StemExpert

Intermediate · Werkboek · 4. Functies als modellen
StemExpert · Brecht Corbeel · schoolium.me

IIntermediate · deel I2 · Wiskunde als taal van STEM

Werkboek · hoofdstuk 4Functies als modellen

Rechten en parabolen die kosten, afstanden en remwegen voorspellen, en weten waar ze ophouden

Je begint met functies herkennen, formules opstellen en toppen en nulpunten berekenen. In de tweede trede kies je tussen kostenformules, reken je stopafstanden en worpen door, test je data met verschillen, meet je de knikker zelf en laat je Python rekenen. In de laatste trede bouw je het kostenmodel voor de hydroponie van de klimaatmodule (opdracht 4.12), zoek je de grootste winst, en onderzoek je waar modellen ophouden te werken.

5× oefenen6× toepassen4× uitdagen± 349 min0/15 gedaan

WWiskundig modelleren KKrachten, beweging en constructies

Gelijke tijdstappen, ongelijke afstanden: de baan van een bal is een parabool, en de top is waar hij het traagst gaat.

Hoe lees je een opdracht?

Drie tredenOefenen Toepassen Uitdagen

Elk hoofdstuk bouwt op: eerst oefenen (één stap, direct toepassen), dan toepassen (meerdere stappen, in een context), dan uitdagen (transfer, open problemen, andere leerlijnen erbij).

De StemExpert-schaal5

Eén moeilijkheidsschaal van 1 tot 9 over de drie niveaus heen: Fundamental loopt van 1 tot 4, Intermediate van 3 tot 7, Expert van 6 tot 9. Zo zie je dat de uitdaging van het ene niveau de oefening van het volgende is.

Oefenen

één stap, direct toepassen

4.1

Functie of niet?

Oefenen3Begrijpen10 min

gedaan

Een functie koppelt aan elke invoer precies één uitvoer. Beoordeel de vijf voorschriften.

Is dit een functie? Leg telkens kort uit.

invoer → uitvoer	functie?	waarom
(a) plantenbakje → zijn massa
(b) massa → het bakje met die massa
(c) tijdstip → temperatuur in de kas
(d) temperatuur → tijdstip waarop de kas die temperatuur had
(e) getal $x$ → getal $y$ met $y^{2} = x$

b
Je meet een volle dag de temperatuur in de kas. Ze blijft tussen 9 °C en 31 °C. Geef een zinvol domein en bereik voor (c).

4.2

Taxi: tabel, formule, grafiek

Oefenen3Rekenen15 min

gedaan

Een taxi rekent € 4,20 instapprijs en € 2,10 per gereden kilometer.

a
Vul de tabel in.
afstand x (km) 0 2 5 8 12
kost K (€)
b
Schrijf de formule $K (x)$ . Wat betekenen de twee getallen, met hun eenheid?
c
Teken de grafiek voor 0 tot 12 km. Wat is een zinvol domein?
d
Hoe ver geraak je met € 30?

4.3

Helling en beginwaarde met betekenis

Oefenen3Begrijpen12 min

gedaan

Vier lineaire modellen, met hun grootheden en eenheden.

a
Geef $a$ en $b$ met eenheid en betekenis, en zeg of het nulpunt iets betekent.
model a b nulpunt
$V (t) = 60 - 2, 5 t$ (V in L, t in min)
$T (h) = 15 - 6, 5 h$ (T in °C, h in km)
$K (n) = 260 + 11 n$ (K in €, n plantplaatsen)
$T_{F} = 1, 8 T_{C} + 32$ (in °F en °C)
b
Bij welke temperatuur geven de Celsius- en de Fahrenheitschaal hetzelfde getal?

4.4

Top en nulpunten berekenen

Oefenen4Rekenen15 min

gedaan

Bereken voor elke functie de top, de discriminant en de nulpunten. Zeg of de top een maximum of een minimum is.

a
$f (x) = - 2 x^{2} + 8 x - 6$
b
$g (x) = x^{2} - 6 x + 9$
c
$h (x) = 0, 5 x^{2} + x + 3$
d
Schets de drie parabolen in één assenstelsel.

Hint

x_{top} = - b / (2 a)

;

D = b^{2} - 4 a c

;

x_{1, 2} = (- b \pm D) / (2 a)

4.5

Een kogelstoot lezen

Oefenen4Analyseren12 min

gedaan

De baan van een kogel bij een kogelstoot van wereldniveau, zonder luchtweerstand, is

h (x) = - 0, 048 x^{2} + 0, 96 x + 2, 0

, met

x

de horizontale afstand vanaf de hand en

h

de hoogte, allebei in m.

