Oplossingen · hoofdstuk 20Wisselstroom

Sinus: $12/\sqrt{2}=8,49\mathrm{V}$. Blokgolf: $u^2=25$ altijd, dus $U_{\text{eff}}=5,0\mathrm{V}$.

Over een kwart periode loopt $u$ lineair van 0 tot 3 V: $\overline{u^2}=\frac{1}{T/4}{\int }_0^{T/4}(3\cdot \frac{4t}{T}{)}^2\mathrm{d}t=9\cdot \frac{1}{3}=3$, en door de symmetrie geldt dat voor de hele periode: $U_{\text{eff}}=\sqrt{3}=1,73\mathrm{V}=3/\sqrt{3}$.

De helft van de tijd $\overline{u^2}=12^2/2$, de andere helft 0: gemiddeld $12^2/4$, dus $U_{\text{eff}}=12/2=6,0\mathrm{V}$.

$I=2000/230=8,70\mathrm{A}$; piek $8,70\cdot \sqrt{2}=12,3\mathrm{A}$.

50 Hz: $X_L=2\pi \cdot 50\cdot 0,1=31,4\mathrm{\Omega }$, $|X_C|=1/(2\pi \cdot 50\cdot 10^{-5})=318,3\mathrm{\Omega }$. 1 kHz: $X_L=628\mathrm{\Omega }$, $|X_C|=15,9\mathrm{\Omega }$.

$Z=40+j31,4=50,9\angle 38,1^{\circ }\mathrm{\Omega }$; $I=230/50,9=4,52\mathrm{A}$, die 38,1° naijlt op de spanning.

$f=1/(2\pi RC)=159\mathrm{Hz}$. $Z=1000-1000j=1414\angle -45^{\circ }\mathrm{\Omega }$; $I=10/1414=7,07\mathrm{mA}\angle 45^{\circ }$ (voorijlend); $U_R=7,07\mathrm{V}\angle 45^{\circ }$, $U_C=7,07\mathrm{V}\angle -45^{\circ }$.

Twee wijzers van 7,07 cm onder $+45^{\circ }$ en $-45^{\circ }$; kop aan staart eindigen ze op $(10;0)$: $7,07\cos 45^{\circ }\cdot 2=10$. $U_R$ ligt langs I, $U_C$ staat er 90° achter.

Bij 318 Hz: $|Z_C|=500\mathrm{\Omega }$, $Z=1118\angle -26,6^{\circ }$; $I=8,94\mathrm{mA}$; $U_R=8,94\mathrm{V}$, $U_C=4,47\mathrm{V}$. Bij hogere frequentie neemt de condensator een kleiner deel van de spanning: dit is een hoogdoorlaatfilter met de uitgang over R (hoofdstuk 21).

$S=230\cdot 2,5=575\mathrm{VA}$; $P=575\cos 30^{\circ }=498\mathrm{W}$; $Q=575\sin 30^{\circ }=288\mathrm{var}$; $\lambda =0,866$. $S=498+288j\mathrm{VA}$.

$0,498\mathrm{kW}\cdot 6\mathrm{h}=2,99\mathrm{kWh}$ per dag; het reactieve deel telt niet mee.

Naijlende stroom: inductief. Een motor (pomp, ventilator, compressor) of een toestel met een transformator.

Elk element op 230 V: 2,0 kW, $I=8,70\mathrm{A}$ in elke fase; in de nul loopt de som van drie gelijke wijzers onder 120°: nul.

Twee stromen van 8,70 A onder 120°: hun som heeft dezelfde grootte, 8,70 A (een gelijkzijdige driehoek). De nul voert dan evenveel als een fase.

Elk element krijgt 400 V: $P=400^2/26,45=6,05\mathrm{kW}$, drie keer te veel. Het element brandt door.

Elk element tussen twee fasen van 230 V: correct, 8,70 A per element; de lijnstroom is $\sqrt{3}\cdot 8,70=15,1\mathrm{A}$.

Fout. Het gemiddelde van een sinus is nul; de effectieve waarde is de wortel uit het gemiddelde kwadraat, √2 kleiner dan de piek.

Fout. Bij resonantie is ze Q keer de bronspanning: 3,7 keer in de proef, 9,7 keer in opdracht 20.7.

Fout. Het kost geen energie in het toestel, maar de stroom ervoor belast kabels, omvormers en generatoren (die op VA gedimensioneerd worden) en veroorzaakt verlies I²R.

Fout. De condensator laadt en ontlaadt honderd keer per seconde; in de draden loopt dus een wisselstroom $U\omega C$: 0,72 A voor 10 µF.

