IIntermediate · deel I2 · Wiskunde als taal van STEM

Oplossingen · hoofdstuk 4Functies als modellen

Rechten en parabolen die kosten, afstanden en remwegen voorspellen, en weten waar ze ophouden

Uitgewerkte oplossingen bij de 15 opdrachten van het werkboek. Voor de leerkracht, en voor wie zichzelf wil verbeteren nadat hij het eerst zelf probeerde.

5× oefenen6× toepassen4× uitdagen± 349 min

WWiskundig modelleren KKrachten, beweging en constructies

Gelijke tijdstappen, ongelijke afstanden: de baan van een bal is een parabool, en de top is waar hij het traagst gaat.

Voor de leerkrachtDeze pagina bevat de antwoorden. Druk het werkboek af zonder deze pagina.

Oefenen

één stap, direct toepassen

4.1

Functie of niet?

Oefenen3Begrijpen10 min

Een functie koppelt aan elke invoer precies één uitvoer. Beoordeel de vijf voorschriften.

a
Is dit een functie? Leg telkens kort uit.
(a) Ja: elk bakje heeft één massa. (b) Nee: twee bakjes kunnen dezelfde massa hebben, dan is de uitvoer niet uniek. (c) Ja: op elk tijdstip is er één temperatuur. (d) Nee: dezelfde temperatuur komt meestal twee keer per dag voor (bij het opwarmen en bij het afkoelen). (e) Nee: bij $x = 4$ horen $y = 2$ én $y = - 2$ .
b
Je meet een volle dag de temperatuur in de kas. Ze blijft tussen 9 °C en 31 °C. Geef een zinvol domein en bereik voor (c).
Domein $0 \leq t \leq 24 h$ (of de meetperiode), bereik $9 \leq T \leq 31^{\circ} C$ .

4.2

Taxi: tabel, formule, grafiek

Oefenen3Rekenen15 min

Een taxi rekent € 4,20 instapprijs en € 2,10 per gereden kilometer.

a
Vul de tabel in.
€ 4,20; € 8,40; € 14,70; € 21,00; € 29,40.
b
Schrijf de formule $K (x)$ . Wat betekenen de twee getallen, met hun eenheid?
$K (x) = 2, 10 x + 4, 20$ (K in €, x in km). € 2,10 per km: de prijs per kilometer (de helling). € 4,20: wat je al betaalt voor de taxi vertrekt (de beginwaarde).
c
Teken de grafiek voor 0 tot 12 km. Wat is een zinvol domein?
Een rechte van $(0; 4, 20)$ tot $(12; 29, 40)$ . Domein: $x \geq 0$ , tot de langste rit die je realistisch maakt. (Een echte taximeter telt in kleine stapjes, bijna een doorlopende lijn.)
d
Hoe ver geraak je met € 30?
$2, 10 x + 4, 20 = 30$ geeft $x = 25, 80/2, 10 = 12, 28 km$ : je geraakt ongeveer 12,2 km ver (naar beneden afronden, anders is het geld op).

4.3

Helling en beginwaarde met betekenis

Oefenen3Begrijpen12 min

Vier lineaire modellen, met hun grootheden en eenheden.

a
Geef $a$ en $b$ met eenheid en betekenis, en zeg of het nulpunt iets betekent.
$V$ : $a = - 2, 5 L/min$ (er loopt 2,5 L per minuut weg), $b = 60 L$ (begininhoud); nulpunt $t = 24 min$ : het reservoir is leeg, meteen het einde van het domein. $T$ : $a = - 6, 5^{\circ} C/km$ , $b = 15^{\circ} C$ op zeeniveau; nulpunt $h = 2, 3 km$ : het vriesniveau in de standaardatmosfeer. $K$ : $a = 11$ euro per plantplaats, $b = 260$ euro vaste kost; nulpunt $n = - 23, 6$ : buiten het domein, zonder betekenis. $T_{F}$ : $a = 1, 8^{\circ} F$ per °C, $b = 32^{\circ} F$ (het vriespunt van water); nulpunt $T_{C} = - 17, 8^{\circ} C$ : een echte temperatuur, maar zonder bijzondere betekenis.
b
Bij welke temperatuur geven de Celsius- en de Fahrenheitschaal hetzelfde getal?
$T_{F} = T_{C}$ : $1, 8 T + 32 = T$ , dus $0, 8 T = - 32$ en $T = - 40$ . Bij −40 °C is het ook −40 °F: het snijpunt van $T_{F} (T_{C})$ met de rechte $y = x$ .

