IIntermediate · deel I2 · Wiskunde als taal van STEM

Oplossingen · hoofdstuk 5Groei en verval: exponentiële modellen

Vermenigvuldigen in plaats van optellen: van bacteriën en algen tot afkoelende thee en vervallende kernen

Uitgewerkte oplossingen bij de 16 opdrachten van het werkboek. Voor de leerkracht, en voor wie zichzelf wil verbeteren nadat hij het eerst zelf probeerde.

5× oefenen7× toepassen4× uitdagen± 329 min

WWiskundig modelleren BLeven en systemen EEnergie

Zelfde voeding, zelfde warmte: in het doorzichtige reservoir verdubbelen de algen elke dag, in het lichtdichte niet.

Voor de leerkrachtDeze pagina bevat de antwoorden. Druk het werkboek af zonder deze pagina.

Oefenen

één stap, direct toepassen

5.1

Groeifactor en procent

Oefenen3Rekenen10 min

Zet om.

a
Vul de tabel aan.
1,04; 0,85; 2; +25 %; −8 %; +200 %.
b
Een reservoir verliest elke dag 6 % van zijn water door verdamping. Wat is de groeifactor per dag? Hoeveel liter is er na 10 dagen over van 60 L?
$g = 0, 94$ per dag. $60 \cdot 0, 9 4^{10} = 60 \cdot 0, 539 = 32, 3 L$ . (Niet $60 - 10 \cdot 3, 6 = 24 L$ : elke dag verdampt 6 % van een kleiner volume.)

5.2

Verdubbelen en halveren in een tabel

Oefenen3Rekenen12 min

(a) Gistcellen in brooddeeg verdubbelen onder goede omstandigheden ongeveer om de 90 minuten. Bij de start zijn er 500 per mL (in een staaltje). (b) Een luchtstaal met radon-222 wordt in een afgesloten flesje bewaard; de activiteit is bij de start 800 Bq. Radon-222 heeft een halveringstijd van 3,82 dagen.

a
Vul de tabel voor de gist in.
500; 1000; 2000; 4000; 8000 per mL.
b
Vul de tabel voor het radon in.
800; 400; 200; 100; 50 Bq.
c
Schrijf beide modellen met $2^{t / t_{2}}$ of $(\frac{1}{2})^{t / t_{1/2}}$ . Hoeveel gistcellen zijn er na 12 uur?
$N = 500 \cdot 2^{t /1, 5}$ ( $t$ in h); $A = 800 \cdot 0, 5^{t /3, 82}$ ( $t$ in dagen). Na 12 h: $500 \cdot 2^{8} = 128000$ per mL.

5.3

Lineair of exponentieel?

Oefenen3Begrijpen12 min

Vijf tabellen, telkens bij gelijke stappen in

t

.
(A) 3; 6; 12; 24; 48
(B) 3; 6; 9; 12; 15
(C) 800; 720; 648; 583,2
(D) 800; 720; 640; 560
(E) 1; 4; 9; 16

a
Welk verband heeft elke tabel? Toon met verschillen of verhoudingen.
A: exponentieel, verhouding 2. B: lineair, verschil 3. C: exponentieel, verhouding 0,9. D: lineair, verschil −80. E: geen van beide: verschillen 3, 5, 7 en verhoudingen 4; 2,25; 1,78 zijn niet constant, maar de tweede verschillen wel: kwadratisch.
b
Schrijf de formule voor A, C en D (met t = 0 bij de eerste waarde).
A: $N = 3 \cdot 2^{t}$ . C: $N = 800 \cdot 0, 9^{t}$ . D: $N = 800 - 80 t$ .

