StemExpert

Expert · Werkboek · 15. De hoofdwetten van de thermodynamica
StemExpert · Brecht Corbeel · schoolium.me

EExpert · deel E3 · Thermodynamica en stroming

Werkboek · hoofdstuk 15De hoofdwetten van de thermodynamica

Energie verdwijnt nooit, maar ze verliest wel aan waarde: wat dat betekent voor motoren, centrales en het station

Je oefent eerst de tekens van de eerste hoofdwet, arbeid in pV-diagrammen, de vier processen, rendementen en entropie. In de tweede trede meet je het warmte-equivalent van arbeid, reken je aan een diesel, een Stirling-motor en een centrale, integreer je een gemeten indicatordiagram en maak je de jaarbalans en het Sankey-diagram van het station (opdracht 15.12, de Habitat-opdracht). De uitdagingen vragen afleidingen, een onderzoek naar entropie en toeval, een debat en een ontwerp.

6× oefenen7× toepassen5× uitdagen± 580 min0/18 gedaan

EEnergie WWiskundig modelleren

Wat uit een koeltoren opstijgt, is geen rook maar waterdamp: de warmte die een centrale moet lozen omdat de tweede hoofdwet het zo wil.

Hoe lees je een opdracht?

Drie tredenOefenen Toepassen Uitdagen

Elk hoofdstuk bouwt op: eerst oefenen (één stap, direct toepassen), dan toepassen (meerdere stappen, in een context), dan uitdagen (transfer, open problemen, andere leerlijnen erbij).

De StemExpert-schaal5

Eén moeilijkheidsschaal van 1 tot 9 over de drie niveaus heen: Fundamental loopt van 1 tot 4, Intermediate van 3 tot 7, Expert van 6 tot 9. Zo zie je dat de uitdaging van het ene niveau de oefening van het volgende is.

Oefenen

één stap, direct toepassen

15.1

Tekens in de eerste hoofdwet

Oefenen6Begrijpen15 min

gedaan

Gebruik

Δ U = Q - W

met

Q > 0

als warmte naar het systeem gaat en

W > 0

als het systeem arbeid levert. Vul in (J).

a
Een gas krijgt 500 J warmte en zet uit, waarbij het 200 J arbeid levert.
b
Een fietspomp perst lucht samen met 80 J arbeid; de lucht geeft 30 J warmte af aan de pomp.
c
Een gas zet adiabatisch uit en levert 150 J arbeid.
d
Een kringproces neemt 1200 J warmte op en geeft 900 J af. Hoeveel arbeid levert het, en wat is ΔU over één ronde?

15.2

Arbeid uit een pV-diagram

Oefenen6Rekenen20 min

gedaan

Een gas doorloopt de rechthoekige kring in de figuur (1 bar = 10⁵ Pa, 1 L = 10⁻³ m³).

Een gas doorloopt de kring A → B → C → D → A.

a
Bereken de arbeid door het gas op elk van de vier stukken.
stuk soort proces W (J)
b
Hoeveel netto arbeid per ronde? Loopt de kring als motor of als warmtepomp?
c
Als het een ideaal gas is: in welk hoekpunt is de temperatuur het hoogst, en hoeveel keer hoger dan in A?

15.3

De vier processen voor één mol lucht

Oefenen6Rekenen25 min

gedaan

Eén mol lucht (

c_{v} = \frac{5}{2} R

c_{p} = \frac{7}{2} R

γ = 1, 4

) start bij 300 K. Bereken

Q

W

Δ U

(J).

a
Isochoor opwarmen tot 400 K.
b
Isobaar opwarmen tot 400 K.
c
Isotherm uitzetten tot het dubbele volume.
d
Adiabatisch uitzetten tot het dubbele volume. Wat is de eindtemperatuur?

15.4

Rendementen

Oefenen6Rekenen20 min

gedaan

Bereken het Carnot-rendement (temperaturen in kelvin!) en vergelijk met het echte rendement als dat gegeven is.

a
Een kerncentrale: stoom van 285 °C, koelwater van 25 °C; echt 33 %.
b
Een thermo-elektrische generator op een houtkachel: 250 °C tegenover 30 °C; echt ±4 %.
c
Een motor die de warmte van de oceaan (25 °C aan het oppervlak, 5 °C op 1000 m diep) gebruikt (OTEC).
d
Waarom verhoogt het rendement meer als je de koude kant 10 K kouder maakt dan als je de hete kant 10 K warmer maakt?

