EExpert · deel E1 · Wiskundige gereedschapskist

Oplossingen · hoofdstuk 3Integralen: ophopen

Uit een vermogen de energie, uit een stroom de lading, uit een snelheid de weg

Uitgewerkte oplossingen bij de 15 opdrachten van het werkboek. Voor de leerkracht, en voor wie zichzelf wil verbeteren nadat hij het eerst zelf probeerde.

5× oefenen6× toepassen4× uitdagen± 400 min

WWiskundig modelleren EEnergie KKrachten, beweging en constructies

Een wolk die voorbijdrijft, is een dip in het vermogen en een klein gat in de energie van de dag.

Voor de leerkrachtDeze pagina bevat de antwoorden. Druk het werkboek af zonder deze pagina.

Oefenen

één stap, direct toepassen

3.1

Een pomp die aanloopt

Oefenen6Rekenen15 min

De pomp van de waterkringloop (werkpunt 4,8 L/min, hoofdstuk 11 van Intermediate) loopt aan. Het debiet elke seconde:

$t$ (s)	0	1	2	3	4	5	6
$Q$ (L/min)	0,0	0,9	2,6	3,9	4,5	4,8	4,8

a
Bereken het verpompte volume in de eerste 6 s met de linker- en de rechtersom (let op de eenheden).
$Δ t = 1 s = \frac{1}{60} min$ . Links: $(0 + 0, 9 + 2, 6 + 3, 9 + 4, 5 + 4, 8) \cdot \frac{1}{60} = 0, 278 L$ . Rechts: $(0, 9 + 2, 6 + 3, 9 + 4, 5 + 4, 8 + 4, 8) \cdot \frac{1}{60} = 0, 358 L$ .
b
Welke som onderschat, welke overschat? Geef een betere schatting.
Het debiet stijgt, dus links onderschat en rechts overschat. Hun gemiddelde (trapeziumregel): $0, 318 L$ , ongeveer 318 mL.

3.2

Primitieven zoeken

Oefenen6Rekenen20 min

Geef een primitieve functie en controleer door af te leiden.

a
$f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 3$ en $g (t) = \frac{2}{t ^{3}}$
$F (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$ ; $G (t) = 2 \cdot \frac{t ^{- 2}}{- 2} = - \frac{1}{t ^{2}} + C$ .
b
$h (t) = 5 e^{- t /2}$ en $k (x) = x$
$H (t) = - 10 e^{- t /2} + C$ (want $\frac{d}{d t} (- 10 e^{- t /2}) = 5 e^{- t /2}$ ); $K (x) = \frac{2}{3} x^{3/2} + C$ .
c
$u (t) = 325 cos (100 π t)$ en $v (x) = \frac{3}{x}$ ( $x > 0$ )
$U (t) = \frac{325}{100 π} sin (100 π t) + C \approx 1, 03 sin (100 π t) + C$ ; $V (x) = 3 ln x + C$ .

3.3

Bepaalde integralen met de hoofdstelling

Oefenen6Rekenen20 min

Bereken exact en zeg telkens wat het resultaat fysisch betekent (met eenheid).

a
$\int_{0}^{3} (2 + 0, 5 t) d t$ met $t$ in s en het integrandum een snelheid in m/s.
$[2 t + 0, 25 t^{2}]_{0}^{3} = 6 + 2, 25 = 8, 25 m$ : de afgelegde weg van een voorwerp dat eenparig versnelt van 2 naar 3,5 m/s.
b
$\int_{0}^{6} (1400 + 600 e^{- t /1, 5}) d t$ : het vermogen van de verwarming (W) in de eerste 6 uur na een koude nacht, $t$ in h.
$[1400 t - 900 e^{- t /1, 5}]_{0}^{6} = 8400 - 900 e^{- 4} + 900 = 9284 Wh \approx 9, 28 kWh$ : de energie om het station op te warmen en warm te houden.
c
$\int_{0}^{0, 01} 325 sin (100 π t) d t$ en $\int_{0}^{0, 02} 325 sin (100 π t) d t$ ( $t$ in s).
$[- \frac{325}{100 π} cos (100 π t)]_{0}^{0, 01} = \frac{325}{100 π} \cdot 2 = 2, 07 V \cdot s$ over een halve periode; over een hele periode $0$ : de positieve en de negatieve helft heffen elkaar op.

