IIntermediate · deel I6 · Elektronica

Handboek · hoofdstuk 21De wetten van Kirchhoff

Twee wetten die elk netwerk doorrekenen, van een breadboard tot de voeding van een hele module

In Fundamental rekende je met één bron en weerstanden die netjes in serie of parallel stonden. Echte schakelingen zijn gemengd, hebben meer dan één bron, en de draden zelf hebben weerstand. Met twee wetten, die van Gustav Kirchhoff, reken je ze allemaal door: wat een knooppunt binnenkomt, gaat eruit, en wie een gesloten rondje maakt, komt op dezelfde spanning terug. Je leert ze toepassen met tekenafspraken, controleert je berekeningen met metingen, lost een netwerk op als stelsel (met de hand en met numpy) en rekent de hele sensorvoeding van de klimaatmodule na.

8× uitleg5× uitgewerkt voorbeeld1× proef1× ontleed1× naslag1× verhaal1× het geheel1× code17 opdrachten in het werkboek± 8 lestijden

LElektriciteit en elektronica WWiskundig modelleren

Wie een verdeelkast begrijpt, ziet knooppunten en mazen: waar stromen samenkomen en waar spanningen verdeeld worden.

Na dit hoofdstuk

Je kan in een schakeling de knooppunten, takken en mazen aanduiden en het aantal onafhankelijke vergelijkingen bepalen.
Je kan de knooppuntwet en de maaswet opschrijven met een gekozen stroomzin en omloopzin, en een negatieve uitkomst juist interpreteren.
Je kan de vervangingsweerstand berekenen van om het even welke weerstanden in serie en parallel.
Je kan een gemengde schakeling volledig oplossen: alle stromen, spanningen en vermogens.
Je kan het vermogen in elke weerstand berekenen en een vermogensbalans opstellen als controle.
Je kan een netwerk met meer dan één bron oplossen als stelsel van vergelijkingen, met de hand en met numpy.
Je kan metingen gebruiken om een berekening te controleren, en omgekeerd een foute meting opsporen.
Je kan de voeding van een groep sensoren narekenen, met de spanningsval in de draden en de gevolgen van een gedeelde massadraad.

Verhaal · 21.1

Een student en de draden van de telegraaf

1/19

In 1845 was Gustav Kirchhoff 21 jaar en student in Königsberg, in het toenmalige Pruisen. Elektrische stroom was nog jong: Ohm had zijn wet pas achttien jaar eerder gepubliceerd, en in dezelfde jaren werden de eerste telegraaflijnen gespannen. Ingenieurs wilden weten hoe de stroom zich verdeelt over een netwerk van draden met meerdere batterijen en aftakkingen. Met de wet van Ohm alleen lukte dat niet.

Kirchhoff schreef twee regels op die voor elk netwerk gelden. De eerste: in een punt waar draden samenkomen, kan geen lading verdwijnen of ontstaan. De tweede: wie langs een gesloten weg rondgaat, komt op dezelfde 'hoogte' terug. Twee jaar later, in 1847, toonde hij hoe je voor een netwerk precies zoveel onafhankelijke vergelijkingen vindt als er onbekende stromen zijn. Dat werk is een van de wortels van de grafentheorie, de wiskunde van netwerken.

Later werd Kirchhoff in Heidelberg beroemd om iets heel anders: samen met Robert Bunsen ontdekte hij dat elk element een eigen lijnenspectrum heeft (hoofdstuk 12). Maar elke elektronicus kent hem van de twee wetten die in dit hoofdstuk centraal staan. Simulatieprogramma's die schakelingen doorrekenen, doen in de kern niets anders dan Kirchhoffs vergelijkingen opstellen en oplossen, voor duizenden onderdelen tegelijk.

Waarom dit hoofdstuk ertoe doet

De klimaatmodule heeft één 12,8 V-rail met lampen, een pomp en ventilatoren, een 5 V-rail met elf verbruikers, en sensoren aan meters kabel. Of alles de juiste spanning krijgt, of de zekeringen kloppen, en of een meting niet verstoord wordt door de stroom van de pomp: dat reken je na met Kirchhoff.

Batterijen, draden en aftakkingen: het soort netwerk waarvoor Kirchhoff zijn regels opschreef.

Uitleg · 21.2

Wat je al weet, en wat er nu bijkomt

2/19

In Fundamental leerde je vier regels voor serie en parallel, en de wet van Ohm. Ze kloppen, maar ze werken alleen als een schakeling netjes uit serie- en parallelstukken bestaat en er maar één bron is. De wetten van Kirchhoff zijn de algemene vorm van dezelfde regels.

wat je al weet (Fundamental)	wat er nu bijkomt
In serie loopt overal dezelfde stroom en tellen de spanningen op (F20).	De maaswet: in elke gesloten lus is de som van alle spanningen nul, ook met meerdere bronnen en in ingewikkelde netwerken.
Parallel tellen de stromen van de takken op: de knooppuntregel (F20).	De knooppuntwet met een tekenafspraak, ook als je vooraf niet weet welke kant de stroom op gaat.
$R_{v} = R_{1} + R_{2}$ in serie; twee gelijke parallel geven de helft (F20).	$\frac{1}{R _{v}} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}} + \dots$ voor om het even welke weerstanden parallel.
$U = R \cdot I$ (F19) en $P = U \cdot I$ (F21).	Het vermogen in elke weerstand, en de vermogensbalans van het hele netwerk.
Stroom en spanning meten met een multimeter (F19).	Metingen gebruiken om een berekening te controleren, en een berekening om een meetfout te vinden.

Eén nieuw woord maakt alles eenvoudiger: de potentiaal. Kies één punt van de schakeling als referentie, meestal de minpool van de bron, en noem dat de massa (0 V; in een schema drie streepjes onder elkaar). De potentiaal van een ander punt is de spanning tussen dat punt en de massa. De spanning over een onderdeel is dan gewoon het verschil tussen de potentialen aan zijn twee uiteinden: $U_{A B} = V_{A} - V_{B}$ . Een microcontroller meet zo: een analoge ingang meet de potentiaal van één punt ten opzichte van zijn eigen GND.

Het beeld van de trap

In F20 zag je spanning als hoogte: de bron tilt de lading op, en in elke verbruiker valt ze een stukje naar beneden. De potentiaal is precies die hoogte, gemeten vanaf de vloer (de massa). Een draad zonder weerstand is een vlakke overloop: overal dezelfde potentiaal.

