EExpert · deel E3 · Thermodynamica en stroming

Oplossingen · hoofdstuk 14Gassen en de gaswetten

Wat de lucht in het station doet: van botsende moleculen tot een ventilatie die klopt

Uitgewerkte oplossingen bij de 17 opdrachten van het werkboek. Voor de leerkracht, en voor wie zichzelf wil verbeteren nadat hij het eerst zelf probeerde.

6× oefenen6× toepassen5× uitdagen± 550 min

EEnergie MMaterie en chemie BLeven en systemen

Een klein kastje aan de wand meet wat je niet ziet: CO₂, zuurstof, luchtvochtigheid en luchtdruk. Het brein van het station beslist ermee hoeveel verse lucht er binnenkomt.

Voor de leerkrachtDeze pagina bevat de antwoorden. Druk het werkboek af zonder deze pagina.

Oefenen

één stap, direct toepassen

14.1

Druk, temperatuur en hoeveelheid omrekenen

Oefenen6Rekenen15 min

Reken om en toon je stappen. Gebruik R = 8,314 J/(mol·K) en 1013 hPa voor de luchtdruk.

a
Een bandenmeter toont 2,5 bar. Wat is de absolute druk in bar en in kPa?
Overdruk + luchtdruk: $2, 5 + 1, 013 = 3, 5 bar = 351 kPa$ .
b
Een fles van 10 L bevat zuurstof bij 150 bar (absoluut) en 15 °C. Hoeveel mol en hoeveel kg is dat (ideaal gas)?
$n = p V / (R T) = 150 \cdot 1 0^{5} \cdot 0, 010/ (8, 314 \cdot 288, 15) = 62, 6 mol$ , $m = 62, 6 \cdot 0, 032 = 2, 00 kg$ (echt ongeveer 10 % meer: $Z \approx 0, 91$ bij 150 bar).
c
Hoeveel moleculen zitten er in 1,0 cm³ lucht bij 20 °C en 1013 hPa?
$N = p V / (k T) = 101300 \cdot 1 0^{- 6} / (1, 381 \cdot 1 0^{- 23} \cdot 293, 15) = 2, 50 \cdot 1 0^{19}$ .
d
Een weerballon bevat 5,0 m³ helium bij 1013 hPa en 15 °C. Hoe groot is hij op 10 km hoogte (265 hPa, −50 °C)?
$V_{2} = V_{1} \frac{p _{1}}{p _{2}} \frac{T _{2}}{T _{1}} = 5, 0 \cdot \frac{1013}{265} \cdot \frac{223 , 15}{288 , 15} = 14, 8 m^{3}$ : bijna drie keer zo groot. Daarom vult men een weerballon maar gedeeltelijk.

14.2

De ideale gaswet in het station

Oefenen6Rekenen20 min

De kweekruimte is 2,40 × 2,00 × 2,40 m (hoofdstuk 14 van I). Lucht: M = 28,97 g/mol.

a
Bereken de massa lucht in de kweekruimte bij 20 °C en 1013 hPa.
$V = 11, 52 m^{3}$ ; $ρ = pM / (R T) = 1, 204 kg/ m^{3}$ ; $m = 13, 9 kg$ .
b
Buitenlucht van −8 °C komt binnen en warmt op tot 20 °C bij constante druk. Met welke factor neemt haar volume toe?
$V_{2} / V_{1} = T_{2} / T_{1} = 293, 15/265, 15 = 1, 106$ : 10,6 % groter.
c
Hoeveel kg lucht per uur blaast een ventilatie van 100 m³/h (gemeten bij 20 °C) binnen? Hoeveel is dat per dag?
$100 \cdot 1, 204 = 120 kg/h$ , $2890 kg$ per dag: meer dan twee ton lucht per dag door de woonmodule.
d
Waarom mag je bij het omrekenen van een temperatuurverschil °C en K door elkaar gebruiken, maar bij p/T niet?
Een verschil van 1 K is een verschil van 1 °C (de schalen zijn alleen verschoven). Een verhouding hangt af van het nulpunt: 20 °C / 10 °C = 2, maar 293 K / 283 K = 1,035.

14.3

Hoe snel zijn moleculen?

Oefenen6Rekenen20 min

Gebruik

v_{rms} = 3 R T / M

v_{p} = 2 R T / M

a
Bereken v_rms bij 20 °C voor H₂ (2,016 g/mol), He (4,003), H₂O (18,02), N₂ en CO₂.
H₂ 1904, He 1352, H₂O 637, N₂ 511, CO₂ 408 m/s.
b
Bij welke temperatuur heeft stikstof dezelfde v_rms als waterstof bij 20 °C?
$v_{rms}^{2} \sim T / M$ : $T = 293, 15 \cdot 28, 01/2, 016 = 4074 K$ (ongeveer 3800 °C).
c
Een ballon met helium loopt sneller leeg dan een met lucht, door dezelfde piepkleine gaatjes. Leg uit met de kinetische gastheorie en schat de verhouding van de lektempo's.
Door een gaatje dat veel kleiner is dan de vrije weglengte ontsnappen moleculen afzonderlijk (effusie), met een tempo evenredig met hun gemiddelde snelheid, dus met $1/ M$ (wet van Graham). Helium tegenover lucht: $28, 97/4, 003 = 2, 69$ : ongeveer 2,7 keer zo snel.