3.4

Heen en terug in de gang

Oefenen6Begrijpen15 min

Het inspectierobotje (hoofdstuk 33 van Intermediate) rijdt door de gang van de module.

De snelheid van het inspectierobotje (positief = weg van het laadstation).

a
Bereken de verplaatsing na 12 s (integraal van v) en de afgelegde weg (integraal van |v|).
Heen (0 tot 6 s): $0, 3 \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0, 3 = 1, 65 m$ . Terug (7 tot 12 s): $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0, 2 + 3 \cdot 0, 2 + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0, 2 = 0, 80 m$ . Verplaatsing $1, 65 - 0, 80 = 0, 85 m$ ; afgelegde weg $1, 65 + 0, 80 = 2, 45 m$ .
b
Waar staat het robotje na 12 s tegenover zijn start? Wanneer was het het verst weg?
Het staat 0,85 m van de start, in de richting van de heenweg. Het verst weg was het tussen 6 en 7 s (snelheid nul), op 1,65 m.

3.5

Gemiddelde en effectieve waarde

Oefenen6Rekenen15 min

De groeilampen worden met PWM gedimd (hoofdstuk 25 van Intermediate): 12 V gedurende een fractie D van elke periode, anders 0 V.

a
Bereken voor D = 0,25 de gemiddelde en de effectieve spanning.
$\overset{u}{ˉ} = D U = 3, 0 V$ ; $\overline{u^{2}} = D U^{2} = 36 V^{2}$ , dus $U_{eff} = 36 = 6, 0 V = D U$ .
b
Een weerstand van 6 Ω hangt aan dat PWM-signaal. Welk gemiddeld vermogen? Waarom is U_gem² / R fout?
$\overset{ˉ}{P} = \overline{u^{2}} / R = 36/6 = 6, 0 W$ (een kwart van 24 W). Met $\overset{u}{ˉ}^{2} / R = 9/6 = 1, 5 W$ zou je een factor 4 te weinig vinden: het vermogen hangt af van het kwadraat, en het kwadraat van het gemiddelde is niet het gemiddelde van het kwadraat.
c
Toon met een integraal aan dat de effectieve waarde van 325 sin(ωt) gelijk is aan 230 V.
$\overline{u^{2}} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} 32 5^{2} sin^{2} (ω t) d t = 32 5^{2} \cdot \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{1 - c o s 2 ω t}{2} d t = \frac{32 5 ^{2}}{2}$ , dus $U_{eff} = 325/ 2 = 229, 8 V \approx 230 V$ .

Toepassen

meerdere stappen, in een context

3.6

Energie van een dimbare lamp

Toepassen7Rekenen20 min

Bij daglicht dimmen de groeilampen: tussen 6:00 en 10:00 daalt hun vermogen van 190 W naar 40 W volgens

P (t) = 40 + 150 e^{- (t - 6) /1, 2}

(W,

t

in h). Daarna blijven ze op 40 W tot 16:00.

a
Bereken de energie tussen 6:00 en 10:00 exact.
$\int_{6}^{10} (40 + 150 e^{- (t - 6) /1, 2}) d t = 160 + 150 \cdot 1, 2 (1 - e^{- 4/1, 2}) = 333, 6 Wh$ .
b
Hoeveel energie spaart het dimmen tussen 6:00 en 16:00 tegenover 190 W de hele tijd?
Gedimd: $334 + 40 \cdot 6 = 574 Wh$ ; vol vermogen $190 \cdot 10 = 1900 Wh$ . Besparing $1326 Wh$ (70 %).
c
Controleer je antwoord op (a) met de trapeziumregel met stappen van 1 h. Is de fout positief of negatief, en waarom?
Trapezium met $h = 1$ : $343, 5 Wh$ , dus $9, 9 Wh$ te veel. De kromme is hol ( $P^{''} > 0$ ): de koorden liggen erboven, de trapeziumregel overschat.