Ontleed · 21.3

Een netwerk ontleden: knooppunt, tak en maas

3/19

Voor je rekent, lees je het schema. Dit netwerk komt verder in het hoofdstuk terug als uitgewerkt voorbeeld. Zes begrippen zijn genoeg om elk netwerk te beschrijven.

R₁ staat in serie met twee parallelle takken: R₂, en R₃ + R₄. De stroompijlen en de omloopzinnen zijn gekozen.

Wijs een nummer aan: de figuur zoomt in. Klik om vast te zetten.

1
Knooppunt
Punt waar drie of meer draden samenkomen, getekend als een bolletje: hier A en B. De hele onderste draad is één knooppunt, want er zit niets tussen: overal dezelfde potentiaal.
2
Tak
Het stuk tussen twee knooppunten, zonder vertakking. R₃ en R₄ vormen samen één tak: door beide loopt dezelfde stroom I₃. Dit netwerk heeft drie takken: bron met R₁, R₂, en R₃ met R₄.
3
Maas
Een gesloten lus. De vensters I en II zijn onafhankelijke mazen; de buitenste lus (bron, R₁, R₃, R₄) is ook een maas, maar haar vergelijking is de som van die van I en II.
4
Gekozen stroomzin
Per tak kies je een pijl. Klopt de keuze niet, dan wordt de stroom gewoon negatief. In deze kring is de zin duidelijk: van de pluspool weg.
5
Bron
De lange streep is de pluspool. Van de min- naar de pluspool stijgt de potentiaal met de bronspanning U.
6
Massa
Het referentiepunt: 0 V. Alle potentialen tel je vanaf hier. Waar je de massa legt, verandert niets aan de stromen en spanningen, alleen aan de getallen van de potentialen.

Uitleg · 21.4

De knooppuntwet: lading hoopt zich niet op

4/19

Lading kan in een draad niet verdwijnen en niet ontstaan, en in een knooppunt kan ze zich ook niet opstapelen: er is geen plaats voor. Wat er per seconde binnenkomt, moet er dus per seconde uit. Dat is de eerste wet van Kirchhoff.

knooppuntwet (eerste wet van Kirchhoff)

\sum I_{in} = \sum I_{uit} ⟺ k \sum I_{k} = 0

In de tweede vorm tel je een stroom die het knooppunt binnenkomt positief, een stroom die vertrekt negatief.

In knooppunt (a) komen 0,50 A en 0,20 A binnen en vertrekt 0,45 A. Dan is $0, 50 + 0, 20 = 0, 45 + I_{4}$ , dus $I_{4} = 0, 25 A$ , in de richting van de pijl.

Je weet niet altijd welke kant de stroom op gaat. Dan kies je een richting, tekent een pijl, en rekent. In knooppunt (b) is de pijl van $I_{3}$ naar buiten gekozen: $0, 30 = 0, 50 + I_{3}$ , dus $I_{3} = - 0, 20 A$ . Het minteken is geen fout: het zegt dat er 0,20 A loopt, maar tegen de gekozen pijl in. In (b) komt die stroom het knooppunt dus binnen.

De stroom kiest de weg met de kleinste weerstand

Stroom verdeelt zich over alle takken tussen twee knooppunten. De tak met de kleinste weerstand krijgt het grootste deel, maar ook een tak van 1 MΩ krijgt zijn (kleine) stroom. Alleen als één tak nul ohm heeft (een kortsluiting), krijgt die praktisch alles, en dan staat er geen spanning meer over de andere.

(a) Er gaat evenveel uit als erin komt: I₄ = 0,25 A. (b) Met de gekozen pijl wordt I₃ = −0,20 A: de stroom loopt het knooppunt in.

Uitgewerkt voorbeeld · 21.5

Laadt of ontlaadt de batterij?

5/19

Alle 12,8 V-verbruikers van de klimaatmodule hangen aan één rail: de groeilampen (190 W), de pomp (1,0 A), de omvormer voor de sensoren (3,0 W) en de ventilatoren (5 W). De laadregelaar van de zonnepanelen levert $I_{zon}$ . De batterij hangt aan dezelfde rail; we kiezen haar stroom positief als hij de batterij in gaat (laden). Bereken $I_{bat}$ op een zonnige middag ( $I_{zon} = 25, 0 A$ ) en op een grijze ochtend ( $I_{zon} = 6, 0 A$ ), als alles aanstaat.

Eén knooppunt, zes stromen. De pijl van de batterij is gekozen; het teken van de uitkomst zegt of ze laadt of ontlaadt.

Gegeven

$U = 12, 8 V$ ; lampen 190 W, pomp 1,0 A, omvormer 3,0 W, ventilatoren 5 W
$I_{zon} = 25, 0 A$ of $6, 0 A$
pijl van $I_{bat}$ : de batterij in

Gevraagd

$I_{bat}$ in beide gevallen, en wat het teken betekent

Oplossing

1
Stroom per verbruiker met $I = P / U$ : lampen $190/12, 8 = 14, 84 A$ ; omvormer $3, 0/12, 8 = 0, 23 A$ ; ventilatoren $5/12, 8 = 0, 39 A$ ; pomp $1, 00 A$ .
2
De rail is één knooppunt. Erin: $I_{zon}$ . Eruit: de vier verbruikers en $I_{bat}$ (met de gekozen pijl). Knooppuntwet: $I_{zon} = 16, 47 + I_{bat}$ , met $16, 47 A$ de som van de verbruikers.
3
Zonnig: $I_{bat} = 25, 0 - 16, 47 = + 8, 53 A$ .
4
Grijs: $I_{bat} = 6, 0 - 16, 47 = - 10, 47 A$ .

Antwoord

Op de zonnige middag laadt de batterij met 8,53 A. Op de grijze ochtend is de uitkomst negatief: de stroom loopt tegen de pijl in, de batterij ontlaadt met 10,47 A en levert samen met de zon de stroom voor de verbruikers.

Klopt dit? Het teken doet precies wat de coulombteller van hoofdstuk 16 doet: stroom erin positief, eruit negatief. Een laadregelaar die meer levert dan de verbruikers vragen, laadt de batterij; levert hij minder, dan vult de batterij het verschil aan. De lampen zijn 90 % van de stroom: daarom zijn zij de afschakelbare last van het energiebeheer (hoofdstuk 20).

