StemExpert

Expert · Werkboek · 3. Integralen: ophopen
StemExpert · Brecht Corbeel · schoolium.me

EExpert · deel E1 · Wiskundige gereedschapskist

Werkboek · hoofdstuk 3Integralen: ophopen

Uit een vermogen de energie, uit een stroom de lading, uit een snelheid de weg

Je oefent eerst Riemann-sommen, primitieven en de hoofdstelling, past ze daarna toe op energie, arbeid, verplaatsing en lading (ook met Python), en eindigt met bewijzen, een onderzoek naar het meetinterval en het ontwerp van een energieteller. Opdracht 3.11 is de Habitat-opdracht.

5× oefenen6× toepassen4× uitdagen± 400 min0/15 gedaan

WWiskundig modelleren EEnergie KKrachten, beweging en constructies

Een wolk die voorbijdrijft, is een dip in het vermogen en een klein gat in de energie van de dag.

Hoe lees je een opdracht?

Drie tredenOefenen Toepassen Uitdagen

Elk hoofdstuk bouwt op: eerst oefenen (één stap, direct toepassen), dan toepassen (meerdere stappen, in een context), dan uitdagen (transfer, open problemen, andere leerlijnen erbij).

De StemExpert-schaal5

Eén moeilijkheidsschaal van 1 tot 9 over de drie niveaus heen: Fundamental loopt van 1 tot 4, Intermediate van 3 tot 7, Expert van 6 tot 9. Zo zie je dat de uitdaging van het ene niveau de oefening van het volgende is.

Oefenen

één stap, direct toepassen

3.1

Een pomp die aanloopt

Oefenen6Rekenen15 min

gedaan

De pomp van de waterkringloop (werkpunt 4,8 L/min, hoofdstuk 11 van Intermediate) loopt aan. Het debiet elke seconde:

$t$ (s)	0	1	2	3	4	5	6
$Q$ (L/min)	0,0	0,9	2,6	3,9	4,5	4,8	4,8

a
Bereken het verpompte volume in de eerste 6 s met de linker- en de rechtersom (let op de eenheden).
b
Welke som onderschat, welke overschat? Geef een betere schatting.

3.2

Primitieven zoeken

Oefenen6Rekenen20 min

gedaan

Geef een primitieve functie en controleer door af te leiden.

a
$f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 3$ en $g (t) = \frac{2}{t ^{3}}$
b
$h (t) = 5 e^{- t /2}$ en $k (x) = x$
c
$u (t) = 325 cos (100 π t)$ en $v (x) = \frac{3}{x}$ ( $x > 0$ )

3.3

Bepaalde integralen met de hoofdstelling

Oefenen6Rekenen20 min

gedaan

Bereken exact en zeg telkens wat het resultaat fysisch betekent (met eenheid).

a
$\int_{0}^{3} (2 + 0, 5 t) d t$ met $t$ in s en het integrandum een snelheid in m/s.
b
$\int_{0}^{6} (1400 + 600 e^{- t /1, 5}) d t$ : het vermogen van de verwarming (W) in de eerste 6 uur na een koude nacht, $t$ in h.
c
$\int_{0}^{0, 01} 325 sin (100 π t) d t$ en $\int_{0}^{0, 02} 325 sin (100 π t) d t$ ( $t$ in s).

3.4

Heen en terug in de gang

Oefenen6Begrijpen15 min

gedaan

Het inspectierobotje (hoofdstuk 33 van Intermediate) rijdt door de gang van de module.

De snelheid van het inspectierobotje (positief = weg van het laadstation).

a
Bereken de verplaatsing na 12 s (integraal van v) en de afgelegde weg (integraal van |v|).
b
Waar staat het robotje na 12 s tegenover zijn start? Wanneer was het het verst weg?

3.5

Gemiddelde en effectieve waarde

Oefenen6Rekenen15 min

gedaan

De groeilampen worden met PWM gedimd (hoofdstuk 25 van Intermediate): 12 V gedurende een fractie D van elke periode, anders 0 V.

a
Bereken voor D = 0,25 de gemiddelde en de effectieve spanning.
b
Een weerstand van 6 Ω hangt aan dat PWM-signaal. Welk gemiddeld vermogen? Waarom is U_gem² / R fout?
c
Toon met een integraal aan dat de effectieve waarde van 325 sin(ωt) gelijk is aan 230 V.