De kogel verlaat de hand op 2,0 m hoogte.

a
Op welke hoogte verlaat de kogel de hand? Uit welk getal van de formule lees je dat meteen?
b
Bereken het hoogste punt van de baan.
c
Hoe ver vliegt de kogel (tot hij de grond raakt)?
d
De formule heeft nog een nulpunt. Waar, en waarom telt het niet?
e
Is dit de hoogte als functie van de tijd? Waarom is de baan toch een parabool?

Toepassen

meerdere stappen, in een context

4.6

Printen: welke formule is het goedkoopst?

Toepassen5Rekenen25 min

gedaan

Voor de behuizingen en houders van de klimaatmodule moet de klas het komende jaar onderdelen 3D-printen. Drie mogelijkheden: (A) een printservice rekent € 0,15 per gram; (B) een eigen printer kopen voor € 250, filament en stroom kosten dan € 0,025 per gram; (C) een jaarabonnement bij een makerspace voor € 60, plus € 0,05 per gram.

a
Schrijf de drie kostenfuncties $K_{A} (m)$ , $K_{B} (m)$ en $K_{C} (m)$ met $m$ in gram.
b
Teken de drie rechten voor 0 tot 8000 g.
c
Bereken de drie snijpunten.
d
Welke keuze is de goedkoopste, afhankelijk van de verwachte massa? Geef je advies in een zin per gebied.
e
Noem twee dingen die dit model niet meeneemt.

4.7

Stopafstand op een natte weg

Toepassen5Rekenen20 min

gedaan

Op een natte weg remt een auto met een vertraging van 5,0 m/s². De bestuurder is moe: zijn reactietijd is 1,5 s. In een schoolstraat moet hij binnen 25 m kunnen stoppen.

a
Schrijf de stopafstand $d (v)$ met $v$ in m/s.
b
Bereken de stopafstand bij 30 km/h en bij 50 km/h.
c
Hoe snel mag hij hoogstens rijden om binnen 25 m te stoppen? Geef het antwoord in km/h.
d
Waarom schrap je een van de twee oplossingen?
e
Vergelijk bij 50 km/h met de uitgeruste bestuurder op de droge weg uit het handboek (27,7 m). Hoeveel procent langer is de stopafstand nu?

4.8

Een waterraket

Toepassen4Rekenen20 min

gedaan

Een waterraket uit een PET-fles schiet recht omhoog. Zodra het water eruit is, is haar hoogte (vereenvoudigd, vanaf de grond gerekend)

h (t) = 18 t - 4, 905 t^{2}

(h in m, t in s).

a
Hoe hoog komt de raket, en wanneer?
b
Na hoeveel seconden landt ze?
c
Hoe lang is ze hoger dan 10 m?
d
Noem twee redenen waarom de echte vlucht anders verloopt dan dit model.

4.9

Welk model past?

Toepassen5Analyseren20 min

gedaan

Drie meetreeksen, telkens bij gelijke stappen. (P) Hoogte

h

(cm) van water in een lekkende emmer, om de 5 min: 24,0; 21,1; 18,4; 15,9; 13,6; 11,5. (Q) Oppervlakte (cm²) van een vierkant zonnecelletje met zijde 1, 2, 3, 4, 5 cm: 1; 4; 9; 16; 25. (R) Afgelegde weg (m) van een skateboard op een vlakke vloer, per seconde: 0; 2,1; 4,2; 6,2; 8,3; 10,4.

a
Bereken voor elke reeks de eerste en de tweede verschillen.
b
Welk soort model past bij elke reeks? Past dat bij wat je fysisch verwacht?
c
Stel voor reeks R het model op en voorspel de positie na 8 s. Mag dat?

4.10

Labo: de knikker in de goot

Toepassen5Labo50 min

gedaan

Doe de proef uit het handboek zelf. Kies een andere helling dan in het handboek (bijvoorbeeld 3 cm of 7 cm hoogteverschil over de goot) en bepaal het model en de versnelling.

Film van opzij, met de camera stil: dan lees je de positie beeld per beeld af.

a
Beschrijf je opstelling: lengte en hoogteverschil van de goot, beeldfrequentie, gekozen tijdstap.
b
Noteer je metingen en bereken de verschillen.
t (s) s (cm) eerste verschil tweede verschil
c
Zet $s$ uit tegen $t$ en tegen $t^{2}$ . Welk model past? Bepaal de versnelling op twee manieren (tweede verschillen en helling van $s$ tegen $t^{2}$ ).
d
Vergelijk met het handboek (0,40 m/s² bij 4 à 5 cm). Wat verwacht je bij een steilere goot, en klopt dat?
e
Wat is het geldigheidsgebied van je model?