$f_0=1/(2\pi \sqrt{47\cdot 10^{-3}\cdot 22\cdot 10^{-9}})=4949\mathrm{Hz}$; $\sqrt{L/C}=1462\mathrm{\Omega }$; $Q=9,74$; $\Delta f=508\mathrm{Hz}$.

$I=5/150=33,3\mathrm{mA}$; $U_R=5,0\mathrm{V}$; $U_L=U_C=0,0333\cdot 1462=48,7\mathrm{V}$ effectief, of $69\mathrm{V}$ piek: een condensator van minstens 100 V.

Halfvermogen: $|I{|}^2=\frac{1}{2}|I_0{|}^2$, dus $|Z{|}^2=2R^2$, dus $X^2=R^2$: $\omega L-1/(\omega C)=\pm R$. Vermenigvuldig met $\omega /L$: ${\omega }^2\mp \frac{R}{L}\omega -{\omega }_0^2=0$. Positieve wortels $\omega =\pm \frac{R}{2L}+\sqrt{\frac{R^2}{4L^2}+{\omega }_0^2}$; hun verschil is $R/L$. Gedeeld door $2\pi$: $\Delta f=\frac{R}{2\pi L}=f_0/Q$.

Voorbeeld met het model van het handboek (een echte meting ligt rond het maximum enkele tot tientallen procenten lager):

f (Hz)	I (mA, amplitude)	fase van I tegenover de generator
1000	1,3	+87°
3000	5,7	+76°
4402	16,6	+45°
5033	23,5	0°
5755	16,6	−45°
7000	8,7	−68°
20 000	1,7	−86°

Model: $f_0=5033\mathrm{Hz}$, $\Delta f=1353\mathrm{Hz}$. Uit een meting meestal $f_0$ binnen enkele procenten (toleranties van L en C) en een iets grotere $\Delta f$.

Model: $U_C/U_g=3,72$ en $f_0/\Delta f=3,72$ (gelijk). Meting: vaak een lagere $Q$ uit $U_C/U_g$ als je $U_g$ zonder last instelt: de generatorspanning zakt over zijn 50 Ω. Bij kHz is de weerstand van een spoel met kern groter dan bij gelijkstroom (verliezen in de kern, skineffect): de gemeten Q ligt lager dan met de gelijkstroomweerstand berekend.

Bijvoorbeeld (met de echte uitvoer):

# band.py - de serie-RLC van opdracht 20.7 aan een generator met 50 ohm
import numpy as np

L, C = 47e-3, 22e-9
for R in (150.0, 150.0 + 50.0):              # zonder en met de uitgangsweerstand van de generator
    f = np.linspace(3000, 7000, 400001)
    w = 2 * np.pi * f
    I = 5.0 / np.abs(R + 1j * w * L + 1 / (1j * w * C))
    k = np.argmax(I)
    band = f[I >= I[k] / np.sqrt(2)]
    Q = np.sqrt(L / C) / R
    print(f"R = {R:5.0f} ohm: f0 = {f[k]:.0f} Hz, bandbreedte {band[-1] - band[0]:.1f} Hz, "
          f"f0/Q = {f[k] / Q:.1f} Hz, U_C = {I[k] / (w[k] * C):.1f} V")

R =   150 ohm: f0 = 4949 Hz, bandbreedte 507.9 Hz, f0/Q = 507.9 Hz, U_C = 48.7 V
R =   200 ohm: f0 = 4949 Hz, bandbreedte 677.2 Hz, f0/Q = 677.3 Hz, U_C = 36.5 V

$f_0$ blijft gelijk (alleen L en C bepalen hem). De bandbreedte groeit met R (van 508 naar 677 Hz) en de spanning over C zakt in dezelfde verhouding: Q daalt van 9,7 naar 7,3.

$S=150/0,70=214\mathrm{VA}$; $Q=214\cdot \sin (45,6^{\circ })=153\mathrm{var}$; $I=214/230=0,93\mathrm{A}$.

Na compensatie blijft $150\tan (\arccos 0,95)=49\mathrm{var}$; weg moet $104\mathrm{var}$: $C=6,24\mu \mathrm{F}$. Stroom $150/(0,95\cdot 230)=0,69\mathrm{A}$: 26 % minder.

Geen energie: de koelkast neemt nog altijd 150 W. Alleen de kabel naar de koelkast en de omvormer dragen 0,24 A minder, ongeveer 0,03 kVA van 4,0 kVA. Niet de moeite, en een extra onderdeel dat kan falen.