14.4

Partiële druk en ppm

Oefenen6Rekenen20 min

Luchtdruk 1013 hPa, 20 °C, tenzij anders vermeld.

a
Bereken de partiële druk van CO₂ bij 420, 1000 en 5000 ppm, in Pa.
$p = x p_{0}$ : $42, 5$ , $101, 3$ en $506 Pa$ .
b
Reken 5000 ppm CO₂ om naar mg/m³.
$c = x pM / (R T) = 0, 005 \cdot 101300 \cdot 0, 044 01/ (8, 314 \cdot 293, 15) = 0, 00915 kg/ m^{3} = 9145 mg/ m^{3}$ (ongeveer 9 g per m³).
c
Hoe groot is de partiële druk van zuurstof op 2000 m (795 hPa)? Welk percentage op zeeniveau geeft dezelfde partiële druk?
$0, 2095 \cdot 795 = 167 hPa$ ; op zeeniveau: $167/1013 = 16, 4 %$ .
d
Een sensor meldt 19,8 % O₂ bij een luchtdruk van 985 hPa; hij is geijkt bij 1013 hPa en meet de partiële druk. Wat is het echte percentage?
De cel meet de partiële druk en rekent om met 1013 hPa: $p_{O_{2}} = 0, 198 \cdot 1013 = 200, 6 hPa$ . Echt percentage: $200, 6/985 = 20, 36 %$ : de lucht is in orde, de lage druk bedroog de sensor.

14.5

Luchtvochtigheid en dauwpunt

Oefenen6Rekenen20 min

Gebruik de formule van Magnus:

p_{s} = 611, 2 e^{17, 62 t / (243, 12 + t)}

Pa.

a
Bereken p_s en de verzadigde absolute vochtigheid bij 0, 10, 20 en 30 °C.
0 °C: 611 Pa, 4,85 g/m³; 10 °C: 1226 Pa, 9,38 g/m³; 20 °C: 2333 Pa, 17,24 g/m³; 30 °C: 4234 Pa, 30,26 g/m³. Ruwweg een verdubbeling per 10 °C.
b
Bereken het dauwpunt van lucht van 24 °C en 65 %.
$γ = ln 0, 65 + 17, 62 \cdot 24/267, 12 = 1, 1523$ ; $t_{d} = 243, 12 γ / (17, 62 - γ) = 17, 0$ °C.
c
Een SHT31 staat naast een warme spanningsregelaar en meet 23,0 °C en 45 %, terwijl de lucht 21,0 °C is. Wat is de echte RV? Wat is het dauwpunt volgens de sensor en in werkelijkheid?
De waterdampdruk is overal dezelfde: $p_{w} = 0, 45 \cdot p_{s} (23) = 1261 Pa$ . Echte RV: $1261/ p_{s} (21) = 50, 8 %$ . Het dauwpunt hangt alleen van $p_{w}$ af: 10,4 °C voor beide. De temperatuurfout gaat dus niet over op het dauwpunt, wel op de RV.

14.6

Waar of niet?

Oefenen6Begrijpen15 min

Zeg of de uitspraak klopt en verbeter ze als ze niet klopt. Eén zin uitleg per uitspraak.

a
In een fles van 200 bar bewegen de moleculen sneller dan in de kamer.
Niet waar: de snelheid hangt alleen van T en M af. Er zijn meer moleculen per liter, die vaker botsen.
b
Bij dezelfde temperatuur hebben een CO₂- en een H₂-molecule gemiddeld dezelfde kinetische energie.
Waar: $\frac{3}{2} k T$ voor elk gas. H₂ is daardoor veel sneller ( $v \sim 1/ M$ ).
c
In een afgesloten ruimte met mensen wordt zuurstofgebrek het eerst gevaarlijk.
Niet waar: de CO₂ bereikt 5000 ppm veel eerder dan de O₂ 19,5 % (in de woonmodule 6 h tegenover 17 h).
d
Lucht met 100 % RV bij 5 °C bevat meer waterdamp dan lucht met 50 % bij 20 °C.
Niet waar: 5 °C verzadigd is 6,8 g/m³, 20 °C bij 50 % is 8,6 g/m³. Koude lucht bevat weinig water, ook als ze verzadigd is.
e
De manometer op een CO₂-fles toont hoeveel CO₂ er nog in zit.
Niet waar: zolang er vloeistof in zit, toont hij de dampspanning (57 bar bij 20 °C). Weeg de fles.