Uitleg · 21.6

De maaswet: rondgaan en terugkomen op dezelfde hoogte

6/19

Neem in gedachten een lading mee langs een gesloten lus. In de bron wordt ze 'opgetild', in elke weerstand zakt ze wat. Als ze terug is bij haar vertrekpunt, is ze op dezelfde potentiaal: anders zou ze bij elke ronde energie winnen of verliezen uit het niets. Dat is de tweede wet van Kirchhoff.

maaswet (tweede wet van Kirchhoff)

maas \sum Δ V = 0

Langs een gesloten lus is de som van alle potentiaalstijgingen en -dalingen nul.

De tekenafspraken. Kies een omloopzin (hier met de klok mee) en loop de maas rond:

door een bron van − naar +: de potentiaal stijgt, schrijf $+ U$ ; van + naar −: $- U$ ;
door een weerstand in de zin van zijn stroompijl: de potentiaal daalt, schrijf $- R \cdot I$ ; tegen de stroompijl in: $+ R \cdot I$ .

In de kring van de figuur, vanaf A met de klok mee: $+ 12 - 40 I - 80 I = 0$ , dus $I = 12/120 = 0, 10 A$ . De potentiaal gaat van 0 V naar 12 V (B), zakt 4,0 V in $R_{1}$ (C: 8,0 V) en 8,0 V in $R_{2}$ (D: 0 V). Dat is de regel 'in serie tellen de spanningen op' uit F20, nu als bijzonder geval van een algemene wet.

Omloopzin en stroomzin zijn twee verschillende keuzes

De stroompijl zegt welke richting je positief noemt voor de stroom in een tak. De omloopzin zegt in welke volgorde je de maas afloopt. Ze hoeven niet samen te vallen. Loop je tegen een stroompijl in door een weerstand, dan schrijf je $+ R \cdot I$ . Wie zich aan de afspraken houdt, krijgt altijd hetzelfde resultaat, welke zin hij ook kiest.

Links de maas met de omloopzin; rechts de potentiaal langs de kring: +12 V in de bron, −4 V en −8 V in de weerstanden.

Uitgewerkt voorbeeld · 21.7

Twee batterijen parallel: de vereffeningsstroom

7/19

De klimaatmodule krijgt een tweede LiFePO4-batterij parallel aan de eerste (hoofdstuk 20). Batterij A is vol en heeft een bronspanning van 13,30 V, batterij B minder vol: 13,10 V. Elke batterij heeft, met haar kabel en BMS, een inwendige weerstand (orde van grootte): $R_{A} = 20 mΩ$ en $R_{B} = 25 mΩ$ . Er is nog niets aangesloten. Welke stroom loopt er zodra je ze verbindt? Welke spanning meet je dan over de klemmen? En als B bijna leeg was (12,00 V)?

Eén maas met twee bronnen die tegen elkaar in staan: het verschil van 0,20 V drijft de stroom.

Gegeven

$U_{A} = 13, 30 V$ , $R_{A} = 0, 020 Ω$
$U_{B} = 13, 10 V$ , $R_{B} = 0, 025 Ω$

Gevraagd

de stroom $I$
de klemspanning
$I$ als $U_{B} = 12, 00 V$

Oplossing

1
Kies de stroompijl van A naar B over de bovenste draad, en loop de maas met de klok mee, vanaf de min van A.
2
Door A van − naar +: $+ 13, 30$ . Door $R_{A}$ met de pijl mee: $- 0, 020 I$ . Door $R_{B}$ met de pijl mee: $- 0, 025 I$ . Door B van + naar −: $- 13, 10$ .
3
Maaswet: $13, 30 - 0, 020 I - 0, 025 I - 13, 10 = 0$ , dus $I = \frac{0 , 20}{0 , 045} = 4, 44 A$ .
4
Klemspanning (tussen de bovenste en de onderste draad): $U_{A} - R_{A} I = 13, 30 - 0, 020 \cdot 4, 44 = 13, 21 V$ . Controle langs B: $13, 10 + 0, 025 \cdot 4, 44 = 13, 21 V$ .
5
Met B op 12,00 V: $I = \frac{1 , 30}{0 , 045} = 29 A$ .

Antwoord

Er loopt 4,44 A van A naar B: de volle batterij laadt de andere bij, en beide klemmen staan op 13,21 V. Is B bijna leeg, dan wordt dat 29 A, meer dan de laadregelaar ooit levert.

Klopt dit? De stroom is positief: de gekozen pijl klopte. De stroom neemt vanzelf af, want de volle batterij zakt en de andere stijgt, tot hun spanningen gelijk zijn. Daarom laad je twee batterijen eerst apart vol voor je ze parallel zet, met gelijke kabels naar één verzamelpunt. Kortsluiting van één batterij zou

13, 30/0, 020 \approx 665

A geven: een zekering vlak bij elke pluspool is geen luxe.

Uitleg · 21.8

Een echte bron: bronspanning en klemspanning

8/19

Het vorige voorbeeld gebruikte een model dat voor elke echte bron werkt: een ideale bron met spanning $U_{0}$ (de bronspanning, wat je meet zonder stroom) in serie met een kleine inwendige weerstand $R_{i}$ . Zodra de bron stroom levert, valt er een deel van de spanning over $R_{i}$ , en blijft er aan de klemmen minder over. De maaswet geeft meteen de formule:

klemspanning van een bron

U_{k} = U_{0} - R_{i} \cdot I

U_{k}

: spanning tussen de klemmen (V);

U_{0}

: bronspanning (V);

R_{i}

: inwendige weerstand (

Ω

);

I

: geleverde stroom (A).

Zet je de klemspanning uit tegen de stroom, dan krijg je een dalende rechte: het snijpunt met de verticale as is $U_{0}$ , de helling is $- R_{i}$ (hoofdstuk 3). Een blokbatterij van 9 V heeft enkele ohm, een AA-cel enkele tienden van een ohm, een grote LiFePO4-batterij enkele milliohm. Daarom zakt een 9 V-batterij merkbaar als je er een motortje aan hangt, en kan een autobatterij honderden ampère leveren om een startmotor te laten draaien.