3.7

Arbeid om een koord uit te rekken

Toepassen7Rekenen20 min

Een elastisch koord houdt het dakraam van de meetkas gespannen. Je meet de kracht bij het uittrekken:

$x$ (cm)	0	2	4	6	8	10	12
$F$ (N)	0,0	6,5	12,0	16,5	20,0	22,5	24,0

a
Bereken de arbeid tot 12 cm met de trapeziumregel en met Simpson.
$h = 0, 02 m$ . Trapezium: $0, 02 [\frac{1}{2} \cdot 0 + 6, 5 + 12, 0 + 16, 5 + 20, 0 + 22, 5 + \frac{1}{2} \cdot 24, 0] = 1, 790 J$ . Simpson: $\frac{0 , 02}{3} [0 + 4 (6, 5 + 16, 5 + 22, 5) + 2 (12, 0 + 20, 0) + 24, 0] = 1, 800 J$ .
b
Een ideale veer (Hooke) met dezelfde kracht bij 2 cm: hoeveel arbeid tot 12 cm? Waarom verschilt het?
$k = 6, 5/0, 02 = 325 N/m$ , $W = \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} \cdot 325 \cdot 0, 1 2^{2} = 2, 34 J$ . Het koord wordt slapper (de kracht groeit steeds trager): het is geen lineaire veer, dus minder arbeid.

3.8

Hoe ver rijdt het robotje?

Toepassen7Rekenen15 min

Bij het vertrek volgt de snelheid van het robotje

v (t) = 0, 30 (1 - e^{- t /0, 5})

m/s.

a
Bereken de afgelegde weg in de eerste 10 s exact.
$\int_{0}^{10} 0, 30 (1 - e^{- t /0, 5}) d t = 0, 30 [t + 0, 5 e^{- t /0, 5}]_{0}^{10} = 0, 30 (10 - 0, 5 + 0, 5 e^{- 20}) = 2, 85 m$ .
b
Hoeveel minder is dat dan bij een onmiddellijke start aan 0,30 m/s? Interpreteer.
$3, 00 - 2, 85 = 0, 15 m = 0, 30 \cdot 0, 5$ : alsof het robotje een halve seconde (de tijdconstante) later vertrokken is.

3.9

Trapezium en Simpson met de hand

Toepassen7Rekenen20 min

Benader

\int_{0}^{1} e^{x} d x

(exact

e - 1 = 1, 718282

a
Met de trapeziumregel voor n = 4 en n = 8. Hoeveel keer kleiner wordt de fout?
$T_{4} = 1, 727222$ (fout $0, 008940$ ), $T_{8} = 1, 720519$ (fout $0, 002237$ ): de fout wordt 4,00 keer kleiner, zoals bij een tweede-ordemethode.
b
Bereken $T_{8} + \frac{T _{8} - T _{4}}{3}$ . Vergelijk met Simpson voor $n = 8$ .
$T_{8} + \frac{T _{8} - T _{4}}{3} = 1, 71828415$ (fout $0, 00000233$ ), precies $S_{8} = 1, 71828415$ : de regel van Simpson is de trapeziumregel met haar eigen fout eraf (Richardson).

3.10

Een coulombteller in Python

Toepassen7Programmeren30 min

Een stroomsensor meet elke minuut de stroom van de batterij (positief = laden). Je schrijft de teller.