15.5

Entropie berekenen

Oefenen6Rekenen20 min

gedaan

Gebruik

Δ S = Q / T

(constante T),

Δ S = m c ln (T_{2} / T_{1})

Δ S = n R ln (V_{2} / V_{1})

a
0,5 kg water van 20 °C wordt opgewarmd tot 100 °C. Bereken ΔS van het water.
b
Daarna verdampt het bij 100 °C (2257 kJ/kg). Bereken ΔS.
c
2 mol gas zet isotherm uit van 10 L tot 50 L. Bereken ΔS van het gas. Als het gebeurt door een klep te openen naar een lege ruimte (vrije expansie, Q = 0), wat is dan ΔS van het gas en van de omgeving?

15.6

Kan dit?

Oefenen6Begrijpen15 min

gedaan

Zeg telkens of het kan volgens de hoofdwetten, en waarom (een zin).

a
Een schip vaart op de warmte van het zeewater: het pompt water binnen, haalt er warmte uit en loost het ijskoud.
b
In een warme kamer zet je de deur van de koelkast open om de kamer te koelen.
c
Een verkoper belooft een warmtepomp die bij 0 °C buiten 20 kW warmte levert voor 1 kW stroom, met water van 35 °C.
d
Een zonnepaneel zet 22 % van het licht om in elektriciteit, meer dan een 'Carnot-rendement' zou toelaten met een omgeving van 20 °C en een paneel van 50 °C.

Toepassen

meerdere stappen, in een context

15.7

Labo: arbeid wordt warmte met loodhagel

Toepassen7Labo50 min

gedaan

Voer de proef met de loodhagel uit het handboek uit (of met koperhagel, c = 385 J/(kg·K)). Werk in een team: één persoon keert, één telt, één meet.

a
Noteer de temperatuur na 0, 25, 50, 75 en 100 keer omkeren, en de valhoogte.
aantal T (°C) ΔT (K) ΔT ideaal (K)
b
Zet ΔT uit tegen het aantal en bepaal de helling. Vergelijk met gh/c.
c
Welk deel van de arbeid wordt warmte van de hagel? Noem drie oorzaken van het verschil en hoe je ze kleiner maakt.
d
Waarom hangt de temperatuurstijging niet af van de massa hagel? Waarom geeft koper een kleinere stijging?

Zo wordt dit beoordeeld

Meting	Vijf punten, valhoogte gecorrigeerd voor de dikte van de laag, beginwaarde na evenwicht.
Verwerking	Grafiek met rechte, helling vergeleken met gh/c.
Interpretatie	Verhouding berekend; verliezen naar buis en lucht, afkoelen tijdens meten, onvolledige val.
Veiligheid	Lood in een gesloten zakje, handschoenen, handen wassen.

15.8

Een dieselmotor samenpersen

Toepassen7Rekenen25 min

gedaan

Een cilinder van een dieselmotor bevat 0,50 L lucht van 1,0 bar en 20 °C. De compressieverhouding is 18. Neem aan dat het samenpersen adiabatisch is (γ = 1,4).

a
Bereken de druk en de temperatuur aan het eind van het samenpersen.
b
Bereken de arbeid die de zuiger op de lucht verricht.
c
De motor draait met 2000 tpm en heeft 4 cilinders; een cilinder perst één keer samen per twee omwentelingen. Welk vermogen gaat naar het samenpersen alleen? Waar komt die energie terug?

15.9

Een Stirling-motor met cijfers

Toepassen7Rekenen30 min

gedaan

Een Stirling-motor bevat 0,050 mol helium (c_v = 3/2 R) tussen 900 K en 300 K; het volume verdubbelt op de hete isotherm. De kring: isotherm uitzetten bij 900 K, isochoor afkoelen tot 300 K, isotherm samenpersen bij 300 K, isochoor opwarmen tot 900 K.

a
Bereken de netto arbeid per cyclus.
b
Bereken het rendement zonder regenerator (alle warmte bij het isochore opwarmen komt uit de bron).
c
Bereken het rendement met een perfecte regenerator en vergelijk met Carnot.
d
Waarom gebruikt men helium (of waterstof) in plaats van lucht?

