StemExpert

Intermediate · Werkboek · 1. Meetfouten en nauwkeurigheid
StemExpert · Brecht Corbeel · schoolium.me

IIntermediate · deel I1 · Onderzoeken met data

Werkboek · hoofdstuk 1Meetfouten en nauwkeurigheid

Waarom elke meting een marge heeft, en hoe je die eerlijk in een getal zet

Je begint met herkennen, noteren en afronden. Daarna reken je met echte meetreeksen: gemiddelden, standaardafwijkingen, fouten die doorwerken in een dichtheid of een volume, uitschieters. In de laatste trede ontwerp je zelf een betere meting en licht je de sensoren van de meetkas door: opdracht 1.14 is een bouwsteen voor de klimaatmodule van Habitat.

5× oefenen6× toepassen4× uitdagen± 301 min0/15 gedaan

OOnderzoeken en meten WWiskundig modelleren

Drie thermometers naast elkaar, drie verschillende antwoorden. Welke vertrouw je?

Hoe lees je een opdracht?

Drie tredenOefenen Toepassen Uitdagen

Elk hoofdstuk bouwt op: eerst oefenen (één stap, direct toepassen), dan toepassen (meerdere stappen, in een context), dan uitdagen (transfer, open problemen, andere leerlijnen erbij).

De StemExpert-schaal5

Eén moeilijkheidsschaal van 1 tot 9 over de drie niveaus heen: Fundamental loopt van 1 tot 4, Intermediate van 3 tot 7, Expert van 6 tot 9. Zo zie je dat de uitdaging van het ene niveau de oefening van het volgende is.

Oefenen

één stap, direct toepassen

1.1

Systematisch of toevallig?

Oefenen3Begrijpen10 min

gedaan

Zes leerlingen beschrijven een probleem met hun meting.

a
Je leest een maatcilinder telkens van schuin boven af.
- Asystematisch
- Btoevallig
b
Je start de stopwatch de ene keer iets te vroeg, de andere keer iets te laat.
- Asystematisch
- Btoevallig
c
De balans toont 0,3 g als er niets op ligt.
- Asystematisch
- Btoevallig
d
De temperatuursensor van de kas hangt in de volle zon.
- Asystematisch
- Btoevallig
e
Kleine luchtstromen doen de laatste decimaal van een precisiebalans verspringen.
- Asystematisch
- Btoevallig
f
Kies twee systematische fouten uit deze lijst en leg uit hoe je elk ervan zou opsporen of wegwerken.

1.2

Beduidende cijfers

Oefenen3Rekenen12 min

gedaan

Tel de beduidende cijfers en reken met meetwaarden volgens de vuistregels.

a
Hoeveel beduidende cijfers hebben: $0, 0470 m$ ; $305 g$ ; $2, 00 V$ ; $6, 0 \cdot 1 0^{- 3} A$ ?
b
Rond af op 3 beduidende cijfers: $9, 8066 m/ s^{2}$ ; $0, 0012345 kg$ ; $123456 s$ .
c
Bereken en rond correct af: $4, 52 cm \times 2, 1 cm$ .
d
Bereken en rond correct af: $125, 4 g - 3, 27 g$ .
e
Een leerling deelt $10, 0 cm$ door 3 (drie gelijke stukken) en schrijft $3, 3333333 cm$ . Wat is juist, en waarom telt die 3 niet mee als 'één beduidend cijfer'?

1.3

Absolute en relatieve fout

Oefenen3Rekenen12 min

gedaan

Reken om tussen absolute en relatieve fout.

a
$m = (250 \pm 2) g$ . Bereken de relatieve fout in procent.
b
$t = (4, 2 \pm 0, 2) s$ . Bereken de relatieve fout in procent.
c
Een afstand van $2, 50 m$ heeft een relatieve fout van 0,4 %. Hoe groot is de absolute fout? Noteer het resultaat.
d
Een multimeter meet op het bereik van 20 V met een nauwkeurigheid van ± (0,5 % + 2 digits). Het scherm toont 12,00. Bereken de fout (1 digit is hier 0,01 V) en noteer het resultaat.