5.4

Rekenen met logaritmen

Oefenen4Rekenen15 min

Gebruik de log-toets van je rekenmachine. Rond af op drie beduidende cijfers.

a
Bereken zonder rekenmachine: $lo g 1000$ , $lo g 0, 001$ , $lo g 1$ , $lo g 1 0^{7}$ .
3; −3; 0; 7.
b
Los op: (a) $2^{t} = 50$ ; (b) $1, 0 5^{t} = 3$ ; (c) $0, 8^{t} = 0, 1$ ; (d) $1 0^{x} = 0, 5$ .
(a) $t = lo g 50/ lo g 2 = 5, 64$ ; (b) $t = lo g 3/ lo g 1, 05 = 22, 5$ ; (c) $t = lo g 0, 1/ lo g 0, 8 = 10, 3$ ; (d) $x = lo g 0, 5 = - 0, 301$ .
c
Bereken de verdubbelingstijd bij $g = 1, 12$ en de halveringstijd bij $g = 0, 97$ (in tijdstappen).
$t_{2} = lo g 2/ lo g 1, 12 = 6, 12$ stappen; $t_{1/2} = lo g 0, 5/ lo g 0, 97 = 22, 8$ stappen.

5.5

Een logaritmische as aflezen

Oefenen4Analyseren15 min

In het labo wordt de groei van een bacteriecultuur gevolgd. De verticale as is logaritmisch.

Groeicurve van een bacteriecultuur: aanloop, groei, stationaire fase.

a
Hoeveel bacteriën per mL zijn er bij de start? En na 12 uur?
$1 0^{4}$ per mL bij de start; na 12 uur ongeveer $4 \cdot 1 0^{7}$ per mL (op 60 % van de decade tussen $1 0^{7}$ en $1 0^{8}$ , want $lo g 4 = 0, 60$ ).
b
In welk tijdsinterval groeit de cultuur exponentieel? Hoe zie je dat op deze grafiek?
Van 2 tot 8 uur: daar is de grafiek een rechte op de logaritmische as. Ervoor (aanloopfase) en erna (stationaire fase) is ze horizontaal.
c
Hoe lang duurt het in dat interval om van 10⁴ naar 10⁶ per mL te gaan? Bereken daaruit de verdubbelingstijd.
Van $1 0^{4}$ (bij 2 h) naar $1 0^{6}$ duurt ongeveer 3,3 h: twee decaden. Een decade duurt 1,66 h, dus $t_{2} = 1, 66 \cdot lo g 2 = 0, 50 h = 30 min$ .
d
Lees de waarde na 5 uur af (ze ligt tussen twee rasterlijnen) en controleer met je model.
Na 5 h: drie uur exponentiële groei, 6 verdubbelingen: $1 0^{4} \cdot 2^{6} = 6, 4 \cdot 1 0^{5}$ ; op de as ligt dat op 80 % van de decade tussen $1 0^{5}$ en $1 0^{6}$ ( $lo g 6, 4 = 0, 81$ ).

Toepassen

meerdere stappen, in een context

5.6

Procenten die zich opstapelen

Toepassen4Begrijpen15 min

Vier beweringen uit een groepswerk. Welke kloppen? Verbeter wat fout is.

a
'De algen groeien 10 % per dag, dus 70 % per week.'
Fout: $1, 1 0^{7} = 1, 95$ , dus +95 % per week.
b
'De prijs van een sensor steeg 20 % en daalde daarna 20 %: hij kost weer evenveel.'
Fout: $1, 20 \cdot 0, 80 = 0, 96$ : hij is 4 % goedkoper dan eerst. De 20 % daling rekent op een hoger bedrag.
c
'Een cultuur die per dag verdubbelt, groeit 100/24 = 4,2 % per uur.'
Fout: $g_{u} = 2^{1/24} = 1, 0293$ : 2,93 % per uur. Met 4,2 % per uur zou je per dag $1, 04 2^{24} = 2, 7$ keer zoveel hebben.
d
'Een groei van 50 % per jaar is 50 / 12 = 4,17 % per maand.'
Fout: $1, 5^{1/12} = 1, 0344$ : 3,44 % per maand. Met 4,17 % per maand kom je na een jaar op $1, 041 7^{12} = 1, 63$ , dus +63 %.