Schrijf een functie laadtoestand(stroom, dt_min, q_start, q_nom) die een lijst met de laadtoestand in procent na elke meting teruggeeft (trapeziumregel).

def laadtoestand(stroom, dt_min, q_start, q_nom):
    q, uit = q_start, []
    for i in range(len(stroom) - 1):
        q += (stroom[i] + stroom[i + 1]) / 2 * dt_min / 60   # Ah
        q = min(max(q, 0.0), q_nom)                          # niet voorbij leeg of vol
        uit.append(100 * q / q_nom)
    return uit

b
Test ze op het voorbeeld uit het handboek (uurwaarden, dt = 60 min). Klopt de uitkomst?
Met de stroom uit het handboek, dt_min = 60, q_start = 132 en q_nom = 240 vind je dezelfde percentages als de uitvoer van coulombteller.py (einde 69 %).
c
Een goedkope sensor meet 0,15 A te veel. Hoeveel procent loopt de teller per dag scheef, en hoe corrigeert een BMS dat?
0,15 A × 24 h = 3,6 Ah per dag, of 1,5 % van 240 Ah: na een week 10 %. Een BMS zet de teller op 100 % als de batterij vol is (laadspanning bereikt en de stroom klein wordt), en soms op 0 % bij de ontlaadgrens.

3.11

Habitat: een bewolkte oktoberdag

Toepassen7Habitat45 min

De logger van de module geeft voor een bewolkte dag in oktober het vermogen van de vier panelen om het uur (plaatselijke tijd):

uur	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
$P$ (W)	0	45	180	310	420	390	520	460	300	150	40	0

a
Bereken de dagopbrengst met de trapeziumregel en het aantal volle zonuren.
$E = 1 \cdot [\frac{1}{2} \cdot 0 + 45 + 180 + 310 + 420 + 390 + 520 + 460 + 300 + 150 + 40 + \frac{1}{2} \cdot 0] = 2815 Wh$ ; volle zonuren $2815/1400 = 2, 01 h$ .
b
Vergelijk met PVGIS voor oktober (2,50 Wh per Wp per dag) en met het budget van de module (3,27 kWh per dag).
PVGIS oktober: $2, 50 \cdot 1400 = 3500 Wh$ : deze dag gaf 80 % daarvan. Het budget van 3,27 kWh wordt niet gehaald: de batterij moet 0,45 kWh bijpassen, of lasten wachten.
c
Het vermogen sprong tussen 13 en 14 uur (390 → 520 W). Hoe betrouwbaar is je dagopbrengst? Schat de onzekerheid.
Met één meting per uur en wolken die in minuten komen en gaan, kan elk uur tientallen procent afwijken; over de dag middelt dat deels uit. Een realistische onzekerheid is 5 à 10 % (op de heldere dag van het handboek gaf 'om het uur' al 6 % fout, bij wisselende bewolking is het meer). De teller van de regelaar zelf (per seconde) is betrouwbaarder.
d
Schrijf een advies (5 à 8 regels) aan het brein van het station: wat doet het energiebeheer op zo'n dag, en hoe moet de logger ingesteld worden?
Bijvoorbeeld: lampen op spaarstand (dimmen, minder lichturen) zolang de batterij onder 40 % zit (energiebeheer van hoofdstuk 20 van Intermediate); de pomp in de middag laten draaien, als er zon is; logger om de minuut met de wattuurteller van de regelaar; 's avonds de voorspelling voor morgen gebruiken (hoofdstuk 43).

Zo wordt dit beoordeeld

Berekening	Trapeziumregel correct, met eenheden; volle zonuren juist.
Vergelijking	PVGIS en budget correct omgerekend en vergeleken; verschil verklaard (dag tegenover gemiddelde).
Onzekerheid	Invloed van het meetinterval bij wisselende bewolking onderbouwd, met een schatting.
Advies	Concreet en haalbaar: lasten, batterij, lampen, logfrequentie; verwijst naar de getallen.