Toepassen

meerdere stappen, in een context

14.7

Labo: de wet van Boyle met een spuit

Toepassen7Labo50 min

Meet zoals in de proef van het handboek (spuit van 60 mL, gesloten bij 40 mL, absolute druksensor). Wacht bij elke stand tot de druk stabiel is. Een voorbeeldmeting om mee te rekenen als je niet kan meten:

$V$ op de spuit (mL)	60	55	50	45	40	35	30	25	20
$p$ (hPa)	693	753	821	906	1014	1146	1321	1556	1894
$p \cdot V$ (hPa·L)	41,6	41,4	41,0	40,8	40,6	40,1	39,6	38,9	37,9
$p \cdot (V + V_{d})$ (hPa·L)	43,7	43,7	43,6	43,6	43,7	43,6	43,7	43,7	43,7

a
Maak een tabel van V, p, 1/p en p·V met je eigen metingen (of de voorbeeldmeting).
Voorbeeld: p·V daalt van 41,6 naar 37,9 hPa·L; 1/p stijgt lineair.
b
Bepaal met kleinste kwadraten de rechte 1/p = aV + b. Bereken de dode ruimte V_d = b/a en C = 1/a.
Met de voorbeeldmeting: $a = 2, 290 \cdot 1 0^{- 5} hP a^{- 1} m L^{- 1}$ , $b = 7, 067 \cdot 1 0^{- 5} hP a^{- 1}$ ; $V_{d} = 3, 09 mL$ , $C = 43, 67 hPa \cdot L$ .
c
Hoeveel mol lucht zat er in spuit, slangetje en sensor? Hoe lang is het slangetje als het een binnendiameter van 3 mm heeft en de sensor 0,5 mL bevat?
$n = C / (R T) = 43672 \cdot 100 \cdot 1 0^{- 6} / (8, 314 \cdot 293, 15) = 1, 79 mmol$ . Slangetje: $3, 1 - 0, 5 = 2, 6 mL$ in een doorsnede van $π \cdot 0, 1 5^{2} = 0, 0707 c m^{2}$ : $37 cm$ lang.
d
Wat gebeurt er met je meting als je snel duwt en meteen afleest? Hoe zou de grafiek er dan uitzien?
Snel samendrukken is bijna adiabatisch: de lucht warmt op en de druk is hoger dan bij kamertemperatuur (hoofdstuk 15). De punten bij kleine V liggen dan te hoog in p, dus te laag in 1/p; de rechte kantelt en je vindt een verkeerde dode ruimte. Wacht je, dan koelt de lucht af en zakt de druk langzaam naar de isotherm.

Zo wordt dit beoordeeld

Meting	Minstens acht standen, heen en terug, stabiel afgelezen, luchtdruk van de dag genoteerd.
Verwerking	1/p tegen V, rechte met kleinste kwadraten, V_d en C met eenheden.
Interpretatie	Dode ruimte herkend als systematische fout; n en de lengte van het slangetje berekend.
Kritiek	Opwarmen bij snel duwen (niet isotherm), lekken bij hoge druk, onzekerheid van de schaal.

14.8

Labo: het dauwpunt met een glas ijswater

Toepassen7Labo45 min

Voer de proef van het handboek uit. Meet eerst de lucht (temperatuur en RV), bepaal dan drie keer het dauwpunt met de beker (verschijnen en verdwijnen van de waas).

a
Noteer je metingen.
Bijvoorbeeld 9,7; 9,5; 9,8 °C (voorbeeld uit het handboek).
b
Bereken het dauwpunt uit de temperatuur en de RV van de lucht met Magnus, met een onzekerheid (de hygrometer: ±3 % RV).
21,5 °C, 48 ± 3 %: $t_{d} = 10, 0$ °C (bereik 9,1 tot 10,9 °C).
c
Vergelijk. Ligt het verschil binnen de onzekerheid? Welke systematische fouten kan de beker hebben?
Het gemiddelde, 9,7 °C, ligt binnen het bereik, iets onder de berekende 10,0 °C. Systematisch: de buitenkant van de beker is warmer dan het water (het dauwpunt lijkt te laag), je ziet de waas pas als er al een laagje ligt (te laag), je adem of je handen maken de lucht rond de beker vochtiger (te hoog).
d
Bereken omgekeerd de RV uit je gemeten dauwpunt. Welke methode is volgens jou nauwkeuriger?
$RV = p_{s} (9, 7) / p_{s} (21, 5) = 47, 0 %$ . De dauwpuntmethode meet rechtstreeks de waterdamp en is met goede apparatuur (een spiegelhygrometer) de referentie; met een blik en het oog is ze ongeveer even goed als een eenvoudige hygrometer.

