Oplossingen · hoofdstuk 9Impuls en botsingen

$p=0,057\cdot 50=2,85\mathrm{kg}\cdot m/s$ = $J$; $F_{\text{gem}}=2,85/0,0040=712\mathrm{N}$, ongeveer 1274 keer het gewicht van de bal.

Weg van de muur positief: $\Delta p=0,057(20-(-30))=2,85\mathrm{kg}\cdot m/s$, van de muur weg gericht. Het teken van de snelheid telt: terugkaatsen kost meer stoot dan stoppen.

Driehoek: $J=\frac{1}{2}\cdot 0,050\mathrm{s}\cdot 120\mathrm{N}=3,0\mathrm{N}\mathrm{s}$.

$v=J/m=3,0/0,50=6,0m/s$. Na 20 ms is alleen de eerste driehoek voorbij: $\frac{1}{2}\cdot 0,020\cdot 120=1,2\mathrm{N}\mathrm{s}$, dus $2,4m/s$.

$F_{\text{gem}}=3,0/0,050=60\mathrm{N}$, de helft van de top (dat geldt voor elke driehoek).

$0=60V+5,0\cdot 4,0$: $V=-0,333m/s$ (tegengesteld).

$W=\frac{1}{2}\cdot 5,0\cdot 16+\frac{1}{2}\cdot 60\cdot 0,333^2=40+3,33=43,3\mathrm{J}$; de zak kreeg $40/43,3=92\%$.

Nog op dezelfde plaats: zonder uitwendige (horizontale) kracht blijft het zwaartepunt in rust. (Zak 8,0 m ver, schaatser 0,67 m de andere kant op: (5 · 8,0 − 60 · 0,667)/65 = 0.)

Rechts positief: $1,2\cdot 0,80+0,80\cdot (-0,30)=0,72\mathrm{kg}\cdot m/s$; $v^{\prime }=0,72/2,0=0,36m/s$ naar rechts.

Voor: $0,420\mathrm{J}$; na: $\frac{1}{2}\cdot 2,0\cdot 0,36^2=0,130\mathrm{J}$; verlies $0,290\mathrm{J}$ (69 %), naar vervorming van het klittenband, geluid en warmte.

(a) Niet waar: alleen de energie van de beweging tegenover het zwaartepunt; het zwaartepunt beweegt verder met dezelfde snelheid (dus die energie blijft). Alleen als de totale impuls nul is, gaat alles verloren. (b) Niet waar: ze duwt de gassen weg en de gassen duwen terug; in het luchtledige werkt het zelfs beter. (c) Niet waar: de stoot (m Δv) blijft gelijk; de airbag verlengt de tijd en spreidt de kracht, zodat de kracht kleiner wordt.

(d) Niet waar: de muur (en de aarde) oefent een uitwendige kracht uit; de impuls van bal + aarde blijft behouden, die van de bal alleen niet. (e) Niet waar: E = p²/(2m); het lichtere voorwerp heeft meer energie. (f) Waar: de stuwkracht was ingesteld op het gewicht met pakket; zonder pakket is ze groter dan het gewicht, tot de regelaar ingrijpt.

$m_0/m_1=1/0,2=5$: $\Delta v=4,4\ln 5=7,08km/s$.

$m_0/m_1={\mathrm{e}}^{3,0/4,4}=1,977$; stuwstof $1-1/1,977=49\%$.

$F=\dot{m}{v}_{\text{e}}=250\cdot 4400=1,1\cdot 10^6\mathrm{N}=1,1\mathrm{MN}$.

Resultaat:

poging	$p$ voor	$p$ na	$E_{\text{k}}$ voor (mJ)	$E_{\text{k}}$ na (mJ)	$e$
1	0,374	0,370	93,4	87,8	0,91
2	0,126	0,129	31,5	27,5	0,90
3	0,368	0,372	90,4	69,2	0,00

Poging 3 (A en B rijden samen verder, $e=0$). Pogingen 1 en 2 met magneten ($e\approx 0,9$). Bij poging 2 is A lichter dan B: $(m_A-e{m}_B)/(m_A+m_B)$ is negatief, dus A kaatst terug.