Zo wordt dit beoordeeld

Meten	Camera stil en loodrecht, vaste tijdstap, posities met afleesfout (±0,5 cm is realistisch).
Verschillen	Eerste en tweede verschillen correct; besluit over het modeltype met verwijzing naar de meetfout.
Grafiek en model	s tegen t² is een rechte door de oorsprong; helling = a/2; a met eenheid.
Geldigheid	Grenzen benoemd: lengte van de goot, slippen bij steile helling, wrijving.

4.11

Python: de stopafstand in een lus

Toepassen5Programmeren20 min

gedaan

Een leerling schrijft een programma dat de stopafstand uit het handboek berekent.

def stopafstand(v_kmh, t_r=1.0, a_rem=7.0):
    v = v_kmh / 3.6                   # km/h omzetten naar m/s
    return v * t_r + v ** 2 / (2 * a_rem)


for v in (30, 50, 70):
    print(v, "km/h:", round(stopafstand(v), 1), "m")

v = 0
while stopafstand(v) <= 40:
    v = v + 1
print("vanaf", v, "km/h is de stopafstand groter dan 40 m")

a
Voorspel de eerste drie regels die het programma print (rond af op 0,1 m zoals de code).
b
Wat doet de while-lus? Voorspel de laatste regel.
c
Voer het programma uit en controleer. Verander dan de oproep in de lus in stopafstand(v, 1.5, 5.0) (de natte weg van opdracht 4.7). Wat print het nu?
d
Het handboek vond met de abc-formule 63,6 km/h. Waarom print het programma een ander getal? Wat is de nauwkeurigheid van deze methode?

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

4.12

Habitat: een kostenmodel voor de hydroponie

Uitdagen6Habitat45 min

gedaan

De klimaatmodule krijgt een hydroponiesysteem (hoofdstuk 36). Er is plaats voor hoogstens 48 plantplaatsen, en het budget is € 800. Twee opties:
(A) kant-en-klare hydroponiebakken: € 38 per plantplaats, alles inbegrepen;
(B) zelf bouwen met pvc-goten: € 260 vaste kost (pomp, lichtdicht reservoir van 60 L, timer, EC- en pH-sensor) plus € 11 per plantplaats (goot, netpotje, substraat).

a
Stel $K_{A} (n)$ en $K_{B} (n)$ op. Wat is het domein? Is de grafiek een lijn of een rij punten?
b
Bereken het snijpunt en leg uit wat het voor de keuze betekent.
c
De kost per plantplaats is $k (n) = K (n) / n$ . Bereken $k_{A}$ en $k_{B}$ voor 12, 24 en 48 plaatsen. Welk soort functie is $k_{B}$ ? Welke waarde nadert ze?
n K_A (€) K_B (€) k_A (€) k_B (€)
12
24
48
d
Hoeveel plantplaatsen krijg je binnen het budget met elke optie? Houd rekening met de plaats.
e
Schrijf een advies van vijf à zes regels voor het projectteam: je keuze, het kantelpunt, de kost per plantplaats, en twee grenzen van je model.

Zo wordt dit beoordeeld

Model	Beide functies correct, met eenheden; domein 0 tot 48 natuurlijke getallen; grafiek als punten.
Snijpunt	Algebraïsch opgelost (9,6) en correct vertaald: vanaf 10 plantplaatsen is B goedkoper.
Kost per plaats	Tabel juist; k_B herkend als 11 + 260/n (omgekeerd evenredig deel plus constante), nadert € 11.
Advies	Onderbouwde keuze met getallen; minstens twee modelgrenzen (werkuren, prijzen, onderhoud, risico van zelfbouw).

4.13

Kruidenpotjes verkopen

Uitdagen6Rekenen30 min

gedaan

De klas verkoopt kruidenpotjes uit de kas op de schoolmarkt. Een bevraging geeft een vraagmodel: om

n

potjes per week te verkopen, mag de prijs hoogstens

p (n) = 6 - 0, 05 n

euro zijn. Een potje (pot, grond, zaad) kost € 1,20, en de standplaats kost € 20 per week.

a
Schrijf de opbrengst $R (n) = n \cdot p (n)$ . Bij hoeveel potjes is de opbrengst het grootst, en tegen welke prijs?
b
Schrijf de kosten $K (n)$ en de winst $W (n) = R (n) - K (n)$ .
c
Bij hoeveel potjes is de winst het grootst? Welke prijs vraag je dan, en hoeveel win je?
d
Tussen welke aantallen maak je winst?
e
Waarom ligt de grootste winst bij minder potjes dan de grootste opbrengst? En waar houdt het vraagmodel zeker op te kloppen?