Zo wordt dit beoordeeld

Meting	Drie pogingen, verschijnen en verdwijnen, langzaam afgekoeld en geroerd.
Berekening	Magnus correct, onzekerheid via de extreme waarden (48 ± 3 %).
Vergelijking	Verschil besproken tegenover de onzekerheid; wand van de beker, zichtbaarheid, adem.
Omgekeerd	RV uit het dauwpunt: ps(td)/ps(t), met de gevoeligheid besproken.

14.9

Werken in de kweekruimte met de deur dicht

Toepassen7Rekenen25 min

Een bewoner oogst sla in de kweekruimte (11,5 m³) met de deur dicht. Bij licht werk ademt hij 1,5 keer het gemiddelde uit (1,0 kg CO₂ per dag). De ventilatie van de kweekruimte (11 m³/h, hoofdstuk 14 van I) draait. De planten nemen 1,5 g CO₂ per uur op; de lucht begint op 800 ppm (verrijkt). Buitenlucht: 420 ppm.

a
Bereken de CO₂-productie van de bewoner in m³/h en de netto bron met de planten erbij.
$1, 5 \cdot 1, 0/24 = 0, 0625 kg/h$ = $0, 0342 m^{3} /h$ . Planten: $1, 5 g/h$ = $0, 00082 m^{3} /h$ . Netto $G = 0, 0333 m^{3} /h$ .
b
Stel de balans op. Bereken het evenwicht, de tijdconstante en het tijdstip waarop 1000 ppm overschreden wordt.
$V d c / d t = G - Q (c - c_{b})$ ; evenwicht $c_{\infty} = 420 + G / Q = 3451 ppm$ ; $τ = V / Q = 1, 05 h$ . $c (t) = c_{\infty} + (800 - c_{\infty}) e^{- t / τ}$ : 1000 ppm na $t = τ ln \frac{c _{\infty} - 800}{c _{\infty} - 1000} = 0, 08 h$ , ongeveer 5 minuten. Het evenwicht ligt boven de waarschuwing, maar ruim onder het alarm.
c
De ventilatie valt uit. Na hoeveel minuten passeert de CO₂ 5000 ppm?
Zonder ventilatie stijgt de CO₂ lineair met $G / V = 2899 ppm/h$ : van 800 naar 5000 ppm in $4200/2899 = 1, 45 h$ , ongeveer 87 minuten.
d
Wat moet de regeling doen als iemand de kweekruimte binnengaat?
Bij een geopende deur (deurcontact) of een knop 'ik ben binnen': de CO₂-dosering stoppen en de ventilatie op het maximum. Werkt de ventilatie niet, dan de deur open laten. Bij 5000 ppm alarm, ook als de dosering al uit staat (een lek aan de leiding).

14.10

Een zuurstoffles als reserve: ideaal en echt

Toepassen7Rekenen25 min

Voor noodgevallen wil het station een fles medische zuurstof van 10 L waterinhoud bij 200 bar (absoluut) en 20 °C. Volgens het model van Peng en Robinson is Z = 0,918 voor zuurstof bij 200 bar en 20 °C. Een zieke bewoner krijgt 2 L/min (gemeten bij 1013 hPa en 20 °C) via een neusbril.

a
Hoeveel mol en hoeveel liter (bij 1013 hPa en 20 °C) zuurstof bevat de fles volgens de ideale gaswet, en volgens het echte gas?
Ideaal: $n = p V / (R T) = 200 \cdot 1 0^{5} \cdot 0, 010/ (8, 314 \cdot 293, 15) = 82, 1 mol$ , $1974 L$ . Echt: $n = p V / (Z R T) = 89, 4 mol$ , $2149 L$ : 9 % meer.
b
Hoe lang gaat de fles mee bij 2 L/min? Hoe weet je bij deze fles wel hoeveel er nog in zit?
$2149/2 = 1075 min$ , ongeveer 18 uur. Zuurstof is bij 20 °C ver boven haar kritische temperatuur: ze blijft gas, en de druk daalt evenredig met de inhoud (bijna, Z verandert een beetje). De manometer is hier wel een inhoudsmeter.
c
Hoeveel zou de zuurstof het percentage in de woonmodule verhogen als de hele fles vrijkwam? Is dat gevaarlijk?
$2, 15 m^{3}$ in $62, 4 m^{3}$ : de molfractie O₂ wordt $(0, 2095 \cdot 62, 4 + 2, 15) / (62, 4 + 2, 15) = 23, 6 %$ . Meer zuurstof maakt alles brandbaarder (textiel, vet); boven ongeveer 23,5 % spreken veiligheidsregels van een verhoogd brandgevaar. Zuurstofflessen en olie of vet horen nooit samen.

14.11

Code: hoeveel moleculen zijn sneller dan ...?