Hint

Relatieve fout = absolute fout gedeeld door de waarde. 'Digits' zijn eenheden van het laatste cijfer op het scherm.

1.4

Correct noteren

Oefenen4Rekenen10 min

gedaan

Een leerling noteerde deze meetresultaten. Schrijf ze telkens correct.

a
$l = 12, 3456 \pm 0, 2 cm$
b
$m = 81, 4 g \pm 0, 153 g$
c
$t = 2, 5 \pm 0, 05 s$
d
$I = 0, 0253 A \pm 0, 0004 A$ (in mA)
e
$T = 293, 15 \pm 1 K$
f
Bij (c) moest je een cijfer toevoegen aan de waarde. Mag dat? Leg uit.

1.5

Aflezen met een afleesfout

Oefenen3Begrijpen12 min

gedaan

Hieronder zie je (a) een uitvergroot stuk van een maatcilinder en (b) en (c) twee uitvergrote stukken van een lat waarlangs een potlood ligt.

Links het wateroppervlak in een maatcilinder, rechts het begin en het einde van een potlood langs een lat.

a
Noteer het volume in de maatcilinder als waarde ± afleesfout. Waar lees je af?
b
Noteer de aflezing aan het begin en aan het einde van het potlood, in mm, elk met afleesfout.
c
Bereken de lengte van het potlood met fout.
d
Waarom is het beter om het potlood tegen het nulpunt van de lat te leggen?

Toepassen

meerdere stappen, in een context

1.6

Hoe hoog is de plant?

Toepassen4Rekenen15 min

gedaan

Zes leerlingen meten na elkaar de hoogte van dezelfde basilicumplant met dezelfde lat: 23,4 cm; 23,9 cm; 23,1 cm; 23,6 cm; 24,0 cm; 23,5 cm.

a
Bereken het gemiddelde, het bereik en de mediaan.
b
Bereken de standaardafwijking met de hand, in een tabel.
h (cm) h − gem. (cm) (h − gem.)² (cm²)
c
Noteer het resultaat als waarde ± fout.
d
De plant verandert niet, de lat ook niet. Waarom verschillen de metingen dan? Noem twee oorzaken en één afspraak die de spreiding kleiner maakt.

1.7

De dichtheid van een blokje

Toepassen5Rekenen20 min

gedaan

Een metalen blokje wordt opgemeten met een schuifmaat en gewogen:

l = 5, 02 cm

b = 3, 01 cm

h = 2, 00 cm

, elk

\pm 0, 01 cm

;

m = (81, 6 \pm 0, 1) g

. Enkele dichtheden: aluminium 2,70 g/cm³, titaan 4,51 g/cm³, zink 7,14 g/cm³, ijzer 7,87 g/cm³.

a
Bereken het volume en de dichtheid (nog niet afronden).
b
Bereken de relatieve fout op de dichtheid. Welke meting draagt het meest bij?
c
Noteer de dichtheid correct. Van welk metaal is het blokje?

Hint

Dichtheid = massa / volume, en het volume is een product van drie lengtes: alle relatieve fouten tellen op.

1.8

Drie thermometers in ijswater

Toepassen5Analyseren20 min

gedaan

Drie thermometers staan in een bekerglas met smeltend ijs in water. Dat mengsel is 0,0 °C. Elke thermometer wordt zes keer afgelezen, met een halve minuut ertussen.

meting	1	2	3	4	5	6
thermometer A (°C)	0,1	−0,1	0,0	0,2	−0,1	0,1
thermometer B (°C)	1,6	1,4	1,7	1,5	1,5	1,6
thermometer C (°C)	−0,8	0,6	0,3	−0,5	0,9	−0,4

a
Bereken voor elke thermometer het gemiddelde en de standaardafwijking.
gemiddelde (°C) s (°C)
A
B
C
b
Welke thermometer is nauwkeurig én precies, welke precies maar niet nauwkeurig, en welke gemiddeld nauwkeurig maar niet precies? Koppel elk aan een dartbord uit het handboek.
c
Thermometer B is goedkoop. Hoe zou je hem toch bruikbaar maken? Wat moet je dan eerst nog controleren?