4.4

Top en nulpunten berekenen

Oefenen4Rekenen15 min

Bereken voor elke functie de top, de discriminant en de nulpunten. Zeg of de top een maximum of een minimum is.

a
$f (x) = - 2 x^{2} + 8 x - 6$
$x_{top} = - 8/ (- 4) = 2$ , $f (2) = - 8 + 16 - 6 = 2$ : top $(2; 2)$ , een maximum ( $a < 0$ ). $D = 64 - 48 = 16$ , nulpunten $x = (- 8 \pm 4) / (- 4)$ : $x = 1$ en $x = 3$ .
b
$g (x) = x^{2} - 6 x + 9$
$x_{top} = 6/2 = 3$ , $g (3) = 0$ : top $(3; 0)$ , minimum. $D = 36 - 36 = 0$ : één nulpunt, $x = 3$ ; de parabool raakt de as in haar top. ( $g (x) = (x - 3)^{2}$ .)
c
$h (x) = 0, 5 x^{2} + x + 3$
$x_{top} = - 1/ (2 \cdot 0, 5) = - 1$ , $h (- 1) = 0, 5 - 1 + 3 = 2, 5$ : top $(- 1; 2, 5)$ , minimum. $D = 1 - 6 = - 5 < 0$ : geen nulpunten. Logisch: een dalparabool met haar laagste punt boven de as.
d
Schets de drie parabolen in één assenstelsel.
f: bergparabool door (1; 0), (2; 2), (3; 0). g: dalparabool die de as raakt in (3; 0). h: dalparabool volledig boven de as, laagste punt (−1; 2,5).

4.5

Een kogelstoot lezen

Oefenen4Analyseren12 min

De baan van een kogel bij een kogelstoot van wereldniveau, zonder luchtweerstand, is

h (x) = - 0, 048 x^{2} + 0, 96 x + 2, 0

, met

x

de horizontale afstand vanaf de hand en

h

de hoogte, allebei in m.

De kogel verlaat de hand op 2,0 m hoogte.

a
Op welke hoogte verlaat de kogel de hand? Uit welk getal van de formule lees je dat meteen?
2,0 m: het getal $c = h (0)$ .
b
Bereken het hoogste punt van de baan.
$x_{top} = - 0, 96/ (2 \cdot (- 0, 048)) = 10 m$ , $h (10) = - 4, 8 + 9, 6 + 2, 0 = 6, 8 m$ .
c
Hoe ver vliegt de kogel (tot hij de grond raakt)?
$D = 0, 9 6^{2} + 4 \cdot 0, 048 \cdot 2, 0 = 1, 306$ , $D = 1, 143$ ; $x = (- 0, 96 - 1, 143) / (- 0, 096) = 21, 9 m$ .
d
De formule heeft nog een nulpunt. Waar, en waarom telt het niet?
$x = (- 0, 96 + 1, 143) / (- 0, 096) = - 1, 9 m$ : achter de werper. De kogel was daar nooit; het domein begint bij de hand ( $x \geq 0$ ).
e
Is dit de hoogte als functie van de tijd? Waarom is de baan toch een parabool?
Nee, het is de hoogte als functie van de horizontale afstand: de vorm van de baan. Zonder luchtweerstand gaat de kogel horizontaal met constante snelheid (x is evenredig met t) en verticaal zoals bij een verticale worp; daardoor is ook h als functie van x een parabool (hoofdstuk E8).

Toepassen

meerdere stappen, in een context

4.6

Printen: welke formule is het goedkoopst?