15.10

Code: arbeid uit een gemeten indicatordiagram

Toepassen7Programmeren35 min

gedaan

Een drukopnemer en een hoeksensor op een kleine luchtcompressor leveren 36 punten (V, p) per omwenteling (het bestand indicator.csv bij het codeblad 'Een kringproces numeriek integreren' in het handboek, kolommen V_L;p_bar). De compressor draait met 1450 tpm. De metingen:

V (L)	0,300	0,298	0,292	0,282	0,268	0,252	0,233	0,211	0,188	0,165	0,142	0,119
p (bar)	0,98	1,01	0,99	1,06	1,18	1,28	1,38	1,53	1,76	2,08	2,57	3,15

V (L)	0,098	0,078	0,062	0,048	0,038	0,032	0,030	0,032	0,038	0,048	0,062	0,078
p (bar)	4,06	5,35	6,03	5,99	5,97	6,01	6,01	5,55	4,46	3,32	2,44	1,79

V (L)	0,098	0,119	0,142	0,165	0,188	0,211	0,233	0,252	0,268	0,282	0,292	0,298
p (bar)	1,37	0,98	1,07	1,03	1,00	0,99	0,99	0,99	1,01	0,95	1,01	1,02

Gemeten druk en volume in een kleine compressor, 36 punten per omwenteling.

a
Lees het bestand in en bereken de netto arbeid per cyclus met de trapeziumregel. Let op: sluit de kring.
b
Is de arbeid positief of negatief, en wat betekent dat? Hoeveel mechanisch vermogen vraagt de compressor aan het gas?
c
Waarom geeft een meting met maar 36 punten per cyclus een fout, en in welke richting? Hoe controleer je dat?

15.11

Een centrale en haar koelwater

Toepassen7Rekenen25 min

gedaan

Een STEG-centrale (gas- en stoomturbine) levert 400 MW elektrisch met een rendement van 58 %. De stoomturbine loost haar warmte via een condensor aan rivierwater. Een warmtekrachtkoppeling zou de stoom laten condenseren bij 90 °C voor een warmtenet; dan daalt de elektriciteit tot 360 MW.

a
Hoeveel warmte gaat naar de condensor (neem aan dat 10 % van de brandstofenergie met de rookgassen weggaat)?
b
Hoeveel rivierwater per seconde als het 7 °C mag opwarmen?
c
Met warmtekrachtkoppeling: hoeveel warmte kan het warmtenet krijgen (zelfde rookgasverlies), en welk deel van de brandstof wordt dan nuttig gebruikt?

15.12

Habitat: de jaarbalans en het Sankey-diagram

Toepassen7Habitat70 min

gedaan

Gebruik jaar.py uit het handboek en de tabel met de jaarstromen. Het team wil weten wat drie keuzes veranderen: (1) 2,0 kWp extra zonnepanelen, (2) een windturbine op een plek met gemiddeld 5,0 m/s in plaats van 4,0 m/s (de windenergie wordt dan 1,89 keer zo groot, volgens de vermogenscurve), (3) de verwarming zuiniger maken: een warmtepomp met een seizoensgemiddelde COP van 4 (hoofdstuk 16).

a
Pas jaar.py aan voor elke keuze afzonderlijk en noteer het tekort (net) en het overschot per jaar.
variant net (kWh) overschot (kWh) maanden met tekort
b
Teken met sankey() of met de hand het Sankey-diagram van de elektriciteitsketen voor de beste variant.
c
Waarom helpt extra zon zo weinig tegen het tekort in december? Reken het na met de maandwaarden.
d
Schrijf een advies van vijf regels voor het dossier.

Zo wordt dit beoordeeld

Code	Varianten correct ingevoerd (kWp, windfactor, warmte/4), resultaten per maand gecontroleerd.
Tabel	Net, overschot en tekortmaanden voor alle varianten.
Sankey	Banden evenredig, labels met kWh, in = uit.
Advies	Winter als knelpunt herkend; combinatie van maatregelen onderbouwd met getallen.