Toepassen7Programmeren30 min

Het deel van de moleculen met een snelheid boven v₀ is de integraal van de verdeling van Maxwell en Boltzmann van v₀ tot oneindig. Zo'n staart bepaalt hoeveel water verdampt, hoe snel een reactie gaat (hoofdstuk 25) en of een planeet haar gassen houdt.

Schrijf een functie f_mb(v, T, M) en een functie die het deel boven v₀ berekent met de trapeziumregel (hoofdstuk 3). Controleer dat de hele integraal 1 is.

Bijvoorbeeld:

import numpy as np
R = 8.314

def f_mb(v, T, M):
    a = M / (2 * R * T)
    return 4 * np.pi * (a / np.pi)**1.5 * v**2 * np.exp(-a * v**2)

def deel_boven(v0, T, M, vmax=6000.0, n=20000):
    v = np.linspace(v0, vmax, n + 1)
    return np.trapezoid(f_mb(v, T, M), v)

print(deel_boven(0.0, 293.15, 0.028014))   # 1.0000

b
Bereken het deel van de stikstofmoleculen boven 1000 m/s bij −8, 20 en 60 °C. Wat valt op?
Boven 1000 m/s: −8 °C 0,53 %, 20 °C 0,93 %, 60 °C 1,76 %. Een paar tientallen graden verschuift de staart sterk: van −8 naar 60 °C wordt de fractie 3,3 keer zo groot, terwijl de absolute temperatuur maar 26 % stijgt. Daarom verdampt water in de zomer zoveel sneller.
c
Controleer je antwoord bij 20 °C met een Monte-Carlo-simulatie (zoals doos.py).
doos.py geeft 0,96 % tegenover 0,93 % uit de integraal. De toevalsfout op een fractie p uit n moleculen is √(p(1 − p)/n) ≈ 0,03 procentpunt: het verschil is toeval.

14.12

Habitat: de luchtbewaking van het station vastleggen

Toepassen7Habitat60 min

Het team moet de luchtbewaking in het stationsdossier vastleggen. Vertrek van het ontleedblad, de voorbeelden over de woonmodule en de simulatie lucht.py. Buitenlucht: 420 ppm. Twee bewoners; soms een derde persoon op bezoek (onderhoud).

a
Bereken het ventilatiedebiet dat nodig is voor < 1000 ppm met twee en met drie personen (zelfde productie per persoon). Kiest het team 100 m³/h goed?
$Q_{min} = G / (580 \cdot 1 0^{- 6})$ : twee personen $79 m^{3} /h$ , drie $118 m^{3} /h$ . 100 m³/h volstaat voor twee met marge; met drie is de stand van 150 m³/h nodig (evenwicht $420 + 455 = 875 ppm$ ). De vraagsturing doet dat vanzelf.
b
Maak een tabel: grootheid, sensor, plaats, meetritme, waarschuwing, alarm, actie van het brein.
Bijvoorbeeld: CO₂ (MH-Z19B in S1 en S2, om de 2 s, waarschuwing 1000 ppm op het minuutgemiddelde, alarm 5000 ppm, actie: 150 m³/h, bij alarm buitendeur open en melding); O₂ (cel in S1 met BME280-correctie, om de 2 s, waarschuwing 20,0 %, alarm 19,5 %, actie: melding, ventilatie maximum, oorzaak zoeken); T/RV (SHT31 in S1, per minuut, melding < 25 % of > 70 %, geen alarm, actie: ventilatiestand, advies); CO₂ in de kweekruimte (laag, om de 2 s, dosering stop boven 1500 ppm, alarm 5000 ppm); fles (weegcel, per uur, melding onder 0,4 kg).
c
Beschrijf twee storingen die de bewaking moet herkennen (een sensor die vastloopt, een sensor die afdrijft) en hoe het brein ze opmerkt.
Vastlopen: een NDIR-sensor die telkens exact dezelfde waarde geeft, terwijl de bewoners actief zijn: het brein vergelijkt S1 en S2 en de verandering in de tijd (een echte CO₂ ruist altijd). Afdrijven: de O₂-cel verliest gevoeligheid; jaarlijks ijken in buitenlucht (20,95 %), en een CO₂-sensor controleren door hem buiten (420 ppm) te zetten. Een tweede sensor of een plausibiliteitscontrole (CO₂ en O₂ moeten samen veranderen, RQ ≈ 0,87) vangt veel op.
d
Pas lucht.py aan voor drie personen overdag en rapporteer de hoogste CO₂. Volstaat de stand van 150 m³/h?
In activiteit() de dagwaarde 1,14 vermenigvuldigen met 1,5 (ook voor waterdamp en zuurstof, want die gebruiken dezelfde factor). Uitvoer:
```
CO2 847 tot 939 ppm, O2 hoogstens 0.060 procentpunt onder buiten
RV 28 tot 30 %, gemiddeld debiet 124 m³/h
minuten boven 1000 ppm: 0
```
De hoogste CO₂ is 939 ppm; 0 minuten boven 1000 ppm; de ventilatie staat 16,1 uur op 150 m³/h. Het volstaat, maar zonder veel marge: een regel 'bezoek = ventilatie op maximum' of een vierde stand geeft ruimte.