Kleine inwendige weerstand, grote kortsluitstroom

Bij kortsluiting is $U_{k} = 0$ , dus $I = U_{0} / R_{i}$ . Voor een LiFePO4-batterij van 13,3 V met 20 mΩ is dat 665 A: genoeg om een schroevendraaier te laten smelten. Elke batterij krijgt daarom een zekering zo dicht mogelijk bij de pluspool (F18), en je werkt met geïsoleerd gereedschap.

Hoe meer stroom de bron levert, hoe meer spanning er in de bron zelf verloren gaat.

Uitleg · 21.9

Vervangingsweerstand: serie en parallel in het algemeen

9/19

Een groep weerstanden gedraagt zich naar buiten toe als één weerstand, de vervangingsweerstand $R_{v}$ : bij dezelfde spanning trekt ze dezelfde stroom. De wetten van Kirchhoff geven de formules.

Serie. Door alle weerstanden loopt dezelfde stroom $I$ . De maaswet zegt dat de spanningen optellen: $U = R_{1} I + R_{2} I + \dots + R_{n} I = (R_{1} + R_{2} + \dots + R_{n}) I$ .

Parallel. Over alle weerstanden staat dezelfde spanning $U$ . De knooppuntwet zegt dat de stromen optellen: $I = \frac{U}{R _{1}} + \frac{U}{R _{2}} + \dots + \frac{U}{R _{n}}$ . Deel door $U$ :

vervangingsweerstand in serie en parallel

R_{v} = R_{1} + R_{2} + \dots + R_{n} \frac{1}{R _{v}} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}} + \dots + \frac{1}{R _{n}}

Voor twee weerstanden parallel:

R_{v} = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}

('product door som'). Voor

n

gelijke weerstanden

R

R_{v} = R / n

Parallel is $R_{v}$ altijd kleiner dan de kleinste weerstand: elke extra tak is een extra weg voor de stroom. De grafiek toont het voor 100 Ω parallel met een tweede weerstand: hoe groot $R_{2}$ ook wordt, $R_{v}$ komt nooit boven 100 Ω.

De stroomdeler. Over twee parallelle weerstanden staat dezelfde spanning, dus $R_{1} I_{1} = R_{2} I_{2}$ : de stromen verhouden zich omgekeerd als de weerstanden. Met de totale stroom $I$ :

stroomdeler (twee takken)

I_{1} = I \cdot \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}} I_{2} = I \cdot \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}}

Let op: in de teller staat de weerstand van de andere tak.

In serie één weg, parallel meerdere: de formules volgen uit de maaswet en de knooppuntwet.

Hoe groot R₂ ook wordt, 100 Ω parallel met R₂ blijft onder 100 Ω.

Uitgewerkt voorbeeld · 21.10

Een gemengde schakeling volledig oplossen

10/19

Bereken in het netwerk van het ontleedblad ( $U = 12 V$ , $R_{1} = 470 Ω$ , $R_{2} = 1, 0 kΩ$ , $R_{3} = 680 Ω$ , $R_{4} = 820 Ω$ ) alle stromen en alle spanningen. Controleer met de knooppuntwet en de maaswet.

Vereenvoudigen van binnen naar buiten, daarna terugrekenen van buiten naar binnen.

Gegeven

$U = 12 V$
$R_{1} = 470 Ω$ , $R_{2} = 1000 Ω$ , $R_{3} = 680 Ω$ , $R_{4} = 820 Ω$

Gevraagd

$I_{1}$ , $I_{2}$ , $I_{3}$ ; $U_{1}$ tot $U_{4}$

Oplossing

1
Vereenvoudig van binnen naar buiten. $R_{3}$ en $R_{4}$ staan in serie: $R_{34} = 680 + 820 = 1500 Ω$ .
2
$R_{2}$ staat parallel met $R_{34}$ : $R_{p} = \frac{1000 \cdot 1500}{1000 + 1500} = 600 Ω$ .
3
$R_{1}$ staat in serie met die groep: $R_{v} = 470 + 600 = 1070 Ω$ , dus $I_{1} = \frac{12}{1070} = 0, 01121 A = 11, 21 mA$ .
4
Rek terug naar binnen. $U_{1} = 470 \cdot 0, 01121 = 5, 27 V$ en de spanning over de parallelle groep $U_{p} = 600 \cdot 0, 01121 = 6, 73 V$ .
5
$I_{2} = \frac{6 , 729}{1000} = 6, 73 mA$ en $I_{3} = \frac{6 , 729}{1500} = 4, 49 mA$ .
6
$U_{3} = 680 \cdot I_{3} = 3, 05 V$ en $U_{4} = 820 \cdot I_{3} = 3, 68 V$ .

Antwoord

I_{1} = 11, 21 mA

I_{2} = 6, 73 mA

I_{3} = 4, 49 mA

;

U_{1} = 5, 27 V

U_{2} = 6, 73 V

U_{3} = 3, 05 V

U_{4} = 3, 68 V

Klopt dit? Knooppunt A:

11, 21 = 6, 73 + 4, 49

mA. Maas I:

12 - 5, 27 - 6, 73 = 0

. Maas II (met de klok mee, door

R_{3}

R_{4}

met de stroom mee, door

R_{2}

ertegen in):

- 3, 05 - 3, 68 + 6, 73 = 0

. Alles klopt tot op de afronding.

Uitleg · 21.11

Vermogen in elke weerstand

11/19

Elke weerstand zet elektrische energie om in warmte. Zijn vermogen volgt uit $P = U \cdot I$ (F21), en met de wet van Ohm kan je dat op drie manieren schrijven:

vermogen in een weerstand

P = U \cdot I = R \cdot I^{2} = \frac{U ^{2}}{R}

Kies de vorm met wat je kent: in serie ken je vaak de stroom (

R I^{2}

), parallel de spanning (

U^{2} / R

Twee gevolgen die veel mensen verrassen, met 100 Ω en 220 Ω op 9,0 V (grafiek):

In serie is de stroom gelijk, dus krijgt de grootste weerstand het grootste vermogen ( $P = R I^{2}$ ): 174 mW in 220 Ω tegenover 79 mW in 100 Ω.
Parallel is de spanning gelijk, dus krijgt de kleinste weerstand het grootste vermogen ( $P = U^{2} / R$ ): 810 mW in 100 Ω, 368 mW in 220 Ω.