15.13

Waarom stoken we? Emden nagerekend

Toepassen7Analyseren25 min

gedaan

In het handboek bleef de inwendige energie van de lucht in de woonmodule gelijk bij het opwarmen van 15 naar 20 °C. Reken dat precies na (ideaal gas, U = n c_v T, V = 62,4 m³, p = 1013 hPa).

a
Bereken n en U van de lucht in de module bij 15 °C en bij 20 °C.
b
Hoeveel mol lucht is naar buiten gegaan, en hoeveel inwendige energie namen die moleculen mee?
c
Waar is de warmte van de verwarming dan wel gebleven? Maak een energiebalans.

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

15.14

Afleiding: de adiabaat en de relatie van Mayer

Uitdagen8Analyseren30 min

gedaan

Vertrek van de eerste hoofdwet

d U = δ Q - p d V

U = n c_{v} T

voor een ideaal gas.

a
Leid $c_{p} = c_{v} + R$ af door een isobaar proces te bekijken.
b
Leid $p V^{γ}$ = constant af voor een adiabatisch proces. Werk eerst in $T$ en $V$ , zet dan om.
c
Toon dat de arbeid bij een adiabatisch proces $W = \frac{p _{1} V _{1} - p _{2} V _{2}}{γ - 1}$ is, (a) uit de eerste hoofdwet en (b) door $\int p d V$ uit te rekenen.
d
De geluidssnelheid in een gas is $γ p / ρ$ (geluid is zo snel dat de drukgolf adiabatisch is). Bereken ze in lucht bij 20 °C, en met $γ = 1$ (Newton dacht isotherm). Welke klopt met 343 m/s?

15.15

Het rendement bij maximaal vermogen

Uitdagen9Analyseren45 min

gedaan

Een Carnot-motor levert geen vermogen: de warmte moet zonder temperatuurverschil stromen. Een echte motor krijgt warmte van een bron bij

T_{h}

via een warmtewisselaar:

\dot{Q}_{h} = K (T_{h} - T_{hw})

, en geeft af aan

T_{c}

\dot{Q}_{c} = K (T_{cw} - T_{c})

(dezelfde geleiding

K

). Tussen

T_{hw}

T_{cw}

werkt hij omkeerbaar, met rendement

η = 1 - T_{cw} / T_{hw}

a
Toon dat $T_{hw} = \frac{T _{h} ( 1 - η ) + T _{c}}{2 ( 1 - η )}$ en schrijf het vermogen $P = η \dot{Q}_{h}$ als functie van $η$ .
b
Toon (stel $u = 1 - η$ en leid af) dat $P$ maximaal is bij $η = 1 - T_{c} / T_{h}$ .
c
Controleer numeriek met Python voor 600 K en 300 K, K = 100 W/K.
d
Waarom bouwen ingenieurs toch centrales die iets beter doen dan dit rendement?

Zo wordt dit beoordeeld

Afleiding	Stationaire balans correct (Q̇c = (1 − η) Q̇h), Thw opgelost, P(η) opgeschreven.
Optimum	Afgeleide naar u correct, u = √(Tc/Th).
Code	Numeriek maximum gevonden en vergeleken.
Interpretatie	Afweging kosten van de warmtewisselaar tegenover brandstof; η tussen CA en Carnot.

15.16

Onderzoek: entropie en toeval

Uitdagen8Programmeren40 min

gedaan

Het model van Paul en Tatjana Ehrenfest (1907): N moleculen in twee helften van een doos. Elke stap kies je één willekeurige molecule en zet je ze in de andere helft. In het begin zitten ze allemaal links.

a
Simuleer 2000 stappen voor N = 100 en rapporteer hoe het aantal links verloopt.
b
Wat is het gemiddelde en de spreiding na het inschommelen? Vergelijk met N/2 en √N/2.
c
Het model is omkeerbaar: elke stap kan ongedaan gemaakt worden. Waarom keert het systeem toch (bijna) nooit terug naar 'alles links'? Wat zegt dat over de tweede hoofdwet?