Zo wordt dit beoordeeld

Debiet	Qmin = G/(580 ppm) voor twee en drie personen (79 en 118 m³/h); besluit met marge en de 150 m³/h-stand.
Tabel	Alle grootheden (CO₂, O₂ + druk, T/RV, CO₂ bij de fles), zinvolle plaats en grenzen uit het hoofdstuk.
Storingen	Vastlopen (dezelfde waarde te lang, vergelijken met S2), afdrijven (buitenlucht 420 ppm, 20,95 %), redundantie.
Simulatie	Correct aangepast, resultaat gerapporteerd en geïnterpreteerd.

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

14.13

Afleiding: de barometrische hoogteformule

Uitdagen8Analyseren30 min

Een dun laagje lucht met dikte dh en oppervlakte A is in evenwicht: de druk onder duwt harder dan de druk boven, het verschil draagt het gewicht van het laagje.

a
Toon dat $d p / d h = - ρ g$ en met de ideale gaswet $d p / d h = - \frac{M g}{R T} p$ .
Kracht op het laagje: $p (h) A - p (h + d h) A = ρ g A d h$ , dus $d p / d h = - ρ g$ . Met $ρ = pM / (R T)$ : $d p / d h = - \frac{M g}{R T} p$ .
b
Los op voor een constante temperatuur (scheiden van veranderlijken, hoofdstuk 4). Bereken de schaalhoogte $H = R T / (M g)$ bij 15 °C.
$d p / p = - d h / H$ geeft $p = p_{0} e^{- h / H}$ met $H = \frac{8 , 314 \cdot 288 , 15}{0 , 028 97 \cdot 9 , 81} = 8432 m$ .
c
Op welke hoogte is de partiële druk van zuurstof gelijk aan die van 19,5 % op zeeniveau? Vergelijk met de standaardatmosfeer (601 m).
$e^{- h / H} = 19, 5/20, 95$ geeft $h = H ln (20, 95/19, 5) = 605 m$ . De standaardatmosfeer (temperatuur daalt 6,5 °C per km) geeft 601 m: bijna hetzelfde, want over 600 m verandert de temperatuur weinig.
d
Het station moet later ook werken op een afgelegen plek, bv. op 2500 m. Wat moet er dan aan de luchtbewaking veranderen?
Op 2500 m is de luchtdruk ongeveer 747 hPa: de O₂-cel meet altijd een lage partiële druk. Het alarm moet op het percentage (met drukcorrectie) staan, niet op de partiële druk, anders gaat het voortdurend af. Voor de bewoners telt wel de partiële druk (acclimatiseren). Ook de CO₂-sensor (NDIR) telt moleculen per volume en heeft een drukcorrectie nodig, en de ventilatie verplaatst minder massa per m³.

14.14

Onderzoek: Van der Waals en de kritische toestand van CO₂

Uitdagen9Analyseren50 min

Voor CO₂ is

a = 0, 3640 Pa m^{6} /mo l^{2}

b = 4, 267 \cdot 1 0^{- 5} m^{3} /mol

. Schrijf de vergelijking van Van der Waals per mol:

p = \frac{R T}{v - b} - \frac{a}{v ^{2}}

met

v = V / n

a
In het kritisch punt heeft de isotherm een buigpunt met horizontale raaklijn: $\partial p / \partial v = 0$ en $\partial^{2} p / \partial v^{2} = 0$ . Leid $v_{c} = 3 b$ , $T_{c} = 8 a / (27 R b)$ en $p_{c} = a / (27 b^{2})$ af.
$\partial p / \partial v = - \frac{R T}{( v - b ) ^{2}} + \frac{2 a}{v ^{3}} = 0$ en $\partial^{2} p / \partial v^{2} = \frac{2 R T}{( v - b ) ^{3}} - \frac{6 a}{v ^{4}} = 0$ . Deel de tweede door de eerste (na herschikken: $R T = 2 a (v - b)^{2} / v^{3} = 3 a (v - b)^{3} / v^{4}$ ): $2 v = 3 (v - b)$ , dus $v_{c} = 3 b$ . Invullen: $R T_{c} = 2 a (2 b)^{2} / (27 b^{3}) = 8 a / (27 b)$ , en $p_{c} = \frac{R T _{c}}{2 b} - \frac{a}{9 b ^{2}} = \frac{4 a}{27 b ^{2}} - \frac{3 a}{27 b ^{2}} = \frac{a}{27 b ^{2}}$ .
b
Bereken T_c en p_c voor CO₂ en vergelijk met 31,0 °C en 73,8 bar.
$T_{c} = 8 \cdot 0, 3640/ (27 \cdot 8, 314 \cdot 4, 267 \cdot 1 0^{- 5}) = 304, 0 K$ (30,8 °C); $p_{c} = 0, 3640/ (27 \cdot (4, 267 \cdot 1 0^{- 5})^{2}) = 74, 0 bar$ . Klopt, maar niet toevallig: a en b zijn net uit het kritisch punt berekend. De echte test is elders (vraag 4).
c
Teken (in Python) de isothermen voor 0, 20, 31 en 50 °C tussen v = 0,06 en 0,6 L/mol. Wat is er vreemd aan de isotherm van 20 °C?
Een lus over v = np.linspace(6e-5, 6e-4, 500) met p = R*T/(v - b) - a/v**2 voor elke T. De isotherm van 20 °C heeft een stuk waar p stijgt als v stijgt: onfysisch (het gas zou instabiel zijn). In werkelijkheid ligt daar het tweefasengebied: een horizontale lijn op de dampspanning, zo gekozen dat de oppervlakken boven en onder even groot zijn (Maxwell-constructie).
d
Bereken met Van der Waals de druk van 2,0 kg CO₂ in 3,0 L bij 20 °C. Waarom klopt die niet met de 57 bar op de fles?
$v = 3, 0 \cdot 1 0^{- 3} /45, 45 = 6, 60 \cdot 1 0^{- 5} m^{3} /mol$ , dicht bij $b$ : $p = 209 bar$ . De formule geeft één homogene toestand; echt splitst het CO₂ in vloeistof en damp, en dan staat er de dampspanning (57 bar). Van der Waals is kwalitatief sterk (hij voorspelt het vloeibaar worden) maar kwantitatief zwak bij vloeistofdichtheden.

Zo wordt dit beoordeeld

Afleiding	Beide voorwaarden correct uitgewerkt en opgelost naar vc, Tc, pc.
Getallen	Tc ≈ 304 K, pc ≈ 74 bar, vergeleken.
Isothermen	Grafiek correct; lus onder Tc herkend als onfysisch gebied (Maxwell-constructie).
Fles	Druk berekend; uitgelegd dat in het tweefasengebied de dampspanning geldt.

14.15

De zuurstofcel en het weer

Uitdagen8Analyseren30 min

De zuurstofcel van S1 geeft een spanning evenredig met de partiële druk van O₂: in buitenlucht bij 1013 hPa 12,0 mV. De BME280 meet de luchtdruk. In een stormnacht zakt de luchtdruk van 1015 naar 965 hPa. Het alarm staat op 19,5 %.

a
Welk percentage toont de cel zonder correctie om 965 hPa, als de lucht in orde is?
$20, 95 \cdot 965/1013 = 19, 96 %$ .
b
Bij welke luchtdruk zou een ongecorrigeerde cel vals alarm geven?
$20, 95 p /1013 = 19, 5$ geeft $p = 943 hPa$ : een uitzonderlijk diepe depressie, maar samen met een kleine afdrijving of een ijking op een hogedrukdag kan het.
c
Schrijf de formule die het brein moet gebruiken om het echte percentage uit de spanning en de druk te halen.
$x_{O_{2}} = 20, 95 % \cdot \frac{U}{U _{ijk}} \cdot \frac{p _{ijk}}{p}$ , met $U_{ijk}$ en $p_{ijk}$ de spanning en de druk bij de laatste ijking in buitenlucht.
d
De cel verliest per jaar ongeveer 2 % van haar gevoeligheid. Hoe groot is de fout na 18 maanden zonder ijken? Stel een ijkprocedure voor.
Na 18 maanden ongeveer 3 % minder signaal: $20, 95 \cdot 0, 97 = 20, 32 %$ in gezonde lucht, al dicht bij de waarschuwing. IJken: elke drie maanden de sensor 10 minuten buitenlucht laten meten (20,95 %), $U_{ijk}$ en $p_{ijk}$ opslaan; de cel vervangen als het signaal onder 80 % van de nieuwwaarde zakt, of na twee jaar.