De vermogensbalans. Energie gaat niet verloren: wat alle bronnen samen leveren, nemen alle weerstanden samen op. In het gemengde voorbeeld: $P_{1} + P_{2} + P_{3} + P_{4} = 59, 1 + 45, 3 + 13, 7 + 16, 5 = 134, 6 mW$ , en de bron levert $12 \cdot 11, 21 mA = 134, 6 mW$ . Dat is een uitstekende controle op een hele berekening.

Een gewone weerstand verdraagt 0,25 W

De weerstandjes in een doos met onderdelen zijn meestal gemaakt voor 0,25 W (¼ W). In de parallelschakeling hierboven wordt de weerstand van 100 Ω met 810 mW meer dan drie keer overbelast: hij wordt heet, verkleurt en kan doorbranden. Reken het vermogen dus altijd na, en kies zo nodig een weerstand van 1 W of 2 W.

In serie wordt de grootste weerstand het warmst, parallel de kleinste.

Proef · 21.12

Kirchhoff nagemeten

12/19

Onderzoeksvraag

Kloppen de knooppuntwet en de maaswet ook met echte meters en weerstanden met een tolerantie?

Materiaal

voeding of 9 V-batterij
weerstanden 1,0 kΩ, 2,2 kΩ en 3,3 kΩ (tolerantie 5 %)
breadboard
multimeters (liefst drie)
draadjes

VeiligheidWerk onder 12 V. Zet de multimeter op mA voor je hem in serie zet; nooit parallel over de bron.

De ampèremeters zitten in de takken, de voltmeters over R₁ en over de parallelle groep.

Werkwijze

1Bouw de schakeling van het schema: R₁ in serie met R₂ en R₃, die parallel staan.
2Bereken vooraf alle stromen en spanningen met de nominale waarden (stroom in mA, spanning in V).
3Meet de bronspanning, de spanning over R₁ en over de parallelle groep.
4Meet de stroom in de hoofdleiding en in elke tak. Heb je maar één meter, verplaats hem dan: open telkens de kring op die plaats.
5Controleer: tellen de takstromen op tot de hoofdstroom? Tellen $U_{1}$ en $U_{2}$ op tot de bronspanning?

Waarneming

meter	berekend (nominaal)	gemeten
bron	9,00 V	9,02 V
A₁ (hoofdleiding)	3,88 mA	3,91 mA
A₂ (tak R₂)	2,33 mA	2,33 mA
A₃ (tak R₃)	1,55 mA	1,58 mA
V₁ (over R₁)	3,88 V	3,86 V
V₂ (over R₂ en R₃)	5,12 V	5,16 V

Voorbeeldmeting. Knooppuntwet: $2, 33 + 1, 58 = 3, 91 mA$ . Maaswet: $3, 86 + 5, 16 = 9, 02 V$ . Beide kloppen op het laatste cijfer.

Verklaring

De wetten van Kirchhoff kloppen ook voor de metingen: ze zijn geen benadering, maar behoud van lading en energie. Waar berekening en meting verschillen, zit het verschil in de gegevens: de bron gaf 9,02 V in plaats van 9,00 V, en de weerstanden wijken tot 5 % af van hun opgedrukte waarde (hier bleek $R_{1} = 0, 988 kΩ$ , $R_{2} = 2, 21 kΩ$ , $R_{3} = 3, 27 kΩ$ met de ohmmeter). Met die echte waarden geeft de berekening precies de metingen.

Een multimeter op het mA-bereik heeft zelf een kleine weerstand (enkele tot enkele tientallen ohm). Tegenover kilo-ohms is dat verwaarloosbaar; in een kring met enkele ohm zou de meter zelf de stroom merkbaar verkleinen. Dat is de reden om voor zo'n proef weerstanden van enkele kilo-ohm te kiezen.

Drie weerstanden, twee meters en een schrift: meer heb je niet nodig om Kirchhoff te controleren.

Uitleg · 21.13

Van netwerk naar stelsel

13/19

Niet elk netwerk bestaat uit serie- en parallelstukken. Staan er twee bronnen in verschillende takken, of zit er een weerstand 'dwars' tussen twee takken (een brug), dan kan je niets meer samennemen. Dan schrijf je de wetten van Kirchhoff gewoon op en los je het stelsel op. Met $b$ takken heb je $b$ onbekende stromen, en dus $b$ onafhankelijke vergelijkingen nodig:

zoveel vergelijkingen als onbekenden

(k - 1) knooppuntvergelijkingen + (b - k + 1) maasvergelijkingen = b

k

: aantal knooppunten;

b

: aantal takken. De laatste knooppuntvergelijking volgt uit de andere;

b - k + 1

is het aantal vensters van een vlak getekend schema.

Voor het netwerk van het ontleedblad: $k = 2$ (A en B), $b = 3$ . Dus 1 knooppuntvergelijking en 2 maasvergelijkingen (vensters I en II): drie vergelijkingen voor $I_{1}$ , $I_{2}$ en $I_{3}$ .

Waarom niet gewoon meer vergelijkingen?

Je kan er meer opschrijven (de buitenste maas, het tweede knooppunt), maar die zijn een som van de andere: ze brengen niets nieuws. Ze zijn wel nuttig als controle achteraf.

Het stappenplan werkt voor elk netwerk, ook als er niets te vereenvoudigen valt.

Uitgewerkt voorbeeld · 21.14

Twee batterijen voeden samen de lampen

14/19

Dezelfde twee batterijen als eerder (13,30 V met 20 mΩ en 13,10 V met 25 mΩ) voeden nu samen de groeilampen. Stel de lampen voor als een weerstand $R_{L} = 0, 90 Ω$ (190 W bij ongeveer 13 V). Hoeveel stroom levert elke batterij, en welke spanning krijgen de lampen?

Drie takken, twee knooppunten, twee vensters: drie vergelijkingen voor drie stromen.