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

3.12

Archimedes met integralen

Uitdagen8Analyseren30 min

Neem de parabool

y = x^{2}

en de rechte

y = 1

. Het parabolisch segment is het gebied ertussen.

a
Bereken de oppervlakte van het segment met een integraal.
$\int_{- 1}^{1} (1 - x^{2}) d x = [x - \frac{x ^{3}}{3}]_{- 1}^{1} = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$ .
b
Bereken de oppervlakte van de ingeschreven driehoek met dezelfde basis en de top van de parabool, en toon aan dat het segment 4/3 keer zo groot is.
Driehoek met basis van $(- 1, 1)$ tot $(1, 1)$ (lengte 2) en top $(0, 0)$ (hoogte 1): oppervlakte 1. Segment / driehoek $= \frac{4}{3}$ , zoals Archimedes vond.
c
Doe hetzelfde algemener voor $y = x^{2}$ en $y = c$ ( $c > 0$ ). Blijft de verhouding 4/3?
Segment: $\int_{- c}^{c} (c - x^{2}) d x = 2 c c - \frac{2}{3} c c = \frac{4}{3} c c$ . Driehoek: $\frac{1}{2} \cdot 2 c \cdot c = c c$ . Verhouding weer $\frac{4}{3}$ (en voor elke schuine koorde ook, zoals Archimedes bewees).

3.13

De fout van de trapeziumregel

Uitdagen9Analyseren30 min

Bekijk één strook

[0, h]

en een functie met

f (x) = a + b x + c x^{2}

a
Toon aan dat de trapeziumregel exact is als c = 0.
Exact: $\int_{0}^{h} (a + b x) d x = ah + \frac{b}{2} h^{2}$ . Trapezium: $\frac{h}{2} (a + a + bh) = ah + \frac{b}{2} h^{2}$ . Gelijk.
b
Bereken voor $c \neq = 0$ het verschil tussen de trapeziumregel en de exacte integraal. Schrijf het met $f^{''} = 2 c$ .
Exact: $ah + \frac{b}{2} h^{2} + \frac{c}{3} h^{3}$ . Trapezium: $\frac{h}{2} (2 a + bh + c h^{2}) = ah + \frac{b}{2} h^{2} + \frac{c}{2} h^{3}$ . Verschil (trapezium − exact) $= \frac{c}{6} h^{3} = \frac{h ^{3}}{12} f^{''}$ : positief voor een holle functie (overschatting).
c
Leid af dat de totale fout over $n$ stroken van $[a, b]$ ongeveer $\frac{( b - a ) h ^{2}}{12} \overline{f^{''}}$ is, en dat ze vier keer kleiner wordt als je $h$ halveert.
Tel $n = (b - a) / h$ stroken op, elk met fout $\approx \frac{h ^{3}}{12} f^{''} (ξ_{i})$ : samen $\frac{h ^{3}}{12} \sum f^{''} (ξ_{i}) = \frac{h ^{3}}{12} \cdot n \overline{f^{''}} = \frac{( b - a ) h ^{2}}{12} \overline{f^{''}}$ . Evenredig met $h^{2}$ : halveer $h$ en de fout wordt vier keer kleiner.

3.14

Onderzoek: hoe vaak moet de logger meten?

Uitdagen9Onderzoeken60 min

Je gebruikt het model van de zonnedag uit het handboek (heldere hemel maal een wolkenfactor) als 'werkelijkheid', met een meting per minuut als referentie.