14.16

Ontwerp: ventilatie tegenover vocht in de winter

Uitdagen8Ontwerpen50 min

Op koude dagen droogt de ventilatie de woonmodule uit (RV ±23 % bij −8 °C). Het team overweegt: (A) minder ventileren, (B) een bevochtiger van 300 W die water verdampt, (C) een WTW met enthalpiewisselaar die 50 % van het verschil in waterdampdruk tussen afgevoerde en toegevoerde lucht terugwint, (D) niets doen.

a
Bereken de RV binnen bij −8 °C voor A (79 m³/h, de CO₂-grens) en C (100 m³/h).
A: $Δ p_{w} = 285 Pa$ bij 79 m³/h, RV $= (302 + 285) /2333 = 25 %$ . C: de terugwinning geeft 50 % van het verschil terug: in evenwicht $Δ p = 225/ (1 - 0, 5) = 451 Pa$ , RV $= 32 %$ .
b
Hoeveel water per dag moet B verdampen om 40 % te halen bij 100 m³/h? Hoeveel energie kost dat (2450 kJ/kg)?
40 % is $933 Pa$ ; er is $528 Pa$ , dus $406 Pa$ extra. Per uur: $Δ p Q / (R T) \cdot M_{w} = 300 g/h$ , of 7,2 kg per dag; energie $4, 9 kWh$ per dag (204 W gemiddeld).
c
Welke risico's heeft elke optie (CO₂, condens, legionella, energie, onderhoud)?
A: nauwelijks vochtiger (de lucht blijft droog) en de CO₂ zit op de grens. B: kost energie (de verdampingswarmte komt uit de verwarming), stilstaand water kan legionella en kalk geven, te veel bevochtigen geeft condens op koude plekken. C: duurder toestel, maar geen extra energie; de wisselaar moet af en toe gereinigd worden. D: droge ogen en slijmvliezen, statische elektriciteit, maar geen gevaar.
d
Kies en schrijf een advies van vijf regels voor het dossier.
Bijvoorbeeld: 'De WTW-unit krijgt een enthalpiewisselaar (vochtterugwinning ±50 %): bij −8 °C stijgt de RV van ±23 naar ±32 %. Geen bevochtiger (energie, legionella). De ventilatie blijft CO₂-gestuurd (70/100/150 m³/h); het brein toont de RV en het dauwpunt en meldt onder 25 %. Een tijdelijke droogte in koude weken aanvaarden we.'

Zo wordt dit beoordeeld

Berekening A en C	Dampbalans met en zonder terugwinning correct; RV bij −8 °C.
Bevochtiger	Benodigde waterdamp en energie correct; vergelijking met het energiebudget.
Risico's	CO₂ bij A, legionella en kalk bij B, condens op koude plekken, energie.
Advies	Onderbouwd, met getallen, en met wat het brein moet bewaken.

14.17

Debat: CO₂-bemesting in een bewoond station

Uitdagen8Argumenteren45 min

Stelling: 'Het station moet stoppen met CO₂ uit een fles te doseren en in de plaats de uitgeademde lucht van de woonmodule door de kweekruimte leiden.' Gebruik de getallen uit dit hoofdstuk en uit hoofdstuk 14 van I: de bewoners maken 2 kg CO₂ per dag, de planten nemen 24 g per dag op, de afgevoerde lucht van de woonmodule bevat 600 à 900 ppm.

a
Verzamel drie argumenten voor en drie tegen, elk met een getal.
Voor: de bewoners maken 80 keer meer CO₂ dan de planten nodig hebben; geen flessen (geen lek van 1,1 m³ CO₂, geen bevoorrading); de warmte van de afgevoerde lucht komt de kweekruimte ook ten goede. Tegen: de lucht bevat ook waterdamp en geuren (en eventueel ziektekiemen) en de kweekruimte is al vochtig; 's nachts (planten zonder licht) is er het meeste CO₂; afgevoerde lucht van 850 ppm kan de kweekruimte nooit boven 850 ppm brengen; de WTW verliest dan zijn warmteterugwinning op die lucht.
b
Bereken welk debiet afgevoerde lucht van 850 ppm de kweekruimte (11,5 m³, planten 1,5 g/h) op 800 ppm houdt.
Balans in evenwicht: $Q (850 - 800) \cdot 1 0^{- 6} = G_{planten}$ , met $G = 1, 5 g/h = 0, 00082 m^{3} /h$ : $Q = 16 m^{3} /h$ : een zesde van het debiet van de woonmodule. Omdat het verschil in concentratie klein is, is er toch veel lucht nodig voor weinig CO₂.
c
Neem een standpunt in en verdedig het in vijf zinnen.
Bijvoorbeeld: 'Een combinatie: overdag ±20 m³/h afgevoerde lucht van de woonmodule door de kweekruimte (vraag b), en de fles alleen als die lucht onder 850 ppm zakt of als de teler hoger wil dan 800 ppm. Zo daalt het flessenverbruik sterk, en blijft de dosering regelbaar. De waterdamp en de hygiëne (hoofdstuk 35 van I) blijven het zwakke punt, dus een filter en een vochtregeling horen erbij.'

Zo wordt dit beoordeeld

Argumenten	Voor en tegen, onderbouwd met getallen (hoeveelheden, tijdstippen, veiligheid).
Berekening	Balans correct: debiet uit G_planten / (c_in − c).
Standpunt	Helder, weegt veiligheid, planten en energie af, erkent een tegenargument.