Gegeven

$U_{A} = 13, 30 V$ , $R_{A} = 0, 020 Ω$
$U_{B} = 13, 10 V$ , $R_{B} = 0, 025 Ω$
$R_{L} = 0, 90 Ω$

Gevraagd

$I_{A}$ , $I_{B}$ , $I_{L}$ en de spanning over de lampen

Oplossing

1
Tel: $k = 2$ knooppunten (boven K, onder), $b = 3$ takken. Kies de pijlen zoals in de figuur: $I_{A}$ en $I_{B}$ naar K toe, $I_{L}$ door de lampen naar beneden.
2
Knooppunt K: $I_{A} + I_{B} = I_{L}$ .
3
Maas 1 (A en de lampen, met de klok mee): $13, 30 - 0, 020 I_{A} - 0, 90 I_{L} = 0$ .
4
Maas 2 (B en de lampen, tegen de klok in, ook vanaf de min van B): $13, 10 - 0, 025 I_{B} - 0, 90 I_{L} = 0$ .
5
Substitutie. Vul $I_{L} = I_{A} + I_{B}$ in: $0, 92 I_{A} + 0, 90 I_{B} = 13, 30$ en $0, 90 I_{A} + 0, 925 I_{B} = 13, 10$ .
6
Eliminatie. Trek de tweede vergelijking af van de eerste: $0, 020 I_{A} - 0, 025 I_{B} = 0, 20$ , dus $I_{A} = 10 + 1, 25 I_{B}$ . Invullen in de tweede: $0, 90 (10 + 1, 25 I_{B}) + 0, 925 I_{B} = 13, 10$ , zodat $2, 05 I_{B} = 4, 10$ en $I_{B} = 2, 00 A$ . Dan $I_{A} = 12, 50 A$ en $I_{L} = 14, 50 A$ .

Antwoord

Batterij A levert 12,5 A, batterij B 2,0 A; de lampen krijgen 14,5 A bij

0, 90 \cdot 14, 5 = 13, 05 V

Klopt dit? Maas via A:

13, 30 - 0, 020 \cdot 12, 5 = 13, 05 V

; via B:

13, 10 - 0, 025 \cdot 2, 0 = 13, 05 V

: dezelfde railspanning. Het vermogen in de lampen is

13, 05 \cdot 14, 5 \approx 189 W

: dat klopt met 190 W. De volste batterij levert het meest; zo lopen hun laadtoestanden vanzelf naar elkaar toe.

Code · 21.15

Het stelsel met numpy

15/19

Met de hand is een stelsel van drie vergelijkingen nog te doen; een netwerk met twintig takken niet meer. Schrijf het stelsel daarom als één matrixvergelijking $A \cdot x = b$ : elke rij van $A$ bevat de coëfficiënten van één vergelijking, $x$ is de lijst onbekende stromen, en $b$ bevat wat rechts van het gelijkheidsteken staat. De bibliotheek numpy lost dat op met np.linalg.solve. Hoe dat binnenin werkt (de methode van Gauss) en wat een matrix precies is, leer je in hoofdstuk E5.

1 0, 020 0 10 0, 025 - 1 0, 90 0, 90 I_{A} I_{B} I_{L} = 0 13, 30 13, 10

Pythontwee_batterijen.py25 regelsDownload

# twee_batterijen.py - twee batterijen voeden samen de groeilampen: een stelsel van drie vergelijkingenimport numpy as np UA, RA = 13.30, 0.020     # batterij A: bronspanning (V), inwendige weerstand met kabel (ohm)UB, RB = 13.10, 0.025     # batterij BRL = 0.90                 # de groeilampen als weerstand (ohm) # onbekenden x = [IA, IB, IL], in de gekozen stroomzin van de figuurA = np.array([[1.0, 1.0, -1.0],     # knooppunt K:  IA + IB - IL = 0              [RA,  0.0,  RL],      # maas 1:       RA*IA + RL*IL = UA              [0.0, RB,   RL]])     # maas 2:       RB*IB + RL*IL = UBb = np.array([0.0, UA, UB])IA, IB, IL = np.linalg.solve(A, b)print(f"IA = {IA:.2f} A   IB = {IB:.2f} A   IL = {IL:.2f} A")print(f"spanning over de lampen: {RL * IL:.3f} V") # controle: wat de bronnen leveren, nemen de weerstanden opP_bronnen = UA * IA + UB * IBP_weerstanden = RA * IA**2 + RB * IB**2 + RL * IL**2print(f"bronnen {P_bronnen:.2f} W, weerstanden {P_weerstanden:.2f} W") print("\n  UB (V)   IA (A)   IB (A)   IL (A)")for ub in (12.9, 13.0, 13.1, 13.2, 13.3):    IA, IB, IL = np.linalg.solve(A, [0.0, UA, ub])    print(f"{ub:8.2f} {IA:8.2f} {IB:8.2f} {IL:8.2f}")

Uitvoer (gedraaid bij het bouwen van deze pagina):

IA = 12.50 A   IB = 2.00 A   IL = 14.50 A
spanning over de lampen: 13.050 V
bronnen 192.45 W, weerstanden 192.45 W

  UB (V)   IA (A)   IB (A)   IL (A)
   12.90    16.89    -2.49    14.40
   13.00    14.70    -0.24    14.45
   13.10    12.50     2.00    14.50
   13.20    10.30     4.24    14.55
   13.30     8.11     6.49    14.60

De vermogensbalans klopt tot op de laatste decimaal: een goede test voor elk programma dat netwerken oplost. De tabel toont wat er gebeurt als batterij B leger is: bij 12,9 V wordt $I_{B}$ negatief, en laadt batterij A haar bij terwijl ze ook nog de lampen voedt. De lampen zelf merken bijna niets: hun stroom blijft rond 14,5 A.

Uitleg · 21.16

Habitat: de 5 V-voeding van alle sensoren narekenen

16/19

De microcontroller en alle sensoren van de klimaatmodule hangen parallel aan één 5 V-rail, die gevoed wordt door een omvormer van 12 V naar 5 V (rendement 83 %, zoals in de meetkas). De rail is één knooppunt: de stroom die de omvormer levert, is de som van alle verbruikers. Voor elke verbruiker haal je de stroom uit de datasheet: het gemiddelde voor het energieverbruik, de piek om de omvormer en de draden te kiezen.

verbruiker op 5 V	gemiddeld (mA)	piek (mA)
microcontroller (Arduino Mega 2560, rekenwaarde)	50	50
CO₂-sensor (NDIR, MH-Z19B)	60	150
pH-module (hoofdstuk 15)	10	10
stroomsensor ACS712 (hoofdstuk 16)	10	13
druksensor MPX5010 (hoofdstuk 11)	5	10
SD-kaartmodule (datalogger)	10	100
twee statusleds (hoofdstuk 23)	10	20
temperatuur en RV (DHT22)	1,5	1,5
lichtsensor, LDR + 1 kΩ (hoofdstuk 22)	2	4,5
NTC in het reservoir (hoofdstuk 22)	0,25	0,25
EC-meting, gepulst (hoofdstuk 13)	0,10	2,3
som (knooppuntwet)	158,8	361,6

Vermogen. Aan de 5 V-kant: $5 \cdot 0, 159 = 0, 79 W$ gemiddeld, 1,81 W bij de pieken. De omvormer neemt aan de 12 V-kant $P_{in} = P_{uit} / η = 0, 79/0, 83 = 0, 96 W$ gemiddeld (2,2 W piek), bij 12,8 V een stroom van 0,075 A. Een omvormer van 1 A aan de 5 V-kant heeft dus meer dan genoeg reserve, en de zekering van 1 A aan de 12 V-kant beschermt de draad.