a
Programmeer de trapeziumregel voor meetintervallen van 1, 5, 15, 30 en 60 minuten en druk de fout tegenover de referentie af.
Bijvoorbeeld (met de functies van het handboek):
```
ref = trapezium([5 + i / 60 for i in range(1021)], [p(5 + i / 60) for i in range(1021)])
for m in (1, 5, 15, 30, 60):
    t = [5 + i * m / 60 for i in range(int(17 * 60 / m) + 1)]
    E = trapezium(t, [p(x) for x in t])
    print(m, round(E), round(100 * (E / ref - 1), 2))
```
Met het model van het handboek (zonder meetruis): om de 5 min −0,05 %; om de 15 min −0,67 %; om de 30 min −0,66 %; om de 60 min −6,71 %.
b
Verschuif de meetmomenten (bv. om het uur, maar op xx:30 in plaats van xx:00). Wat gebeurt er met de fout? Wat leer je daaruit?
Om het uur maar op xx:30: 5,4 % in plaats van −6,7 %. Bij een heldere dag verandert er weinig, maar bij wolken hangt de fout sterk af van toeval: valt een meting net in een wolk, dan telt die wolk een heel uur mee; anders wordt ze gemist. De fout is dan geen afbreekfout meer (die volgt uit f″) maar een bemonsteringsfout: de wolken zijn korter dan het meetinterval (vergelijk Nyquist, hoofdstuk 21).
c
Formuleer een advies voor het meetinterval, rekening houdend met de hoeveelheid data (een jaar lang).
Bijvoorbeeld: om de minuut loggen is 525 600 regels per jaar, een paar MB: geen probleem voor de Pi. Het kwartier volstaat voor dagtotalen (±1 %), maar wie wolken wil zien of voorspellen, heeft minuten nodig. Beste oplossing: de regelaar integreert per seconde en de Pi logt de teller.

Zo wordt dit beoordeeld

Code	Correcte bemonstering en trapeziumregel; referentie en fout juist berekend.
Analyse	Fout tegenover interval besproken; invloed van de fase van de meetmomenten gezien (toeval bij wolken).
Advies	Onderbouwd met getallen; afweging nauwkeurigheid tegenover datavolume.

3.15

Ontwerp: een energieteller op een microcontroller

Uitdagen8Ontwerpen45 min

Je bouwt een wattuurteller op een Arduino Uno: elke seconde meet hij spanning en stroom van de panelen en telt hij P · Δt op bij een variabele. Op een Uno zijn float en double allebei 32 bit (ongeveer 7 beduidende cijfers).

Schrijf de kern van de teller (C++ of pseudocode) met millis() voor een vaste stap.

unsigned long vorige = 0;
uint32_t teller_mWs = 0;          // milliwattseconde van vandaag
uint32_t totaal_Wh = 0;
void loop() {
  if (millis() - vorige >= 1000) {
    vorige += 1000;
    float p = leesSpanning() * leesStroom();      // W
    teller_mWs += (uint32_t)(p * 1000.0);          // P * 1 s
    while (teller_mWs >= 3600000UL) { teller_mWs -= 3600000UL; totaal_Wh++; }
  }
}

b
Na enkele jaren staat de teller op ongeveer 2 000 000 Wh. Wat gebeurt er als je dan 350 W · 1 s = 0,097 Wh optelt bij een float? En bij 100 W? Reken het na (of simuleer met numpy.float32).
Bij 2 000 000 is de afstand tussen twee opeenvolgende float32-getallen 0,125 Wh: elke optelling wordt afgerond op een veelvoud daarvan. Een simulatie van een uur bij 350 W (0,097 Wh per seconde): bij een teller op 100 Wh komen er 350,0 Wh bij (juist: 350), bij een teller op 2 000 000 Wh komen er 450 Wh bij (0,097 wordt telkens 0,125). Bij 100 W (0,028 Wh per seconde, minder dan een halve stap) komt er 0 Wh bij: de teller staat stil. De fout hangt dus af van het vermogen en groeit met de stand van de teller.
c
Stel een betere oplossing voor en verantwoord ze.
Tel in gehele getallen in een kleine eenheid (milliwattseconde) en draag over naar wattuur zoals in de code: exact, zonder afronding. Of houd een dagteller (klein, nauwkeurig) en tel die 's nachts bij het totaal. Bewaar het totaal regelmatig in EEPROM (niet elke seconde: slijtage) en herstel het na een stroomuitval; controleer met de Pi (trapeziumregel op de log).

Zo wordt dit beoordeeld

Code	Vaste stap met millis(), P · Δt in de juiste eenheid, geen verloren tijd.
Analyse	Afrondingsprobleem van float32 correct uitgelegd, met getallen.
Oplossing	Gehele tellers (mWs, mWh) of twee niveaus (dag en totaal), overloop en opslag bij stroomuitval behandeld.