De onzekerheid op $p$ na is ongeveer $\sqrt{(m_A\cdot 0,004{)}^2+(m_B\cdot 0,004{)}^2}\approx 3\mathrm{g}\cdot m/s$; de verschillen zijn van dezelfde orde of kleiner: niet significant. Impuls blijft behouden binnen de meetfout.

Fase 1, de botsing (kort): impulsbehoud; energie niet, want de botsing is volledig inelastisch. Fase 2, het zwaaien: energiebehoud (kinetisch → zwaarte-energie); impuls niet, want de touwen en het gewicht werken als uitwendige krachten.

Fase 2: $V=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 0,050}=0,990m/s$. Fase 1: $v=\frac{m+M}{m}V=\frac{2,010}{0,010}\cdot 0,990=199m/s$.

Na/voor $=\frac{\frac{1}{2}(m+M)V^2}{\frac{1}{2}m{v}^2}=\frac{m}{m+M}=0,0050$: 99,5 % wordt warmte en vervorming.

Gelijke massa's, elastisch: 90° tussen de twee, dus bal 2 onder 50° aan de andere kant. $v_1^{\prime }=3,0\cos 40^{\circ }=2,30m/s$, $v_2^{\prime }=3,0\sin 40^{\circ }=1,93m/s$.

$x$: $2,30\cos 40^{\circ }+1,93\cos 50^{\circ }=3,00$; $y$: $2,30\sin 40^{\circ }-1,93\sin 50^{\circ }=0$. Energie: $2,298^2+1,928^2=9,0$.

Rechthoekige driehoek met schuine zijde 3,0 (impuls voor, per kg), de rechthoekszijden 2,30 en 1,93 onder 40° en 50°.

Met v = 8,33 m/s: 0,20 m: 174 m/s² = 17,7 g, 48 ms; 0,40 m: 87 m/s² = 8,8 g, 96 ms; 0,60 m: 58 m/s² = 5,9 g, 144 ms.

$E=\frac{1}{2}\cdot 1500\cdot 8,33^2=52,1\mathrm{kJ}$; $F=E/s=130\mathrm{kN}$ bij 0,40 m.

De energie ½ m v² moet binnen de beschikbare lengte opgenomen worden: een te zachte zone is bij hogere snelheden al helemaal plat voor de auto stilstaat, en dan botst de stijve kooi alsnog. De zone moet ook bij 64 km/h (energie × 1,6) werken, en bij een lichte aanrijding weinig schade geven. Het is een afweging, meestal met trappen van toenemende stijfheid.

Bijvoorbeeld:

import numpy as np
# lancering() uit waterraket.py
for p in (3e5, 4e5, 5e5, 6e5):
    vullingen = np.arange(0.2, 1.01, 0.05)
    h = [lancering(V * 1e-3, p_over=p)[2] for V in vullingen]
    i = int(np.argmax(h))
    print(f"{p / 1e5:.0f} bar: beste vulling {vullingen[i]:.2f} L, {h[i]:.1f} m

Echte uitvoer:

3 bar: beste vulling 0.55 L, 28.6 m
4 bar: beste vulling 0.60 L, 37.0 m
5 bar: beste vulling 0.60 L, 44.4 m
6 bar: beste vulling 0.65 L, 50.8 m

De beste vulling verschuift weinig (van 0,55 naar 0,65 L); de hoogte stijgt met de druk, maar minder dan evenredig (per extra bar 8, 7 en 6 m): de luchtweerstand groeit met v².

Voorspelling: dezelfde uitstroomsnelheid (die hangt alleen van de druk af), maar vier keer minder debiet: de stuwing duurt vier keer langer en de stuwkracht is vier keer kleiner. Zolang die ruim boven het gewicht blijft, verandert Δv weinig, maar de zwaartekracht knabbelt langer mee (zwaartekrachtverlies, opdracht 9.16): de raket komt iets lager. De simulatie met 0,6 L en 4 bar: stuwing 0,31 s in plaats van 0,08 s, 29,6 m/s in plaats van 32,2 m/s, en 35,9 m hoog in plaats van 37,0 m.