Toepassen5Rekenen25 min

Voor de behuizingen en houders van de klimaatmodule moet de klas het komende jaar onderdelen 3D-printen. Drie mogelijkheden: (A) een printservice rekent € 0,15 per gram; (B) een eigen printer kopen voor € 250, filament en stroom kosten dan € 0,025 per gram; (C) een jaarabonnement bij een makerspace voor € 60, plus € 0,05 per gram.

a
Schrijf de drie kostenfuncties $K_{A} (m)$ , $K_{B} (m)$ en $K_{C} (m)$ met $m$ in gram.
$K_{A} = 0, 15 m$ ; $K_{B} = 250 + 0, 025 m$ ; $K_{C} = 60 + 0, 05 m$ (K in €).
b
Teken de drie rechten voor 0 tot 8000 g.
A start in de oorsprong en is het steilst; B start het hoogst en is het vlakst; C zit ertussen.
c
Bereken de drie snijpunten.
A = C: $0, 10 m = 60$ , $m = 600 g$ . A = B: $0, 125 m = 250$ , $m = 2000 g$ . B = C: $0, 025 m = 190$ , $m = 7600 g$ .
d
Welke keuze is de goedkoopste, afhankelijk van de verwachte massa? Geef je advies in een zin per gebied.
Tot 600 g: printservice (A). Van 600 g tot 7600 g: makerspace (C). Boven 7600 g: eigen printer (B). Het snijpunt A = B bij 2000 g doet er niet toe, want daar is C goedkoper dan allebei.
e
Noem twee dingen die dit model niet meeneemt.
Bijvoorbeeld: je eigen werktijd (printen, mislukte prints), verzendkosten of verplaatsingen, de restwaarde van de printer na een jaar, onderhoud en vervangonderdelen, de levertijd.

4.7

Stopafstand op een natte weg

Toepassen5Rekenen20 min

Op een natte weg remt een auto met een vertraging van 5,0 m/s². De bestuurder is moe: zijn reactietijd is 1,5 s. In een schoolstraat moet hij binnen 25 m kunnen stoppen.

a
Schrijf de stopafstand $d (v)$ met $v$ in m/s.
$d (v) = 1, 5 v + \frac{v ^{2}}{10}$ (d in m, v in m/s).
b
Bereken de stopafstand bij 30 km/h en bij 50 km/h.
30 km/h = 8,33 m/s: $12, 5 + 6, 9 = 19, 4 m$ . 50 km/h = 13,9 m/s: $20, 8 + 19, 3 = 40, 1 m$ .
c
Hoe snel mag hij hoogstens rijden om binnen 25 m te stoppen? Geef het antwoord in km/h.
$0, 1 v^{2} + 1, 5 v - 25 = 0$ . $D = 2, 25 + 10 = 12, 25$ , $D = 3, 5$ , $v = (- 1, 5 + 3, 5) /0, 2 = 10 m/s = 36 km/h$ .
d
Waarom schrap je een van de twee oplossingen?
De andere oplossing is $v = (- 1, 5 - 3, 5) /0, 2 = - 25 m/s$ : een negatieve snelheid, buiten het domein $v \geq 0$ .
e
Vergelijk bij 50 km/h met de uitgeruste bestuurder op de droge weg uit het handboek (27,7 m). Hoeveel procent langer is de stopafstand nu?
$40, 1/27, 7 = 1, 45$ : 45 % langer. Nog 12 m extra: in een schoolstraat het verschil tussen stoppen en een aanrijding.

4.8

Een waterraket

Toepassen4Rekenen20 min

Een waterraket uit een PET-fles schiet recht omhoog. Zodra het water eruit is, is haar hoogte (vereenvoudigd, vanaf de grond gerekend)

h (t) = 18 t - 4, 905 t^{2}

(h in m, t in s).

a
Hoe hoog komt de raket, en wanneer?
$t_{top} = 18/9, 81 = 1, 83 s$ ; $h = 18 \cdot 1, 835 - 4, 905 \cdot 1, 83 5^{2} = 16, 5 m$ .
b
Na hoeveel seconden landt ze?
$t (18 - 4, 905 t) = 0$ : $t = 0$ (start) of $t = 3, 67 s$ , het dubbele van de stijgtijd (symmetrie).
c
Hoe lang is ze hoger dan 10 m?
$4, 905 t^{2} - 18 t + 10 = 0$ : $D = 324 - 196, 2 = 127, 8$ , $D = 11, 30$ ; $t = (18 \pm 11, 30) /9, 81$ : 0,68 s en 2,99 s. Dus 2,30 s boven 10 m.
d
Noem twee redenen waarom de echte vlucht anders verloopt dan dit model.
Luchtweerstand (de raket is licht en snel: ze komt minder hoog en valt trager), de stuwfase met water en druk zit niet in het model, de raket kantelt en vliegt niet perfect verticaal, wind.

4.9

Welk model past?