Zo wordt dit beoordeeld

Code	Correcte stap: kans links/N dat een linkse molecule gekozen wordt.
Resultaat	Nadering tot 50, schommelingen ±5 herkend.
Interpretatie	Onomkeerbaarheid als statistiek: 2^N schikkingen, 'alles links' is er één.

15.17

Debat: elektrisch verwarmen is 100 % efficiënt

Uitdagen8Argumenteren40 min

gedaan

Stelling van een bewoner: 'Onze noodverwarming zet 100 % van de stroom om in warmte. Beter kan niet, dus een warmtepomp is overbodig.' Gebruik de eerste en de tweede hoofdwet, en de jaarbalans van het station.

a
Wat klopt er aan de stelling (eerste hoofdwet)?
b
Wat klopt er niet (tweede hoofdwet)? Bereken hoeveel warmte een ideale warmtepomp met 1 kWh stroom kan leveren bij 0 °C buiten en 35 °C water.
c
Neem een standpunt in voor het station, met twee getallen uit de jaarbalans.

Zo wordt dit beoordeeld

Eerste hoofdwet	Alle elektrische energie wordt warmte: 'rendement' 100 %.
Tweede hoofdwet	Elektriciteit is hoogwaardig; COP van Carnot berekend (±8,8); verspilling van exergie.
Standpunt	Getallen: verwarming en net-tekort in de winter; afweging kosten en complexiteit.

15.18

Ontwerp: de restwarmte van het station benutten

Uitdagen8Ontwerpen50 min

gedaan

Het station verliest warmte op plaatsen waar ze misschien nuttig kan zijn: het douchewater (2 bewoners × 40 L per dag, van 38 °C naar de afvoer), de ventilatielucht (al met WTW), de omvormer en de batterijen (±500 kWh per jaar), de koelkast (haar condensor). Een douchewater-warmtewisselaar (een koperen buis rond de afvoer) haalt ±50 % van het temperatuurverschil tussen afvoerwater en koud leidingwater (10 °C) terug.

a
Hoeveel warmte (kWh per jaar) gaat met het douchewater verloren, en hoeveel kan de warmtewisselaar terugwinnen?
b
Waarom is de warmte van de omvormer in de winter nuttig en in de zomer lastig? Stel een oplossing voor.
c
Maak een ontwerpschets van één maatregel, met de plaats in het station en wat het brein moet meten.
d
Welke maatregel levert per euro het meeste op? Schat en beargumenteer.

Zo wordt dit beoordeeld

Berekening	Douchewater: m c ΔT per dag en per jaar; 50 % terug.
Omvormer	Winst in de winter, last in de zomer; oplossing (ventilatie of plaats) onderbouwd.
Ontwerp	Schets met plaats, stromen en metingen.
Afweging	Kosten, eenvoud, onderhoud en opbrengst vergeleken.

ZelfevaluatieKleur per doel: lukt al / bijna / nog niet

Ik kan inwendige energie, warmte en arbeid onderscheiden en de eerste hoofdwet ΔU = Q − W met de juiste tekens toepassen.
Ik kan de arbeid van een gas berekenen als W = ∫p dV en ze aflezen als oppervlakte in een pV-diagram, en uitleggen waarom Q en W van het pad afhangen.
Ik kan de vier processen (isochoor, isobaar, isotherm, adiabatisch) berekenen en de adiabaat pV^γ = constant afleiden.
Ik kan het rendement van een kringproces berekenen, het Carnot-rendement afleiden en een echte cyclus (Otto, Stirling) ermee vergelijken.
Ik kan de tweede hoofdwet in woorden en met entropie formuleren en entropieveranderingen berekenen voor eenvoudige gevallen.
Ik kan uitleggen waarom een centrale warmte moet lozen, en de ordes van grootte van rendement en koelwater schatten.
Ik kan een jaarlijkse energiebalans opstellen en als Sankey-diagram tonen, en er ontwerpbeslissingen uit afleiden.

stuk	soort proces	W (J)

aantal	T (°C)	ΔT (K)	ΔT ideaal (K)

variant	net (kWh)	overschot (kWh)	maanden met tekort