getallen.

15.13

Waarom stoken we? Emden nagerekend

Toepassen7Analyseren25 min

In het handboek bleef de inwendige energie van de lucht in de woonmodule gelijk bij het opwarmen van 15 naar 20 °C. Reken dat precies na (ideaal gas, U = n c_v T, V = 62,4 m³, p = 1013 hPa).

a
Bereken n en U van de lucht in de module bij 15 °C en bij 20 °C.
$n_{15} = p V / (R T) = 2639 mol$ , $n_{20} = 2594 mol$ . $U = n c_{v} T = \frac{5}{2} p V = 15, 81 MJ$ in beide gevallen: $n T$ blijft gelijk.
b
Hoeveel mol lucht is naar buiten gegaan, en hoeveel inwendige energie namen die moleculen mee?
$Δ n = 45, 0 mol$ naar buiten, met gemiddeld ongeveer $c_{v} T$ per mol: $272 kJ$ (bij ±17,5 °C).
c
Waar is de warmte van de verwarming dan wel gebleven? Maak een energiebalans.
De warmte ( $n c_{p} Δ T \approx 377 kJ$ voor de lucht alleen) verdween met de uitgeduwde lucht (haar inwendige energie én de arbeid $p Δ V$ die ze deed om buiten plaats te maken) en ging, vooral, naar de wanden en de meubels, die de rest van de 540 kJ/K vormen. Wat we kopen is een hogere temperatuur, niet meer energie in de lucht.

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

15.14

Afleiding: de adiabaat en de relatie van Mayer

Uitdagen8Analyseren30 min

Vertrek van de eerste hoofdwet

d U = δ Q - p d V

U = n c_{v} T

voor een ideaal gas.

a
Leid $c_{p} = c_{v} + R$ af door een isobaar proces te bekijken.
Isobaar: $δ Q = n c_{p} d T$ en $p d V = n R d T$ (uit $p V = n R T$ met $p$ constant). Eerste hoofdwet: $n c_{v} d T = n c_{p} d T - n R d T$ , dus $c_{p} = c_{v} + R$ .
b
Leid $p V^{γ}$ = constant af voor een adiabatisch proces. Werk eerst in $T$ en $V$ , zet dan om.
$δ Q = 0$ : $n c_{v} d T = - \frac{n R T}{V} d V$ , dus $\frac{c _{v}}{R} \frac{d T}{T} = - \frac{d V}{V}$ . Integreren: $\frac{c _{v}}{R} ln T + ln V = c$ , of $T V^{R / c_{v}} = T V^{γ - 1}$ = constant (want $R / c_{v} = (c_{p} - c_{v}) / c_{v} = γ - 1$ ). Met $T = p V / (n R)$ : $p V \cdot V^{γ - 1} = p V^{γ}$ = constant.
c
Toon dat de arbeid bij een adiabatisch proces $W = \frac{p _{1} V _{1} - p _{2} V _{2}}{γ - 1}$ is, (a) uit de eerste hoofdwet en (b) door $\int p d V$ uit te rekenen.
(a) $Q = 0$ : $W = - Δ U = n c_{v} (T_{1} - T_{2}) = \frac{c _{v}}{R} (p_{1} V_{1} - p_{2} V_{2}) = \frac{p _{1} V _{1} - p _{2} V _{2}}{γ - 1}$ . (b) $p = p_{1} V_{1}^{γ} V^{- γ}$ : $\int_{V_{1}}^{V_{2}} p d V = p_{1} V_{1}^{γ} \frac{V _{2}^{1 - γ} - V _{1}^{1 - γ}}{1 - γ} = \frac{p _{2} V _{2} - p _{1} V _{1}}{1 - γ}$ : hetzelfde.
d
De geluidssnelheid in een gas is $γ p / ρ$ (geluid is zo snel dat de drukgolf adiabatisch is). Bereken ze in lucht bij 20 °C, en met $γ = 1$ (Newton dacht isotherm). Welke klopt met 343 m/s?
$ρ = pM / (R T)$ , dus $γ p / ρ = γ R T / M$ : $γ = 1, 4$ geeft $343 m/s$ , $γ = 1$ geeft $290 m/s$ . De adiabatische klopt; Newton zat er in 1687 15 % naast, Laplace verbeterde het in 1816.

15.15

Het rendement bij maximaal vermogen

Uitdagen9Analyseren45 min

Een Carnot-motor levert geen vermogen: de warmte moet zonder temperatuurverschil stromen. Een echte motor krijgt warmte van een bron bij

T_{h}

via een warmtewisselaar:

\dot{Q}_{h} = K (T_{h} - T_{hw})

, en geeft af aan

T_{c}

\dot{Q}_{c} = K (T_{cw} - T_{c})