Toepassen5Analyseren20 min

Drie meetreeksen, telkens bij gelijke stappen. (P) Hoogte

h

(cm) van water in een lekkende emmer, om de 5 min: 24,0; 21,1; 18,4; 15,9; 13,6; 11,5. (Q) Oppervlakte (cm²) van een vierkant zonnecelletje met zijde 1, 2, 3, 4, 5 cm: 1; 4; 9; 16; 25. (R) Afgelegde weg (m) van een skateboard op een vlakke vloer, per seconde: 0; 2,1; 4,2; 6,2; 8,3; 10,4.

a
Bereken voor elke reeks de eerste en de tweede verschillen.
P: eerste verschillen −2,9; −2,7; −2,5; −2,3; −2,1; tweede verschillen allemaal +0,2. Q: 3, 5, 7, 9; tweede 2, 2, 2. R: 2,1; 2,1; 2,0; 2,1; 2,1; tweede verschillen ongeveer 0.
b
Welk soort model past bij elke reeks? Past dat bij wat je fysisch verwacht?
P: kwadratisch (constante tweede verschillen): de emmer loopt trager leeg naarmate er minder water in staat, omdat de druk onderaan kleiner wordt. Q: kwadratisch, $A = z^{2}$ , zoals voor elke oppervlakte. R: lineair, een beweging met (bijna) constante snelheid.
c
Stel voor reeks R het model op en voorspel de positie na 8 s. Mag dat?
$s = 2, 08 m/s \cdot t$ (de helling uit de eerste en laatste meting: $10, 4/5$ ). Na 8 s: 16,6 m. Dat is een extrapolatie: op een vlakke vloer remt de wrijving het skateboard langzaam af, dus het werkelijke getal is kleiner. Vermeld het als schatting.

4.10

Labo: de knikker in de goot

Toepassen5Labo50 min

Doe de proef uit het handboek zelf. Kies een andere helling dan in het handboek (bijvoorbeeld 3 cm of 7 cm hoogteverschil over de goot) en bepaal het model en de versnelling.

Film van opzij, met de camera stil: dan lees je de positie beeld per beeld af.

a
Beschrijf je opstelling: lengte en hoogteverschil van de goot, beeldfrequentie, gekozen tijdstap.
Bijvoorbeeld: goot 1,20 m, 7 cm hoogteverschil, video aan 30 beelden per seconde, tijdstap 0,3 s (elk negende beeld).
b
Noteer je metingen en bereken de verschillen.
Posities die van 0 cm oplopen tot ongeveer 110 cm; eerste verschillen die elke stap met ongeveer evenveel toenemen; tweede verschillen die rond een vaste waarde schommelen.
c
Zet $s$ uit tegen $t$ en tegen $t^{2}$ . Welk model past? Bepaal de versnelling op twee manieren (tweede verschillen en helling van $s$ tegen $t^{2}$ ).
Kwadratisch: $s$ tegen $t^{2}$ is een rechte door de oorsprong met helling $a /2$ . Met tweede verschillen: $a = Δ^{2} s / (Δ t)^{2}$ . Beide methoden moeten binnen enkele procenten overeenkomen.
d
Vergelijk met het handboek (0,40 m/s² bij 4 à 5 cm). Wat verwacht je bij een steilere goot, en klopt dat?
Een steilere goot geeft een grotere versnelling, ongeveer evenredig met het hoogteverschil zolang de helling klein is (bij 7 cm ongeveer 1,5 keer zoveel als bij 4,5 cm).
e
Wat is het geldigheidsgebied van je model?
Tot het einde van de goot, bij kleine hellingen (geen slippen), en zolang de snelheid klein blijft (luchtweerstand en wrijving verwaarloosbaar).

Zo wordt dit beoordeeld

Meten	Camera stil en loodrecht, vaste tijdstap, posities met afleesfout (±0,5 cm is realistisch).
Verschillen	Eerste en tweede verschillen correct; besluit over het modeltype met verwijzing naar de meetfout.
Grafiek en model	s tegen t² is een rechte door de oorsprong; helling = a/2; a met eenheid.
Geldigheid	Grenzen benoemd: lengte van de goot, slippen bij steile helling, wrijving.