4.14

Past een ingewikkelder model altijd beter?

Uitdagen6Argumenteren25 min

gedaan

Om de waterstand in het reservoir te voorspellen, meet een leerling zeven dagen lang de waterhoogte: 30,1; 29,2; 28,5; 27,5; 26,9; 25,8 en 25,2 cm. Ze vergelijkt drie modellen (numpy.polyfit): een rechte

h = - 0, 825 t + 30, 08

(som van de kwadraten van de residuen 0,062 cm²), een parabool (som 0,061 cm²) en een veelterm van graad 6 die precies door alle zeven punten gaat (som 0). De veelterm voorspelt 37,8 cm voor dag 7 en 839,5 cm voor dag 10.

Binnen de metingen vallen de modellen samen; na dag 6 schiet de zesdegraadsveelterm omhoog.

a
Welk model heeft de kleinste residuen? Welk model zou je gebruiken om dag 10 te voorspellen, en wat voorspelt het?
b
Waarom voorspelt de veelterm onzin, al gaat ze door alle punten?
c
De parabool is maar 0,001 cm² beter dan de rechte. Is de extra parameter de moeite waard? Hoe beslis je dat?
d
Debat. Stelling: 'Het beste model is het model dat de meetpunten het best volgt.' Geef twee argumenten voor en twee tegen, en je besluit.

4.15

Waar houdt v = g · t op?

Uitdagen7Analyseren30 min

gedaan

Een valschermspringer draagt een datalogger die haar valsnelheid registreert, vanaf het moment dat ze uit het vliegtuig springt (buik naar beneden). Gemeten snelheid

v

(m/s) om de 2 s: 0; 18,8; 33,7; 43,4; 49,0; 52,0; 53,5.

a
Bereken bij elke meting wat het model $v = g \cdot t$ voorspelt en hoeveel procent het afwijkt van de meting.
t (s) 0 2 4 6 8 10 12
gemeten v (m/s) 0 18,8 33,7 43,4 49,0 52,0 53,5
g · t (m/s)
afwijking (%)
b
Tot welk tijdstip is het model nauwkeurig tot op 10 %? Leg fysisch uit waarom het in het begin goed werkt.
c
Wat voorspelt het model na 60 s vrije val? Waarom is dat onmogelijk?
d
Beschrijf het verloop van de echte snelheid. Is het een lineaire of een kwadratische functie? Welke eigenschap moet een beter model hebben?
e
Een stalen kogeltje valt 1,0 m (0,45 s). Mag je daar $v = g \cdot t$ gebruiken? Motiveer met je antwoorden hierboven.

ZelfevaluatieKleur per doel: lukt al / bijna / nog niet

Ik kan uitleggen wat een functie is en een functie voorstellen als tabel, grafiek en formule.
Ik kan het domein en het bereik van een functie in een context bepalen, met eenheden, en onderscheiden van wat de formule wiskundig toelaat.
Ik kan een lineaire functie opstellen uit een beschrijving of uit twee punten, en richtingscoëfficiënt en snijpunt interpreteren als grootheden.
Ik kan van een kwadratische functie de top, de symmetrieas en de nulpunten berekenen en ze in de context betekenis geven.
Ik kan snijpunten van twee functies algebraïsch en grafisch bepalen en uitleggen wat ze betekenen (kantelpunt, inhalen).
Ik kan met eerste en tweede verschillen nagaan of data lineair of kwadratisch zijn, en een model kiezen dat bij data én fysica past.
Ik kan het geldigheidsgebied van een model benoemen en inschatten wanneer extrapoleren misloopt.
Ik kan in Python een functie schrijven, een tabel maken en een lineair en een kwadratisch model fitten.

model	a	b	nulpunt
$V (t) = 60 - 2, 5 t$ (V in L, t in min)
$T (h) = 15 - 6, 5 h$ (T in °C, h in km)
$K (n) = 260 + 11 n$ (K in €, n plantplaatsen)
$T_{F} = 1, 8 T_{C} + 32$ (in °F en °C)

t (s)	0	2	4	6	8	10	12
gemeten v (m/s)	0	18,8	33,7	43,4	49,0	52,0	53,5
g · t (m/s)
afwijking (%)

t (s)	s (cm)	eerste verschil	tweede verschil

n	K_A (€)	K_B (€)	k_A (€)	k_B (€)
12
24
48