Toepassen

meerdere stappen, in een context

3.6

Energie van een dimbare lamp

Toepassen7Rekenen20 min

gedaan

Bij daglicht dimmen de groeilampen: tussen 6:00 en 10:00 daalt hun vermogen van 190 W naar 40 W volgens

P (t) = 40 + 150 e^{- (t - 6) /1, 2}

(W,

t

in h). Daarna blijven ze op 40 W tot 16:00.

a
Bereken de energie tussen 6:00 en 10:00 exact.
b
Hoeveel energie spaart het dimmen tussen 6:00 en 16:00 tegenover 190 W de hele tijd?
c
Controleer je antwoord op (a) met de trapeziumregel met stappen van 1 h. Is de fout positief of negatief, en waarom?

3.7

Arbeid om een koord uit te rekken

Toepassen7Rekenen20 min

gedaan

Een elastisch koord houdt het dakraam van de meetkas gespannen. Je meet de kracht bij het uittrekken:

$x$ (cm)	0	2	4	6	8	10	12
$F$ (N)	0,0	6,5	12,0	16,5	20,0	22,5	24,0

a
Bereken de arbeid tot 12 cm met de trapeziumregel en met Simpson.
b
Een ideale veer (Hooke) met dezelfde kracht bij 2 cm: hoeveel arbeid tot 12 cm? Waarom verschilt het?

3.8

Hoe ver rijdt het robotje?

Toepassen7Rekenen15 min

gedaan

Bij het vertrek volgt de snelheid van het robotje

v (t) = 0, 30 (1 - e^{- t /0, 5})

m/s.

a
Bereken de afgelegde weg in de eerste 10 s exact.
b
Hoeveel minder is dat dan bij een onmiddellijke start aan 0,30 m/s? Interpreteer.

3.9

Trapezium en Simpson met de hand

Toepassen7Rekenen20 min

gedaan

Benader

\int_{0}^{1} e^{x} d x

(exact

e - 1 = 1, 718282

a
Met de trapeziumregel voor n = 4 en n = 8. Hoeveel keer kleiner wordt de fout?
b
Bereken $T_{8} + \frac{T _{8} - T _{4}}{3}$ . Vergelijk met Simpson voor $n = 8$ .

3.10

Een coulombteller in Python

Toepassen7Programmeren30 min

gedaan

Een stroomsensor meet elke minuut de stroom van de batterij (positief = laden). Je schrijft de teller.

a
Schrijf een functie laadtoestand(stroom, dt_min, q_start, q_nom) die een lijst met de laadtoestand in procent na elke meting teruggeeft (trapeziumregel).
b
Test ze op het voorbeeld uit het handboek (uurwaarden, dt = 60 min). Klopt de uitkomst?
c
Een goedkope sensor meet 0,15 A te veel. Hoeveel procent loopt de teller per dag scheef, en hoe corrigeert een BMS dat?

3.11

Habitat: een bewolkte oktoberdag

Toepassen7Habitat45 min

gedaan

De logger van de module geeft voor een bewolkte dag in oktober het vermogen van de vier panelen om het uur (plaatselijke tijd):

uur	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
$P$ (W)	0	45	180	310	420	390	520	460	300	150	40	0

a
Bereken de dagopbrengst met de trapeziumregel en het aantal volle zonuren.
b
Vergelijk met PVGIS voor oktober (2,50 Wh per Wp per dag) en met het budget van de module (3,27 kWh per dag).
c
Het vermogen sprong tussen 13 en 14 uur (390 → 520 W). Hoe betrouwbaar is je dagopbrengst? Schat de onzekerheid.
d
Schrijf een advies (5 à 8 regels) aan het brein van het station: wat doet het energiebeheer op zo'n dag, en hoe moet de logger ingesteld worden?

Zo wordt dit beoordeeld

Berekening	Trapeziumregel correct, met eenheden; volle zonuren juist.
Vergelijking	PVGIS en budget correct omgerekend en vergeleken; verschil verklaard (dag tegenover gemiddelde).
Onzekerheid	Invloed van het meetinterval bij wisselende bewolking onderbouwd, met een schatting.
Advies	Concreet en haalbaar: lasten, batterij, lampen, logfrequentie; verwijst naar de getallen.

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

3.12

Archimedes met integralen

Uitdagen8Analyseren30 min

gedaan

Neem de parabool

y = x^{2}

en de rechte

y = 1

. Het parabolisch segment is het gebied ertussen.

a
Bereken de oppervlakte van het segment met een integraal.
b
Bereken de oppervlakte van de ingeschreven driehoek met dezelfde basis en de top van de parabool, en toon aan dat het segment 4/3 keer zo groot is.
c
Doe hetzelfde algemener voor $y = x^{2}$ en $y = c$ ( $c > 0$ ). Blijft de verhouding 4/3?