4.11

Python: de stopafstand in een lus

Toepassen5Programmeren20 min

Een leerling schrijft een programma dat de stopafstand uit het handboek berekent.

def stopafstand(v_kmh, t_r=1.0, a_rem=7.0):
    v = v_kmh / 3.6                   # km/h omzetten naar m/s
    return v * t_r + v ** 2 / (2 * a_rem)


for v in (30, 50, 70):
    print(v, "km/h:", round(stopafstand(v), 1), "m")

v = 0
while stopafstand(v) <= 40:
    v = v + 1
print("vanaf", v, "km/h is de stopafstand groter dan 40 m")

a
Voorspel de eerste drie regels die het programma print (rond af op 0,1 m zoals de code).
30 km/h: 13.3 m, 50 km/h: 27.7 m, 70 km/h: 46.5 m (gecontroleerd door het programma te draaien).
b
Wat doet de while-lus? Voorspel de laatste regel.
De lus verhoogt v telkens met 1 km/h zolang de stopafstand hoogstens 40 m is. Ze stopt bij de eerste snelheid waarbij de stopafstand groter is dan 40 m: vanaf 64 km/h is de stopafstand groter dan 40 m.
c
Voer het programma uit en controleer. Verander dan de oproep in de lus in stopafstand(v, 1.5, 5.0) (de natte weg van opdracht 4.7). Wat print het nu?
vanaf 50 km/h is de stopafstand groter dan 40 m (bij 49 km/h is ze 38,9 m, bij 50 km/h 40,1 m).
d
Het handboek vond met de abc-formule 63,6 km/h. Waarom print het programma een ander getal? Wat is de nauwkeurigheid van deze methode?
De lus zoekt in stappen van 1 km/h en geeft de eerste gehele snelheid voorbij de grens: het echte snijpunt (63,6 km/h) ligt tussen 63 en 64. De nauwkeurigheid is de stapgrootte, 1 km/h. Kleinere stappen geven een nauwkeuriger antwoord maar meer rekenwerk; de abc-formule geeft het exact. Zo'n zoekmethode werkt wel voor elke functie, ook als er geen formule voor de oplossing bestaat (hoofdstuk E36).

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

4.12

Habitat: een kostenmodel voor de hydroponie

Uitdagen6Habitat45 min

De klimaatmodule krijgt een hydroponiesysteem (hoofdstuk 36). Er is plaats voor hoogstens 48 plantplaatsen, en het budget is € 800. Twee opties:
(A) kant-en-klare hydroponiebakken: € 38 per plantplaats, alles inbegrepen;
(B) zelf bouwen met pvc-goten: € 260 vaste kost (pomp, lichtdicht reservoir van 60 L, timer, EC- en pH-sensor) plus € 11 per plantplaats (goot, netpotje, substraat).

a
Stel $K_{A} (n)$ en $K_{B} (n)$ op. Wat is het domein? Is de grafiek een lijn of een rij punten?
$K_{A} (n) = 38 n$ en $K_{B} (n) = 260 + 11 n$ (in €). Domein: $n \in {0, 1, 2, \dots, 48}$ . De grafiek is een rij losse punten op een rechte.
b
Bereken het snijpunt en leg uit wat het voor de keuze betekent.
$38 n = 260 + 11 n$ geeft $27 n = 260$ , $n = 9, 6$ . Onder 10 plantplaatsen is A goedkoper, vanaf 10 is B goedkoper. Voor een module met tientallen plaatsen is zelf bouwen dus voordeliger.
c
De kost per plantplaats is $k (n) = K (n) / n$ . Bereken $k_{A}$ en $k_{B}$ voor 12, 24 en 48 plaatsen. Welk soort functie is $k_{B}$ ? Welke waarde nadert ze?
$n = 12$ : $K_{A} = 456$ , $K_{B} = 392$ , $k_{A} = 38, 00$ , $k_{B} = 32, 67$ . $n = 24$ : 912; 524; 38,00; 21,83. $n = 48$ : 1824; 788; 38,00; 16,42. $k_{B} (n) = 11 + 260/ n$ : een omgekeerd evenredig deel (hoofdstuk 3) plus een constante. Ze nadert € 11 voor grote $n$ : de vaste kost wordt over steeds meer plaatsen verdeeld.
d
Hoeveel plantplaatsen krijg je binnen het budget met elke optie? Houd rekening met de plaats.
A: $38 n \leq 800$ geeft $n \leq 21, 05$ , dus 21 plaatsen. B: $260 + 11 n \leq 800$ geeft $n \leq 49, 1$ , maar er is plaats voor 48: 48 plaatsen voor € 788.
e
Schrijf een advies van vijf à zes regels voor het projectteam: je keuze, het kantelpunt, de kost per plantplaats, en twee grenzen van je model.
Bijvoorbeeld: 'We bouwen het systeem zelf (optie B). Vanaf 10 plantplaatsen is dat goedkoper; met 48 plaatsen kost het € 788, € 16,42 per plaats tegenover € 38 bij kant-en-klaar, en we blijven binnen het budget. Het model telt geen werkuren, geen onderhoud en geen reserveonderdelen, en de prijzen zijn richtprijzen van vandaag. Zelfbouw vraagt ook tests op lekken voor we planten zetten.'