Het budget. Hoofdstuk 20 rekende voor 'microcontroller en sensoren' met 3,0 W. De som van de datasheets geeft 0,96 W gemiddeld: het budget is ruim. Die ruimte is welkom: een display en een wifi-module voor de datalogger komen er later bij (opdracht 21.13), en een kleine omvormer werkt bij weinig belasting slechter dan 83 %.

De sensorkast op drie meter. De CO₂-sensor, de temperatuursensor en de lichtsensor zitten in een kastje boven het kweekbed, 3,0 m van de microcontroller, aan een sensorkabel met aders van 0,14 mm². De weerstand van een draad volgt uit zijn lengte en doorsnede:

weerstand van een draad

R = ρ \cdot \frac{L}{A}

ρ

: soortelijke weerstand, voor koper

0, 0172 Ω \cdot m m^{2} /m

;

L

: lengte (m);

A

: doorsnede (mm²).

Eén ader: $R = 0, 0172 \cdot 3, 0/0, 14 = 0, 369 Ω$ . Bij de piek van het kastje (156 mA, vooral de CO₂-sensor) valt er over de plus- én over de massader 0,057 V. De maaswet langs plusader, sensor en massader: $5, 00 - 2 \cdot 0, 057 = 4, 89 V$ aan de sensoren. Dat ligt binnen de 4,5 tot 5,5 V die de CO₂-sensor vraagt.

Elf verbruikers parallel op de 5 V-rail; tussen haakjes de piekstroom. De omvormer levert de som.

De sensorkast boven het kweekbed hangt aan drie meter kabel: ook die draden hebben weerstand.

Uitgewerkt voorbeeld · 21.17

Habitat: waarom de pH verspringt als de pomp aanslaat

17/19

Bij de eerste test van de klimaatmodule verspringt de gemeten pH telkens met ongeveer een halve eenheid als de pomp aanslaat. De pH-module (hoofdstuk 15: 2,50 V bij pH 7,00, $- 0, 18 V$ per pH) en de pomp (1,0 A) staan allebei bij het reservoir. Om draad te sparen, lopen hun massadraden samen over één ader van 2,5 m en 0,5 mm² naar de massa van de microcontroller. Verklaar het verspringen en reken het na.

Links deelt de pH-module haar massadraad met de pomp; rechts heeft elk zijn eigen draad naar één sterpunt.

Gegeven

gedeelde massadraad: $L = 2, 5 m$ , $A = 0, 5 m m^{2}$ , koper
pomp 1,0 A, pH-module 10 mA
pH-module: $- 0, 18 V$ per pH

Gevraagd

de verschuiving van de massa van de module
de fout in de pH
een oplossing

Oplossing

1
Weerstand van de gedeelde draad: $R = 0, 0172 \cdot 2, 5/0, 5 = 0, 086 Ω$ .
2
Als de pomp draait, loopt er $1, 0 + 0, 01 = 1, 01 A$ door die draad naar de microcontroller. De massa van de module ligt dan $0, 086 \cdot 1, 01 = 0, 087 V$ hoger dan de massa van de microcontroller.
3
De module zet haar signaal ten opzichte van haar eigen massa. Maaswet langs signaaldraad, module en massadraad: de microcontroller meet het signaal plus 0,087 V.
4
Een hogere spanning betekent bij deze module een lagere pH: de fout is $0, 087/0, 18 = 0, 48$ pH. De regeling denkt dat de oplossing zuurder wordt zodra de pomp draait.
5
Oplossing: een sterpunt. De pomp krijgt een eigen retourdraad rechtstreeks naar de minpool. Door de massadraad van de module loopt dan alleen haar eigen 10 mA: $0, 086 \cdot 0, 010 = 0, 00086 V$ , of 0,005 pH.

Antwoord

De pompstroom maakt over de gedeelde massadraad 87 mV, en de pH-meting schuift daardoor 0,48 pH op. Met een eigen retourdraad voor de pomp (sterpunt) wordt de fout 0,005 pH: honderd keer kleiner.

Klopt dit? De sprong is even groot als de waarneming ('ongeveer een halve eenheid'), en ze verdwijnt als de pomp stilvalt: een sterk teken dat de verklaring klopt. Dezelfde regel geldt voor elke analoge sensor: grote stromen (lampen, pomp, ventilatoren) nooit door de massadraad van een meting laten lopen.

Naslag · 21.18

Overzicht: de wetten van Kirchhoff

18/19

knooppuntwet

\sum I_{in} = \sum I_{uit}

symbool	betekenis	eenheid
$I$	stroom in een tak (met gekozen pijl)	A

maaswet

maas \sum Δ V = 0

symbool	betekenis	eenheid
$Δ V$	stijging (+) of daling (−) van de potentiaal	V

vervangingsweerstand in serie en parallel

R_{v} = R_{1} + R_{2} + \dots \frac{1}{R _{v}} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}} + \dots

symbool	betekenis	eenheid
$R_{v}$	vervangingsweerstand	Ω

stroomdeler

I_{1} = I \cdot \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}}

symbool	betekenis	eenheid
$I$	stroom naar de twee takken	A

vermogen in een weerstand

P = U I = R I^{2} = \frac{U ^{2}}{R}

symbool	betekenis	eenheid
$P$	vermogen	W

klemspanning

U_{k} = U_{0} - R_{i} I

symbool	betekenis	eenheid
$U_{0}$	bronspanning	V
$R_{i}$	inwendige weerstand	Ω

weerstand van een draad

R = ρ \frac{L}{A}

symbool	betekenis	eenheid
$ρ$	soortelijke weerstand (koper 0,0172)	Ω·mm²/m
$L$	lengte	m
$A$	doorsnede	mm²

je loopt door ...	in de zin van de pijl / van − naar +	tegen de pijl / van + naar −
een weerstand $R$ met stroom $I$	$- R \cdot I$	$+ R \cdot I$
een bron $U$	$+ U$ (van − naar +)	$- U$ (van + naar −)
een draad	0 (geen weerstand, geen spanning)