3.13

De fout van de trapeziumregel

Uitdagen9Analyseren30 min

gedaan

Bekijk één strook

[0, h]

en een functie met

f (x) = a + b x + c x^{2}

a
Toon aan dat de trapeziumregel exact is als c = 0.
b
Bereken voor $c \neq = 0$ het verschil tussen de trapeziumregel en de exacte integraal. Schrijf het met $f^{''} = 2 c$ .
c
Leid af dat de totale fout over $n$ stroken van $[a, b]$ ongeveer $\frac{( b - a ) h ^{2}}{12} \overline{f^{''}}$ is, en dat ze vier keer kleiner wordt als je $h$ halveert.

3.14

Onderzoek: hoe vaak moet de logger meten?

Uitdagen9Onderzoeken60 min

gedaan

Je gebruikt het model van de zonnedag uit het handboek (heldere hemel maal een wolkenfactor) als 'werkelijkheid', met een meting per minuut als referentie.

a
Programmeer de trapeziumregel voor meetintervallen van 1, 5, 15, 30 en 60 minuten en druk de fout tegenover de referentie af.
b
Verschuif de meetmomenten (bv. om het uur, maar op xx:30 in plaats van xx:00). Wat gebeurt er met de fout? Wat leer je daaruit?
c
Formuleer een advies voor het meetinterval, rekening houdend met de hoeveelheid data (een jaar lang).

Hint

Maak een functie p(t) die het vermogen op tijdstip t geeft; bemonster ze met range(). Een jaar metingen om de minuut is 525 600 regels.

Zo wordt dit beoordeeld

Code	Correcte bemonstering en trapeziumregel; referentie en fout juist berekend.
Analyse	Fout tegenover interval besproken; invloed van de fase van de meetmomenten gezien (toeval bij wolken).
Advies	Onderbouwd met getallen; afweging nauwkeurigheid tegenover datavolume.

3.15

Ontwerp: een energieteller op een microcontroller

Uitdagen8Ontwerpen45 min

gedaan

Je bouwt een wattuurteller op een Arduino Uno: elke seconde meet hij spanning en stroom van de panelen en telt hij P · Δt op bij een variabele. Op een Uno zijn float en double allebei 32 bit (ongeveer 7 beduidende cijfers).

a
Schrijf de kern van de teller (C++ of pseudocode) met millis() voor een vaste stap.
b
Na enkele jaren staat de teller op ongeveer 2 000 000 Wh. Wat gebeurt er als je dan 350 W · 1 s = 0,097 Wh optelt bij een float? En bij 100 W? Reken het na (of simuleer met numpy.float32).
c
Stel een betere oplossing voor en verantwoord ze.

Zo wordt dit beoordeeld

Code	Vaste stap met millis(), P · Δt in de juiste eenheid, geen verloren tijd.
Analyse	Afrondingsprobleem van float32 correct uitgelegd, met getallen.
Oplossing	Gehele tellers (mWs, mWh) of twee niveaus (dag en totaal), overloop en opslag bij stroomuitval behandeld.

ZelfevaluatieKleur per doel: lukt al / bijna / nog niet

Ik kan een hoeveelheid die met een veranderlijke snelheid ophoopt, voorstellen als de oppervlakte onder een kromme, met de juiste eenheid.
Ik kan linker-, rechter- en middenpunt-Riemann-sommen berekenen en uitleggen hoe ze naar de bepaalde integraal gaan.
Ik kan de bepaalde integraal interpreteren als oppervlakte met teken en haar eigenschappen gebruiken.
Ik kan primitieve functies bepalen en de hoofdstelling uitleggen en gebruiken om integralen exact te berekenen.
Ik kan integralen toepassen: energie uit vermogen, lading uit stroom, verplaatsing uit snelheid, arbeid bij een veranderlijke kracht.
Ik kan een integraal numeriek benaderen met de trapeziumregel en Simpson, ook op meetdata, en de orde van de fout verklaren.
Ik kan de gemiddelde waarde en de effectieve waarde van een functie berekenen en interpreteren.
Ik kan de dagopbrengst van de zonnepanelen uit metingen berekenen en kritisch vergelijken met PVGIS en het energiebudget.