Zo wordt dit beoordeeld

Model	Beide functies correct, met eenheden; domein 0 tot 48 natuurlijke getallen; grafiek als punten.
Snijpunt	Algebraïsch opgelost (9,6) en correct vertaald: vanaf 10 plantplaatsen is B goedkoper.
Kost per plaats	Tabel juist; k_B herkend als 11 + 260/n (omgekeerd evenredig deel plus constante), nadert € 11.
Advies	Onderbouwde keuze met getallen; minstens twee modelgrenzen (werkuren, prijzen, onderhoud, risico van zelfbouw).

4.13

Kruidenpotjes verkopen

Uitdagen6Rekenen30 min

De klas verkoopt kruidenpotjes uit de kas op de schoolmarkt. Een bevraging geeft een vraagmodel: om

n

potjes per week te verkopen, mag de prijs hoogstens

p (n) = 6 - 0, 05 n

euro zijn. Een potje (pot, grond, zaad) kost € 1,20, en de standplaats kost € 20 per week.

a
Schrijf de opbrengst $R (n) = n \cdot p (n)$ . Bij hoeveel potjes is de opbrengst het grootst, en tegen welke prijs?
$R (n) = 6 n - 0, 05 n^{2}$ . Top: $n = - 6/ (2 \cdot (- 0, 05)) = 60$ potjes, prijs $p = 6 - 3 = 3, 00$ euro, opbrengst $R = 180$ euro.
b
Schrijf de kosten $K (n)$ en de winst $W (n) = R (n) - K (n)$ .
$K (n) = 20 + 1, 20 n$ ; $W (n) = - 0, 05 n^{2} + 4, 8 n - 20$ .
c
Bij hoeveel potjes is de winst het grootst? Welke prijs vraag je dan, en hoeveel win je?
$n = - 4, 8/ (2 \cdot (- 0, 05)) = 48$ potjes, prijs $p = 6 - 2, 4 = 3, 60$ euro, winst $W (48) = - 115, 2 + 230, 4 - 20 = 95, 20$ euro.
d
Tussen welke aantallen maak je winst?
$W = 0$ : $D = 4, 8^{2} - 4 \cdot 0, 05 \cdot 20 = 19, 04$ , $D = 4, 36$ ; $n = (4, 8 \pm 4, 36) /0, 1$ : $n = 4, 4$ en $n = 91, 6$ . Winst van 5 tot en met 91 potjes.
e
Waarom ligt de grootste winst bij minder potjes dan de grootste opbrengst? En waar houdt het vraagmodel zeker op te kloppen?
Elk extra potje brengt minder op (je moet de prijs verlagen) maar kost altijd € 1,20. Voorbij 48 potjes brengt een extra potje minder op dan het kost. Het vraagmodel is lineair en getoetst voor gewone prijzen; bij $n > 120$ zou de prijs negatief worden (je zou moeten betalen om potjes weg te geven), en bij hoge prijzen verkoop je misschien helemaal niets meer.

4.14

Past een ingewikkelder model altijd beter?

Uitdagen6Argumenteren25 min

Om de waterstand in het reservoir te voorspellen, meet een leerling zeven dagen lang de waterhoogte: 30,1; 29,2; 28,5; 27,5; 26,9; 25,8 en 25,2 cm. Ze vergelijkt drie modellen (numpy.polyfit): een rechte

h = - 0, 825 t + 30, 08

(som van de kwadraten van de residuen 0,062 cm²), een parabool (som 0,061 cm²) en een veelterm van graad 6 die precies door alle zeven punten gaat (som 0). De veelterm voorspelt 37,8 cm voor dag 7 en 839,5 cm voor dag 10.