1.9

Uitschieter of niet?

Toepassen5Analyseren15 min

gedaan

Reeks 1: de lengte van de plantenbak, acht keer gemeten met een rolmeter (cm): 120,4; 120,3; 120,5; 120,4; 130,4; 120,3; 120,5; 120,4.
Reeks 2: reactietijden van één leerling (s): 0,22; 0,25; 0,21; 0,24; 0,27; 0,23; 0,20.

a
Reeks 1: toets de waarde 130,4 cm. Wat is de vermoedelijke oorzaak? Noteer het resultaat.
b
Reeks 2: is 0,27 s een uitschieter? Toets en noteer het resultaat.
c
Waarom bereken je het gemiddelde en de standaardafwijking zonder de verdachte waarde?

1.10

Labo: je reactietijd meten met een vallende lat

Toepassen5Labo45 min

gedaan

Een partner houdt een lat verticaal vast, met het nulpunt tussen jouw duim en wijsvinger (niet aanraken). Zonder waarschuwing laat hij los; jij knijpt zo snel mogelijk. Uit de valafstand

d

volgt je reactietijd:

t = 2 d / g

, met

d

in meter en

g = 9, 81 m/ s^{2}

Hoe verder de lat valt voor je knijpt, hoe langer je reactietijd.

a
Meet tien keer. Noteer de valafstand en bereken telkens de reactietijd.
nr. d (cm) d (m) t (s)
b
Bereken gemiddelde en standaardafwijking van $t$ . Toets of er een uitschieter is.
c
Noteer je reactietijd correct als waarde ± fout.
d
Noem een mogelijke systematische fout in deze methode en hoe je ze kleiner maakt.

Zo wordt dit beoordeeld

Metingen	Tien metingen, eenheden in de kop, omzetting cm naar m correct, t met drie decimalen berekend.
Statistiek	Gemiddelde en s correct (n − 1); uitschieter getoetst tegen de andere metingen.
Notatie	Resultaat als (waarde ± fout) s, correct afgerond.
Kritische reflectie	Een echte systematische fout benoemd, met een concrete verbetering.

1.11

Hoe dik is een blad papier?

Toepassen5Onderzoeken30 min

gedaan

Een blad printpapier is te dun om met een lat te meten. Je hebt een lat, een schuifmaat en een ongeopend pak van 500 bladen.

a
Bereken de relatieve fout als je één blad (ongeveer 0,1 mm dik) met de lat zou meten. Wat besluit je?
b
Beschrijf een methode waarmee je de dikte van één blad tot op 1 % kan bepalen. Hoe dik moet de stapel minstens zijn als je met de lat meet?
c
Voer de meting uit met de lat en met de schuifmaat. Noteer beide resultaten met fout.
d
Een pak dat je net openscheurde, meet dikker dan hetzelfde pak dat stevig aangedrukt is. Wat voor soort fout is dat, en welke afspraak maak je?

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

1.12

Hoeveel slingeringen tel je?

Uitdagen6Rekenen15 min

gedaan

Je timet een slinger met de hand. De standaardafwijking van één handmatige tijdmeting is 0,08 s, ongeacht hoe lang je meet. De slingertijd is ongeveer 1,8 s.

a
Bereken de relatieve fout op $T$ als je 1, 10 of 20 slingeringen samen timet.
b
Hoeveel slingeringen moet je minstens samen timen om onder 0,5 % te blijven?
c
Een klasgenoot stelt voor om 200 slingeringen te tellen. Geef twee redenen waarom dat geen goed idee is.

1.13

Het volume van een steen

Uitdagen7Rekenen20 min

gedaan

Om de dichtheid van een steentje te bepalen, weeg je het (

m = 20, 3 g \pm 0, 1 g

) en laat je het zakken in een maatcilinder van 100 mL. Het water stijgt van 50,0 mL naar 57,5 mL; elke aflezing heeft een fout van ± 0,5 mL. Graniet heeft een dichtheid van ongeveer 2,6 à 2,7 g/cm³, basalt ongeveer 2,9 à 3,0 g/cm³.

a
Bereken het volume van de steen met fout. Hoe groot is de relatieve fout?
b
Bereken de dichtheid met fout.
c
Kan je met deze meting uitmaken of het graniet of basalt is?
d
Stel twee verbeteringen voor en schat voor één ervan hoe klein de fout op de dichtheid wordt.