5.7

Cafeïne in je bloed

Toepassen5Rekenen15 min

Een blikje energiedrank van 250 mL bevat 80 mg cafeïne. Je lichaam breekt cafeïne ongeveer exponentieel af; bij volwassenen is de halveringstijd gemiddeld ongeveer 5 uur (maar ze verschilt sterk van persoon tot persoon). Iemand drinkt een blikje om 16 uur.

a
Met hoeveel procent daalt de hoeveelheid cafeïne per uur?
$g = 0, 5^{1/5} = 0, 871$ per uur: 12,9 % minder per uur.
b
Hoeveel cafeïne is er om 23 uur nog, als je slapen gaat?
7 uur later: $80 \cdot 0, 5^{7/5} = 80 \cdot 0, 379 = 30 mg$ , nog meer dan een derde.
c
Wanneer is er minder dan 10 mg over?
$80 \cdot 0, 5^{t /5} = 10$ geeft $0, 5^{t /5} = 1/8$ , dus $t /5 = 3$ en $t = 15 h$ : om 7 uur 's ochtends (drie halveringstijden).
d
Noem twee redenen waarom dit model voor één persoon niet precies klopt.
De halveringstijd verschilt per persoon (lichaamsgewicht, leeftijd, medicijnen, roken, zwangerschap); de opname in het bloed duurt ook even (het maximum komt pas na ongeveer een halfuur tot een uur); en andere dranken met cafeïne tellen mee.

5.8

Jodium-131 in het ziekenhuis

Toepassen5Rekenen15 min

Voor een schildklierbehandeling krijgt een patiënt jodium-131 met een activiteit van 2,0 GBq (2,0 · 10⁹ Bq). De halveringstijd van jodium-131 is 8,02 dagen.

a
Wat is de activiteit na één week, als je alleen naar het radioactief verval kijkt?
$2, 0 \cdot 0, 5^{7/8, 02} = 2, 0 \cdot 0, 546 = 1, 09 GBq$ .
b
Na hoeveel dagen is de activiteit gedaald tot 1 % van het begin?
$0, 5^{t /8, 02} = 0, 01$ geeft $t = 8, 02 \cdot lo g 0, 01/ lo g 0, 5 = 8, 02 \cdot 6, 64 = 53 dagen$ .
c
In werkelijkheid daalt de activiteit in het lichaam sneller dan zo berekend. Bedenk waarom.
Het lichaam scheidt een deel van het jodium ook uit (vooral via de urine). Twee processen halen dus tegelijk activiteit weg; de effectieve halveringstijd is korter dan de fysische. Daarom krijgt de patiënt ook afspraken over hygiëne en afstand in de eerste dagen.

5.9

De condensator van de drukknop

Toepassen5Analyseren20 min

Om een drukknop te ontdenderen (hoofdstuk 24) gebruik je een condensator. Je meet met een microcontroller de spanning terwijl hij ontlaadt over een weerstand van 100 kΩ.

Gemeten spanning om de 0,5 s: 5,00; 3,04; 1,83; 1,12; 0,68; 0,41; 0,25; 0,15; 0,09 V.

a
Bereken de verhouding van opeenvolgende metingen. Is de ontlading exponentieel?
3,04/5,00 = 0,608; 0,602; 0,612; 0,607; 0,603; 0,61; 0,60; 0,6: constant rond 0,607 per 0,5 s. Ja, exponentieel.
b
Wat is de groeifactor per seconde? Bepaal de halveringstijd.
Per seconde: $0, 60 7^{2} = 0, 368$ . $t_{1/2} = lo g 0, 5/ lo g 0, 368 = 0, 69 s$ (of: 0,5 s · log 0,5 / log 0,607).
c
Bepaal de tijdconstante $τ$ (na hoeveel tijd is nog 37 % over?) en daaruit de capaciteit.
$0, 368 = e^{- 1}$ : na 1,0 s is nog 37 % over, dus $τ = 1, 0 s$ . $C = τ / R = 1, 0/100 000 = 1, 0 \cdot 1 0^{- 5} F = 10 μ F$ .
d
Waarom wordt de relatieve meetfout groter bij de laatste metingen?
De meting heeft een vaste absolute fout (een ADC-stap is 5 V / 1023 = 4,9 mV, plus ruis van enkele mV). Bij 0,09 V is 5 mV al 5 %, bij 5 V maar 0,1 %.