$U_{\text{eff}}=325\sqrt{0,5}=230\mathrm{V}$; piekfactor $325/230=1,41$ (toevallig gelijk aan die van een sinus); gemiddelde-meter $1,111\cdot 162,6=181\mathrm{V}$.

$u=+325$ tussen $45^{\circ }$ en $135^{\circ }$: $b_1=\frac{2\cdot 325}{\pi }[-\cos x{]}_{45^{\circ }}^{135^{\circ }}=\frac{2\cdot 325}{\pi }\cdot \sqrt{2}=293\mathrm{V}$, effectief $207\mathrm{V}$. De rest: $\sqrt{230^2-207^2}=100\mathrm{V}$, vooral 150 Hz (69 V) en 250 Hz (41 V).

De grondgolf is maar 207 V: de motor krijgt 10 % te weinig nuttige spanning, trekt meer stroom en ontwikkelt minder koppel. De harmonischen geven extra stroom en verliezen in de wikkelingen (warmte) en gebrom. De compressor draait, maar warmer en met een kortere levensduur; een aanloop bij een lege batterij kan mislukken.

2,5 mm²: $R=0,0172\cdot 30/2,5=0,206\mathrm{\Omega }$, verlies $3\cdot 11^2\cdot 0,206=75\mathrm{W}$ (2,5 %), spanningsval $11\cdot 0,206=2,27\mathrm{V}$ per geleider. 6 mm²: $31\mathrm{W}$ (1,0 %).

2,5 mm² haalt de regel net; 4 mm² (1,6 %, het handboek) laat marge voor een langere kabel, de hogere weerstand van warm koper en een zwaardere turbine later. Kies 4 mm².

Zonder last: $Q=\sqrt{L/C}/R=10/0,05=200$. Met 16 Ω parallel: voor een parallelle demping is $Q\approx R_{\text{last}}/\sqrt{L/C}=16/10=1,6$ (de figuur van het handboek: piek 1,59).

1550 Hz ligt vlak bij f₀ = 1592 Hz. Zonder veel last is de kring bijna ongedempt: een kleine stroom met die frequentie zet een grote spanning over de condensator, de uitgangsspanning vervormt en de onderdelen worden zwaar belast. Een dempweerstand (opdracht 20.16) of een regeling die de resonantie actief dempt (hoofdstuk 24) is nodig.

$X_L=2\pi \cdot 50\cdot 10^{-3}=0,314\mathrm{\Omega }$; $17,4\cdot 0,314=5,5\mathrm{V}$, 2,4 % van 230 V (90° voor op de stroom: de regeling past de brugspanning aan).

$p=2UI\cos \omega t\cos (\omega t-\phi )=UI[\cos \phi +\cos (2\omega t-\phi )]$ (productformule).

De drie schommelende termen zijn $UI\cos (2\omega t-\phi -2k\cdot 120^{\circ })$ voor $k=0,1,2$: drie wijzers van dezelfde lengte op $0$, $-240^{\circ }$ en $-480^{\circ }=-120^{\circ }$, dus 120° uit elkaar. Hun som is nul (hoofdstuk 7). Blijft $3UI\cos \phi$.

$\Delta U=20\mathrm{V}$: $C=S/(\omega U\Delta U)=4000/(314,2\cdot 400\cdot 20)=1,59\mathrm{mF}$. Energie $\frac{1}{2}C{U}^2=127\mathrm{J}$, waarvan maar $S/\omega =12,7\mathrm{J}$ per halve periode heen en weer gaat.

(1) $|H|\approx (f_0/f{)}^2\le 0,01$ bij 20 kHz: $f_0\le 2\mathrm{kHz}$. (2) $I_{\text{nom}}=17,4\mathrm{A}$, 5 % = 0,87 A: $U\omega C_{\text{totaal}}\le 0,87$, dus $C_{\text{totaal}}\le 12,0\mu \mathrm{F}$. (3) $17,4\cdot \omega L\le 6,9\mathrm{V}$: $L\le 1,26\mathrm{mH}$.

Bijvoorbeeld $L=1,0\mathrm{mH}$, $C=6,8\mu \mathrm{F}$, dempingstak $4,7\mu \mathrm{F}$ in serie met $12\mathrm{\Omega }$ (ongeveer $\sqrt{L/C}$). Samen 11,5 µF: $f_0\approx 1,5\mathrm{kHz}$, nullaststroom $0,83\mathrm{A}$.