1.14

Habitat: de sensoren van de meetkas doorgelicht

Uitdagen6Habitat40 min

gedaan

De klimaatmodule moet de temperatuur tot op 1 °C kennen en de relatieve luchtvochtigheid (RV) tot op 5 %, en dat voor minstens 95 % van de metingen. In de meetkas hangen een NTC-temperatuurmodule en een DHT11 (die ook de luchtvochtigheid meet). Je hangt er een geijkte referentiethermometer en een referentie-hygrometer naast en leest tien keer tegelijk af, verspreid over een dag.

nr.	referentie T (°C)	NTC-module (°C)	referentie RV (%)	DHT11 RV (%)
1	14,2	14,9	88	85
2	15,8	16,1	84	81
3	17,5	18,3	79	75
4	19,9	20,8	72	70
5	22,4	22,4	64	61
6	24,6	24,8	58	53
7	25,3	25,9	55	52
8	23,1	23,6	61	56
9	20,2	20,8	70	67
10	17,0	17,3	79	75

a
Bereken voor de temperatuur de verschillen NTC − referentie, hun gemiddelde (systematische fout) en standaardafwijking (toevallige fout).
b
Doe hetzelfde voor de luchtvochtigheid (DHT11 − referentie).
c
Haalt elke sensor de eis? Gebruik als maat: |systematische fout| + 2s.
d
Stel voor elke sensor een correctie voor, als formule die de microcontroller kan gebruiken. Haalt de sensor de eis na correctie?
e
Waarvoor mag je deze correcties niet zomaar gebruiken? Stel een aanvullende test voor.

Zo wordt dit beoordeeld

Berekeningen	Verschillen, gemiddelden en standaardafwijkingen correct, met eenheden.
Beoordeling	Eis correct getoetst met \|systematisch\| + 2s, voor en na correctie.
Correctie	Formules met het juiste teken, bruikbaar in een programma.
Geldigheid	Grenzen van de test benoemd (bereik, één dag, veroudering) en een concrete vervolgtest.

1.15

Debat: mag je slechte metingen weglaten?

Uitdagen6Argumenteren25 min

gedaan

Lotte meet tien keer de valtijd van een balletje. Twee metingen liggen wat verder van de rest. Ze laat ze weg, 'want dan is mijn standaardafwijking kleiner en ziet het resultaat er beter uit'. Haar klasgenoot Ayoub vindt dat ze alle tien moet houden, 'want weglaten is sjoemelen'.

a
Geef een argument voor en een argument tegen elk van beide standpunten.
b
Schrijf een regel van hoogstens drie zinnen die jullie klas voortaan volgt bij verdachte metingen.
c
Wat moet er in het verslag staan als je een meting weglaat?

ZelfevaluatieKleur per doel: lukt al / bijna / nog niet

Ik kan systematische en toevallige fouten herkennen, hun oorzaak benoemen en zeggen hoe je ze verkleint.
Ik kan uitleggen wat nauwkeurig en precies betekenen, en waarom resolutie iets anders is dan nauwkeurigheid.
Ik kan een meetresultaat correct noteren als (waarde ± fout) eenheid, correct afgerond.
Ik kan de absolute en de relatieve fout berekenen en ermee instrumenten en metingen vergelijken.
Ik kan beduidende cijfers tellen en de regels toepassen als je met meetwaarden rekent.
Ik kan de fout op een berekende grootheid schatten met de regels voor som, verschil, product, quotiënt en macht.
Ik kan gemiddelde, bereik, mediaan en standaardafwijking berekenen en uitleggen wat ze zeggen.
Ik kan een uitschieter opsporen en onderbouwd beslissen wat je ermee doet.

h (cm)	h − gem. (cm)	(h − gem.)² (cm²)

nr.	d (cm)	d (m)	t (s)