Een negatieve stroom in de uitkomst: de stroom loopt tegen de gekozen pijl in. Een negatieve spanning: de potentiaal daalt waar je een stijging verwachtte.

stap	wat je doet
1	Knooppunten ( $k$ ) en takken ( $b$ ) tellen; per tak een stroompijl.
2	$k - 1$ knooppuntvergelijkingen.
3	$b - k + 1$ maasvergelijkingen, één per venster, met de tekenafspraken.
4	Oplossen: vereenvoudigen als het kan, anders substitutie of numpy.
5	Controle: een extra knooppunt of maas, de vermogensbalans, en de orde van grootte.

Het geheel · 21.19

Waar Kirchhoff vandaan komt en waar hij heen gaat

19/19

De twee wetten zijn behoudswetten: de knooppuntwet is behoud van lading, de maaswet behoud van energie. Daarom duiken ze ook buiten de elektriciteit op, overal waar iets 'stroomt' onder invloed van een 'verschil': water door leidingen (druk en debiet, hoofdstuk 11), warmte door een wand (temperatuur en warmtestroom, hoofdstuk 19), zelfs verkeer op een kruispunt. En een netwerk oplossen is lineaire algebra: de leerlijn wiskundig modelleren en de leerlijn programmeren komen hier samen.

F19 Spanning, stroom en weerstand

De wet van Ohm, die je hier in elke tak gebruikt.

F20 Serie- en parallelschakeling

De vier regels voor serie en parallel: bijzondere gevallen van Kirchhoff.

F21 Elektrisch vermogen en energie

P = U · I, nu per weerstand en als vermogensbalans.

I3 Verbanden in data

De inwendige weerstand van een bron is de helling van een rechte door meetpunten.

I16 Redox en batterijen

De LiFePO4-batterij, de coulombteller en het teken van laden en ontladen.

I20 Zonne-energie dimensioneren

De tweede batterij en het budget van 3,0 W voor de sensoren.

I22 De spanningsdeler en sensoren

Twee weerstanden in serie als spanningsdeler: zo meet je met een sensor.

I24 Condensatoren en de RC-tijd

Kirchhoff blijft gelden als de spanning verandert, ook met condensatoren.

E5 Vectoren en matrices

Het stelsel als matrixvergelijking, en hoe de methode van Gauss het oplost.

E22 Operationele versterkers

De brug van Wheatstone en de instrumentatieversterker: netwerken met een meetdoel.

HabitatDe voeding van de klimaatmodule is nagerekend: een 5 V-rail met gemiddeld 0,16 A en pieken tot 0,36 A, een omvormer van 1 A, minder dan 1 W aan de 12 V-kant tegenover de 3,0 W van het budget, en 4,89 V aan de sensoren op drie meter kabel. De grootste les zit in de massa: grote stromen krijgen een eigen retourdraad naar een sterpunt. In opdracht 21.13 breid je de rail uit met een display en een wifi-module.

Samenvatting

In het kort

Een knooppunt is een punt waar drie of meer draden samenkomen, een tak het stuk ertussen, een maas een gesloten lus.
Knooppuntwet: wat een knooppunt binnenkomt, gaat eruit ( $\sum I_{in} = \sum I_{uit}$ ); behoud van lading.
Maaswet: langs een gesloten lus is de som van de potentiaalverschillen nul; behoud van energie. Bron van − naar +: $+ U$ ; weerstand met de pijl mee: $- R I$ .
Kies de stroompijlen vrij: een negatieve uitkomst betekent dat de stroom tegen de pijl in loopt.
Vervangingsweerstand: in serie $R_{1} + R_{2} + \dots$ ; parallel $1/ R_{v} = 1/ R_{1} + 1/ R_{2} + \dots$ , altijd kleiner dan de kleinste.
Vermogen per weerstand: $P = R I^{2} = U^{2} / R$ ; in serie wordt de grootste weerstand het warmst, parallel de kleinste. De bronnen leveren wat de weerstanden opnemen.
Een echte bron: $U_{k} = U_{0} - R_{i} I$ . Een netwerk met $b$ takken en $k$ knooppunten geeft $k - 1$ knooppunt- en $b - k + 1$ maasvergelijkingen: los ze op met de hand of met numpy.
Een gedeelde massadraad laat de stroom van een grote verbruiker in een sensormeting doorklinken: gebruik een sterpunt.

Begrippen

Wat je nu kent

knooppunt: Punt waar drie of meer geleiders samenkomen. Punten die alleen door een draad zonder onderdelen verbonden zijn, vormen samen één knooppunt.
tak: Stuk van een netwerk tussen twee knooppunten, zonder vertakking: door alle onderdelen van een tak loopt dezelfde stroom.
maas: Gesloten lus in een netwerk. Een venster van een vlak getekend schema is een onafhankelijke maas.
knooppuntwet: De som van de stromen die een knooppunt binnenkomen, is gelijk aan de som van de stromen die eruit gaan (behoud van lading).
maaswet: Langs een gesloten lus is de som van de spanningen nul: je komt terug op dezelfde potentiaal (behoud van energie).
potentiaal: De spanning van een punt ten opzichte van een gekozen referentiepunt (de massa, 0 V).
inwendige weerstand: Weerstand in een bron zelf; hierdoor zakt de klemspanning als de bron stroom levert: $U_{k} = U_{0} - R_{i} I$ .
vermogensbalans: Het vermogen dat de bronnen leveren, is gelijk aan de som van de vermogens in alle weerstanden.
sterpunt: Eén gemeenschappelijk massapunt waar elke verbruiker met een eigen retourdraad op aansluit, zodat grote stromen geen spanning opwekken in de massa van een sensor.

Aan de slag in het werkboek17 opdrachten, van oefenen tot uitdagen