Met dezelfde aanpak als het handboek (impedanties parallel, spanningsdeler met de spoel): piek $|H|=5,3$ bij $1520\mathrm{Hz}$ (was 200), bij 20 kHz $|H|=0,0092$ (−40,7 dB, net genoeg: de weerstand in de dempingstak laat bij hoge frequentie iets meer door), nullast 0,83 A. Verlies in de dempweerstand bij 50 Hz: $(U\omega C_d{)}^2{R}_d=1,4\mathrm{W}$. Een grotere $R_d$ dempt de piek beter (18 Ω: piek 4,2, 2,1 W verlies) en laat bij 20 kHz iets meer door; een kleinere omgekeerd (8 Ω: piek 7,2, 0,9 W). Hoofdstuk 24 dempt de resonantie liever met de regeling zelf (actieve demping), zonder verlies.

Gelijkstroom: geen omvormerverlies van 7 % en geen nullastverbruik (25 W, 0,3 kWh per nacht), geen reactief vermogen en geen 100 Hz-schommeling, batterij en zonnepanelen zijn al gelijkstroom. Wisselstroom: alle gewone toestellen (pomp, koelkast) bestaan voor 230 V~ en zijn goedkoop en herstelbaar; een wisselspanning is makkelijk te onderbreken (een boog dooft bij elke nuldoorgang, bij gelijkstroom niet: schakelaars en zekeringen voor DC zijn duurder); de koppeling met het openbare net op het proefterrein; 48 V geeft grote stromen voor 2 kW verwarming (42 A).

Edison zou tevreden zijn: zijn gelijkstroom is terug, dankzij de omzetters die hij miste; 48 V is veilig (zijn argument). Tesla zou wijzen op de driefasige generator van de windturbine, de motoren, en het net van het proefterrein. Het station is precies het compromis dat vermogenselektronica mogelijk maakte.

Programma en echte uitvoer:

# lader.py - arbeidsfactor van een laptoplader: stroom alleen rond de top van de spanning
import numpy as np

f, U_piek = 50.0, 325.3
t = np.linspace(0, 1 / f, 200000, endpoint=False)
u = U_piek * np.sin(2 * np.pi * f * t)
tau = 0.0025                                   # elke stroompuls duurt 2,5 ms
i = np.zeros_like(t)
for t_top, teken in ((0.005, 1), (0.015, -1)):
    m = np.abs(t - t_top) < tau / 2
    i[m] = teken * np.cos(np.pi * (t[m] - t_top) / tau) ** 2
i *= 70.0 / np.mean(u * i)                     # schalen tot 70 W opgenomen vermogen

P = np.mean(u * i)
U_eff, I_eff = np.sqrt(np.mean(u ** 2)), np.sqrt(np.mean(i ** 2))
print(f"piekstroom {i.max():.2f} A, I_eff = {I_eff:.3f} A, P = {P:.1f} W, S = {U_eff * I_eff:.1f} VA")
print(f"arbeidsfactor P/S = {P / (U_eff * I_eff):.3f}")
for k in (1, 3, 5, 7):                         # harmonischen: fasor bij k x 50 Hz (hoofdstuk 7)
    X = 2 * np.mean(i * np.exp(-2j * np.pi * k * f * t))
    print(f"{50 * k:4.0f} Hz: {abs(X) / np.sqrt(2):.3f} A effectief")

piekstroom 1.74 A, I_eff = 0.532 A, P = 70.0 W, S = 122.5 VA
arbeidsfactor P/S = 0.572
  50 Hz: 0.304 A effectief
 150 Hz: 0.281 A effectief
 250 Hz: 0.237 A effectief
 350 Hz: 0.183 A effectief

De arbeidsfactor is $P/(U_{\text{eff}}{I}_{\text{eff}})=0,572$ omdat de stroom geen sinus is: een groot deel van $I_{\text{eff}}$ zit in harmonischen die bij een zuivere sinusspanning geen gemiddeld vermogen dragen. De grondgolf ligt wel in fase: verschuivingsfactor 1,000. De hele arbeidsfactor komt van de vervorming.

De 150, 250 en 350 Hz zijn bijna even groot als de grondgolf (zie de uitvoer). Een condensator verschuift alleen de fase van 50 Hz; hij maakt de pulsen niet breder, en bij de harmonischen trekt hij zelfs extra stroom. Een lader met PFC heeft na de gelijkrichter een opwaartse omzetter die de ingangsstroom een sinus laat volgen (hoofdstuk 24): arbeidsfactor boven 0,95. In Europa gelden voor toestellen boven 75 W grenzen voor de harmonische stromen (EN 61000-3-2); in de praktijk betekent dat PFC. Deze lader van 70 W valt er net onder.