(dezelfde geleiding

K

). Tussen

T_{hw}

T_{cw}

werkt hij omkeerbaar, met rendement

η = 1 - T_{cw} / T_{hw}

a
Toon dat $T_{hw} = \frac{T _{h} ( 1 - η ) + T _{c}}{2 ( 1 - η )}$ en schrijf het vermogen $P = η \dot{Q}_{h}$ als functie van $η$ .
Omkeerbaar binnenin: $\dot{Q}_{c} = (1 - η) \dot{Q}_{h}$ en $T_{cw} = (1 - η) T_{hw}$ . Dus $K ((1 - η) T_{hw} - T_{c}) = (1 - η) K (T_{h} - T_{hw})$ , wat geeft $2 (1 - η) T_{hw} = T_{h} (1 - η) + T_{c}$ . Dan $P = η K (T_{h} - T_{hw}) = \frac{η K}{2} (T_{h} - \frac{T _{c}}{1 - η})$ .
b
Toon (stel $u = 1 - η$ en leid af) dat $P$ maximaal is bij $η = 1 - T_{c} / T_{h}$ .
Met $u = 1 - η$ : $P = \frac{K}{2} (1 - u) (T_{h} - T_{c} / u)$ . $\frac{d P}{d u} = \frac{K}{2} (- T_{h} + \frac{T _{c}}{u} + \frac{( 1 - u ) T _{c}}{u ^{2}}) = \frac{K}{2} (- T_{h} + \frac{T _{c}}{u ^{2}}) = 0$ : $u = T_{c} / T_{h}$ , dus $η = 1 - T_{c} / T_{h}$ .

Controleer numeriek met Python voor 600 K en 300 K, K = 100 W/K.

Bijvoorbeeld:

import numpy as np

Th, Tc, K = 600.0, 300.0, 100.0                 # K, K, W/K (dezelfde geleiding aan beide kanten)
eta = np.linspace(0.001, 1 - Tc / Th - 0.001, 20000)
Thw = (Th * (1 - eta) + Tc) / (2 * (1 - eta))   # temperatuur waarbij de machine de warmte opneemt
P = eta * K * (Th - Thw)                        # vermogen = rendement x warmtestroom
i = np.argmax(P)
print(f"max vermogen {P[i]:.1f} W bij rendement {eta[i]:.4f}")
print(f"1 - sqrt(Tc/Th) = {1 - np.sqrt(Tc / Th):.4f}, Carnot = {1 - Tc / Th:.4f}")

Uitvoer:

max vermogen 2573.6 W bij rendement 0.2929
1 - sqrt(Tc/Th) = 0.2929, Carnot = 0.5000

d
Waarom bouwen ingenieurs toch centrales die iets beter doen dan dit rendement?
Brandstof kost geld en CO₂: wie meer investeert in grotere warmtewisselaars (hogere K) en betere materialen (hogere Th), schuift richting Carnot en verbruikt minder brandstof per kWh. Het optimum is een economisch compromis; CA is het rendement als warmtewisselaars 'duur' zijn en brandstof 'gratis'.

Zo wordt dit beoordeeld

Afleiding	Stationaire balans correct (Q̇c = (1 − η) Q̇h), Thw opgelost, P(η) opgeschreven.
Optimum	Afgeleide naar u correct, u = √(Tc/Th).
Code	Numeriek maximum gevonden en vergeleken.
Interpretatie	Afweging kosten van de warmtewisselaar tegenover brandstof; η tussen CA en Carnot.

15.16

Onderzoek: entropie en toeval

Uitdagen8Programmeren40 min

Het model van Paul en Tatjana Ehrenfest (1907): N moleculen in twee helften van een doos. Elke stap kies je één willekeurige molecule en zet je ze in de andere helft. In het begin zitten ze allemaal links.

Simuleer 2000 stappen voor N = 100 en rapporteer hoe het aantal links verloopt.

Bijvoorbeeld:

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(16)
N = 100                                   # moleculen, allemaal links bij de start
links = N
reeks = [links]
for stap in range(2000):                  # telkens één willekeurige molecule van helft wisselen
    if rng.random() < links / N:
        links -= 1
    else:
        links += 1
    reeks.append(links)
reeks = np.array(reeks)
print(f"na 50 stappen links: {reeks[50]}, na 200: {reeks[200]}, na 2000: {reeks[-1]}")
print(f"gemiddeld over stap 500-2000: {reeks[500:].mean():.1f}, standaardafwijking {reeks[500:].std():.1f}")
print(f"keren dat alles terug links zat na stap 0: {(reeks[1:] == N).sum()}")

Uitvoer:

na 50 stappen links: 70, na 200: 38, na 2000: 50
gemiddeld over stap 500-2000: 51.4, standaardafwijking 5.5
keren dat alles terug links zat na stap 0: 0

b
Wat is het gemiddelde en de spreiding na het inschommelen? Vergelijk met N/2 en √N/2.
Het aantal links schommelt rond 50 met een standaardafwijking van ongeveer √N/2 = 5, zoals een binomiale verdeling met p = ½ (hoofdstuk 6).
c
Het model is omkeerbaar: elke stap kan ongedaan gemaakt worden. Waarom keert het systeem toch (bijna) nooit terug naar 'alles links'? Wat zegt dat over de tweede hoofdwet?
Van de 2¹⁰⁰ ≈ 10³⁰ schikkingen is er maar één met alles links; het systeem dwaalt willekeurig rond, en bijna alle schikkingen liggen rond 50. Terugkeren kan in principe, maar zou gemiddeld 2¹⁰⁰ stappen duren. De tweede hoofdwet is geen verbod, maar een overweldigende waarschijnlijkheid, die voor een mol gas absoluut wordt.