$T=11\cdot 9,81=107,9\mathrm{N}$, $v_{\text{i}}=6,76m/s$, $P_{\text{ideaal}}=729\mathrm{W}$, uit de batterij $1319\mathrm{W}$.

$+15,4\%$ voor $+10\%$ massa: $P\sim T^{3/2}$, want een zwaardere drone moet meer lucht én sneller versnellen ($1,1^{1,5}=1,154$).

$P\sim T^{3/2}/\sqrt{A}$: gelijk vermogen vraagt $A\sim T^3$, dus $A$ maal $1,1^3=1,331$ en $D$ maal $\sqrt{1,331}=1,154$: $0,65\mathrm{m}$.

$m_1{v}_1^{\prime }+m_2{v}_2^{\prime }=m_1{v}_1+m_2{v}_2$ en $v_2^{\prime }=v_1^{\prime }-e(v_2-v_1)$: $v_1^{\prime }=\frac{m_1{v}_1+m_2{v}_2+e{m}_2(v_2-v_1)}{m_1+m_2}$, $v_2^{\prime }=\frac{m_1{v}_1+m_2{v}_2+e{m}_1(v_1-v_2)}{m_1+m_2}$. Met $e=1$ de elastische formules, met $e=0$ beide gelijk aan $v_{\text{zw}}$.

$v_1=v_{\text{zw}}+\frac{m_2}{M}{v}_{\text{rel}}$ en $v_2=v_{\text{zw}}-\frac{m_1}{M}{v}_{\text{rel}}$ met $v_{\text{rel}}=v_1-v_2$ en $M=m_1+m_2$. Invullen in $\frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2$: de kruistermen $m_1{v}_{\text{zw}}\frac{m_2}{M}{v}_{\text{rel}}-m_2{v}_{\text{zw}}\frac{m_1}{M}{v}_{\text{rel}}$ vallen weg, en $\frac{1}{2}(\frac{m_1{m}_2^2}{M^2}+\frac{m_2{m}_1^2}{M^2})v_{\text{rel}}^2=\frac{1}{2}\mu v_{\text{rel}}^2$.

Het zwaartepunt verandert niet; de relatieve snelheid wordt met $e$ vermenigvuldigd: $\Delta E_{\text{k}}=\frac{1}{2}\mu v_{\text{rel}}^2(1-e^2)$. Poging 3: $\mu =0,25\mathrm{kg}$, $v_{\text{rel}}=0,597$, $e=0$: $\Delta E=44,6\mathrm{mJ}$; gemeten $89,1-43,2=45,9\mathrm{mJ}$.

$E^{\prime }$ is lineair in $\cos \theta$: kleinste bij $\cos \theta =-1$: $E^{\prime }=E\frac{1+\alpha -1+\alpha }{2}=\alpha E$. Dat is de frontale botsing (het neutron keert om). Controle: $1-\alpha =1-\frac{(A-1{)}^2}{(A+1{)}^2}=\frac{4A}{(A+1{)}^2}$, het deel uit het handboek.

Bijvoorbeeld:

import math
import numpy as np

rng = np.random.default_rng(1942)


def botsingen(A, n=20000, E0=2.0e6, E1=0.025):
    """Aantal elastische botsingen tot een neutron onder E1 (eV) komt; verstrooiing isotroop in het zwaartepuntstelsel."""
    alfa = ((A - 1) / (A + 1))**2
    E = np.full(n, E0)
    teller = np.zeros(n, dtype=int)
    actief = E > E1
    while actief.any():
        mu = rng.uniform(-1.0, 1.0, actief.sum())          # cos van de verstrooiingshoek (zwaartepuntstelsel)
        E[actief] *= ((1 + alfa) + (1 - alfa) * mu) / 2
        teller[actief] += 1
        actief = E > E1
    return teller


for naam, A in (("waterstof", 1), ("deuterium", 2), ("koolstof", 12)):
    t = botsingen(A)
    print(f"{naam:10s} A = {A:2d}: gemiddeld {t.mean():6.1f} botsingen (van {t.min()} tot {t.max()})")