Binnen de metingen vallen de modellen samen; na dag 6 schiet de zesdegraadsveelterm omhoog.

a
Welk model heeft de kleinste residuen? Welk model zou je gebruiken om dag 10 te voorspellen, en wat voorspelt het?
De veelterm (residuen nul). Voor dag 10 gebruik je de rechte: $h = - 0, 825 \cdot 10 + 30, 08 = 21, 8 cm$ .
b
Waarom voorspelt de veelterm onzin, al gaat ze door alle punten?
Met zeven parameters volgt ze elke meetfout: tussen de punten slingert ze, en buiten de metingen groeit het $t^{6}$ -deel explosief. Ze beschrijft de ruis, niet het verband (overfitting). Fysisch is er geen reden waarom het waterpeil na zes dagen zou stijgen.
c
De parabool is maar 0,001 cm² beter dan de rechte. Is de extra parameter de moeite waard? Hoe beslis je dat?
Nee: de verbetering is veel kleiner dan de meetfout (een afleesfout van 0,1 cm geeft al kwadraten van die orde), de residuen van de rechte hebben geen patroon, en fysisch verwacht je een constant verbruik. Je neemt een extra parameter pas als de residuen een patroon tonen of de fysica erom vraagt.
d
Debat. Stelling: 'Het beste model is het model dat de meetpunten het best volgt.' Geef twee argumenten voor en twee tegen, en je besluit.
Voor: een model dat de data slecht volgt, is zeker fout; residuen meten objectief hoe goed een model is. Tegen: meetpunten bevatten ruis, die wil je niet modelleren; een model moet ook voorspellen buiten de meetpunten; met genoeg parameters past alles. Besluit: het beste model is het eenvoudigste dat de fysica respecteert en residuen zonder patroon heeft, en dat getoetst is op nieuwe metingen (hoofdstuk E41).

4.15

Waar houdt v = g · t op?

Uitdagen7Analyseren30 min

Een valschermspringer draagt een datalogger die haar valsnelheid registreert, vanaf het moment dat ze uit het vliegtuig springt (buik naar beneden). Gemeten snelheid

v

(m/s) om de 2 s: 0; 18,8; 33,7; 43,4; 49,0; 52,0; 53,5.

a
Bereken bij elke meting wat het model $v = g \cdot t$ voorspelt en hoeveel procent het afwijkt van de meting.
$g t$ : 0; 19,6; 39,2; 58,9; 78,5; 98,1; 117,7 m/s. Afwijking t.o.v. de meting: –; +4 %; +16 %; +36 %; +60 %; +89 %; +120 %.
b
Tot welk tijdstip is het model nauwkeurig tot op 10 %? Leg fysisch uit waarom het in het begin goed werkt.
Tot ongeveer 3 s (bij 2 s is het 4 %, bij 4 s al 16 %). In het begin is de snelheid klein, en de luchtweerstand groeit met het kwadraat van de snelheid: dan is ze verwaarloosbaar tegenover het gewicht.
c
Wat voorspelt het model na 60 s vrije val? Waarom is dat onmogelijk?
$9, 81 \cdot 60 = 589 m/s$ , bijna twee keer de geluidssnelheid (343 m/s). In werkelijkheid remt de lucht zo sterk dat de snelheid niet boven ongeveer 55 m/s komt.
d
Beschrijf het verloop van de echte snelheid. Is het een lineaire of een kwadratische functie? Welke eigenschap moet een beter model hebben?
De snelheid stijgt eerst bijna lineair en vlakt dan af naar een eindsnelheid van ongeveer 55 m/s. Geen rechte en geen parabool (een parabool zou weer dalen of steeds sneller stijgen): een beter model moet begrensd zijn, met een horizontale asymptoot. (In Expert vind je het met een differentiaalvergelijking: $v = v_{eind} tanh (g t / v_{eind})$ .)
e
Een stalen kogeltje valt 1,0 m (0,45 s). Mag je daar $v = g \cdot t$ gebruiken? Motiveer met je antwoorden hierboven.
Ja: 0,45 s ligt ver binnen het gebied waar het model tot op enkele procenten klopt, en een klein, zwaar kogeltje heeft relatief nog minder luchtweerstand dan een mens. $v = 9, 81 \cdot 0, 45 = 4, 4 m/s$ .