Zo wordt dit beoordeeld

Code	Correcte stap: kans links/N dat een linkse molecule gekozen wordt.
Resultaat	Nadering tot 50, schommelingen ±5 herkend.
Interpretatie	Onomkeerbaarheid als statistiek: 2^N schikkingen, 'alles links' is er één.

15.17

Debat: elektrisch verwarmen is 100 % efficiënt

Uitdagen8Argumenteren40 min

Stelling van een bewoner: 'Onze noodverwarming zet 100 % van de stroom om in warmte. Beter kan niet, dus een warmtepomp is overbodig.' Gebruik de eerste en de tweede hoofdwet, en de jaarbalans van het station.

a
Wat klopt er aan de stelling (eerste hoofdwet)?
Energie gaat niet verloren: een weerstand zet alle elektrische energie om in warmte in de kamer.
b
Wat klopt er niet (tweede hoofdwet)? Bereken hoeveel warmte een ideale warmtepomp met 1 kWh stroom kan leveren bij 0 °C buiten en 35 °C water.
Maar elektriciteit is arbeid: je kan ermee warmte uit de buitenlucht naar binnen pompen. Ideaal: $Q_{h} / W = T_{h} / (T_{h} - T_{c}) = 308, 15/35 = 8, 8$ : bijna 9 kWh warmte per kWh stroom. Elektrisch verwarmen gooit dat voordeel weg: van de tweede hoofdwet uit bekeken heeft het een rendement van ongeveer 11 %.
c
Neem een standpunt in voor het station, met twee getallen uit de jaarbalans.
Bijvoorbeeld: 'Voor het station telt het in de winter: de verwarming vraagt 897 kWh per jaar, bijna allemaal van november tot februari, en in december en januari is er 175 kWh tekort. Een warmtepomp met een COP van 3 à 4 haalt dat tekort weg. Het nadeel (kosten, geluid, ontdooien) is klein tegenover het voordeel, en de noodverwarming blijft als reserve.'

Zo wordt dit beoordeeld

Eerste hoofdwet	Alle elektrische energie wordt warmte: 'rendement' 100 %.
Tweede hoofdwet	Elektriciteit is hoogwaardig; COP van Carnot berekend (±8,8); verspilling van exergie.
Standpunt	Getallen: verwarming en net-tekort in de winter; afweging kosten en complexiteit.

15.18

Ontwerp: de restwarmte van het station benutten

Uitdagen8Ontwerpen50 min

Het station verliest warmte op plaatsen waar ze misschien nuttig kan zijn: het douchewater (2 bewoners × 40 L per dag, van 38 °C naar de afvoer), de ventilatielucht (al met WTW), de omvormer en de batterijen (±500 kWh per jaar), de koelkast (haar condensor). Een douchewater-warmtewisselaar (een koperen buis rond de afvoer) haalt ±50 % van het temperatuurverschil tussen afvoerwater en koud leidingwater (10 °C) terug.

a
Hoeveel warmte (kWh per jaar) gaat met het douchewater verloren, en hoeveel kan de warmtewisselaar terugwinnen?
Per dag $80 kg \cdot 4186 \cdot (38 - 10) = 9, 38 MJ = 2, 60 kWh$ ; per jaar 951 kWh. Terug: ±475 kWh per jaar (en het warme water moet minder opgewarmd worden).
b
Waarom is de warmte van de omvormer in de winter nuttig en in de zomer lastig? Stel een oplossing voor.
In de winter vervangt ze verwarming (ze staat binnen de schil). In de zomer moet ze extra weggeventileerd worden. Oplossing: de technische ruimte met een zomerklep rechtstreeks naar buiten ventileren (thermostaat), in de winter naar de woonruimte.
c
Maak een ontwerpschets van één maatregel, met de plaats in het station en wat het brein moet meten.
Bijvoorbeeld: een verticale douchewater-warmtewisselaar onder de douche, het koude water voor de douchemengkraan stroomt erdoorheen; het brein meet de temperatuur voor en na (twee NTC's) en telt de teruggewonnen energie.
d
Welke maatregel levert per euro het meeste op? Schat en beargumenteer.
De douchewater-warmtewisselaar (±475 kWh per jaar, eenvoudig, geen bewegende delen, enkele honderden euro) wint het meest per euro; de omvormerwarmte beter gebruiken kost bijna niets (een klep). Een warmtepomp op de afvoer is complexer en duurder.

Zo wordt dit beoordeeld

Berekening	Douchewater: m c ΔT per dag en per jaar; 50 % terug.
Omvormer	Winst in de winter, last in de zomer; oplossing (ventilatie of plaats) onderbouwd.
Ontwerp	Schets met plaats, stromen en metingen.
Afweging	Kosten, eenvoud, onderhoud en opbrengst vergeleken.