Echte uitvoer:

waterstof  A =  1: gemiddeld   19.2 botsingen (van 6 tot 38)
deuterium  A =  2: gemiddeld   25.9 botsingen (van 13 tot 44)
koolstof   A = 12: gemiddeld  116.0 botsingen (van 93 tot 146)

De gemiddelden liggen dicht bij 18, 25 en 115 (de standaardformule ln(E₀/E₁)/ξ), telkens iets hoger: je telt tot een neutron ónder 0,025 eV zit, en de laatste botsing schiet er gemiddeld een stuk voorbij. Elke botsing heeft een toevallige hoek; sommige neutronen zijn met een paar frontale botsingen klaar, andere hebben er veel meer nodig. Waterstof remt het snelst af, maar vangt neutronen in: in een reactor met natuurlijk uranium kiest men zwaar water (bijna even snel, weinig invangst) of grafiet (traag, maar goedkoop en weinig invangst).

$\mathrm{d}v/\mathrm{d}t=\frac{\dot{m}{v}_{\text{e}}}{m}-g$ met $m=m_0-\dot{m}t$: $\frac{\dot{m}}{m}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\ln m$. Integreren van 0 tot $t_{\text{b}}$: $v=v_{\text{e}}\ln \frac{m_0}{m_1}-g{t}_{\text{b}}$.

Zonder zwaartekracht $3,0\ln 4=4,16km/s$; verlies $9,81\cdot 150=1,47km/s$, dus $2,69km/s$. In 75 s: verlies 0,74 km/s, $3,42km/s$.

(1) Een snelle verbranding vraagt een enorme stuwkracht en dus zware motoren en een sterke structuur; en de versnelling (tientallen g) moet de last en eventueel mensen verdragen. (2) In de dichte lucht onderaan zou een heel snelle raket veel verliezen aan luchtweerstand en verhitting. Het optimum is een compromis: stuwkracht ongeveer 1,2 à 1,5 keer het gewicht bij de start.

$v=\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 3,0}=7,67m/s$, $J=0,060\cdot 7,67=0,46\mathrm{N}\mathrm{s}$. Met $F\le 25\mathrm{N}$ is de vertraging hoogstens $25/0,060-9,81=407m/{\mathrm{s}}^2$ ($41g$), dus de remweg minstens $v^2/(2a)=7,2\mathrm{cm}$, in ongeveer 19 ms.

(a) Een kreukelzone van ongeveer 7 cm plus marge: rietjes die knikken of platgaan, of katoen dat samengedrukt wordt; alleen als de kracht ongeveer constant blijft tijdens het indrukken (een stijve kreukelzone die op het eind 'hard' wordt, geeft een piek). (b) Een parachute voor 3 m/s: $A=\frac{2mg}{\rho c_d{v}^2}$; met de hele verpakking van 150 g is dat $0,34{\mathrm{m}}^2$ (Ø 0,66 m), meer dan een plastic zakje; voor een ei van 60 g alleen zou 0,14 m² (Ø 0,42 m) volstaan. Bovendien moet de parachute binnen een halve meter opengaan. Landt het ei met 3 m/s, dan volstaat 1,1 cm remweg. Het beste is een combinatie: een kleine parachute die de snelheid wat verlaagt, en een kreukelzone.

Bijvoorbeeld: het ei in katoen in een piramide van rietjes (hoogte 12 cm), met de punt naar boven; bij de landing knikken de onderste rietjes en zakt het ei 7 à 9 cm. De rietjes verdelen de kracht over vier steunpunten op de schaal, via katoen, zodat de kracht niet op één punt komt. Massa: rietjes ±8 g, papier ±5 g, katoen ±10 g, samen met het ei ±85 g.

Een typisch resultaat: de eerste versie kantelt en landt op een zijkant, waar geen kreukelzone zit. Verbetering: het zwaartepunt laag leggen (het ei onderaan) of rondom rietjes. De berekening zegt hoeveel remweg nodig is, maar niet in welke richting het pakket landt: net als bij het echte pakket van de drone moet het schuim rondom zitten.