5.10

Labo: verval met dobbelstenen

Toepassen5Labo40 min

Elke groep krijgt 100 dobbelstenen. Gooi ze allemaal, haal de zessen eruit en tel wat overblijft. Herhaal tot er minder dan 5 over zijn. Voeg daarna de resultaten van alle groepen samen.

Elke zes is een 'vervallen kern': ze gaat uit het spel, de rest wordt opnieuw gegooid.

a
Noteer je resultaten en die van de hele klas.
Bijvoorbeeld 100, 84, 70, 57, 48 ... voor een groep; voor een klas van 10 groepen 1000, 832, 697 ... dicht bij het model.
b
Teken beide reeksen in één grafiek, met het model erbij. Wat valt op aan de schommelingen van je groep tegenover die van de klas?
De klasreeks ligt veel dichter bij het model: het toeval middelt uit over meer stenen (relatieve schommelingen worden kleiner bij grotere aantallen).
c
Bepaal de halveringstijd uit je grafiek en vergelijk met het model (3,80 worpen).
Tussen de 3e en 4e worp daalt het aantal onder de helft: ongeveer 3,8 worpen, zoals het model voorspelt.
d
Wat verandert er als je in plaats van zessen de even worpen (2, 4, 6) verwijdert? Voorspel de halveringstijd.
Kans 1/2 per worp: $g = 0, 5$ en de halveringstijd is precies 1 worp. Het verval gaat veel sneller: na 7 worpen is van 100 stenen gemiddeld nog minder dan 1 over.

Zo wordt dit beoordeeld

Metingen	Tabel volledig, aantallen correct geteld, klasgegevens samengevoegd.
Grafiek	Assen met grootheden, punten voor groep en klas, modelkromme N0 · (5/6)^n.
Interpretatie	Halveringstijd afgelezen; kleinere relatieve schommelingen bij de grotere groep verklaard.
Transfer	Voorspelling voor kans 1/2 correct: halveringstijd 1 worp.

5.11

Python: hoe lang tot het verdubbelt?

Toepassen5Programmeren20 min

Een leerling zoekt de verdubbelingstijd met een lus in plaats van met logaritmen.

p = 3                      # groei in procent per jaar
g = 1 + p / 100            # groeifactor per jaar
N = 100.0                  # beginwaarde
jaren = 0
while N < 200:
    N = N * g
    jaren = jaren + 1
print(jaren, "jaar, N =", round(N, 1))

a
Wat doet de while-lus? Voorspel de uitvoer.
De lus vermenigvuldigt N met g zolang N kleiner is dan 200, en telt de jaren. Ze stopt bij het eerste gehele jaar waarin N minstens 200 is: 24 jaar, N = 203.3 (gecontroleerd door het programma te draaien).
b
Voer het programma uit. Vergelijk met de formule $t_{2} = lo g 2/ lo g g$ . Waarom verschillen ze?
De formule geeft 23,4 jaar. De lus telt in hele jaren en geeft het eerste jaar waarin de verdubbeling bereikt is; na 23 jaar is N nog 197,4. Beide kloppen, maar de formule is exacter en sneller.
c
Verander p = 3 in p = 7. Wat print het programma nu? Klopt de vuistregel van 70?
11 jaar, N = 210.5. De formule geeft $lo g 2/ lo g 1, 07 = 10, 2$ jaar, de vuistregel 70/7 = 10: allebei in orde; de lus rondt naar boven af.
d
Pas het programma aan zodat het de halveringstijd zoekt bij een afname van 12 % per stap (tip: welke voorwaarde en welke groeifactor?).
g = 1 - 12 / 100 en while N > 50: (vanaf N = 100). Uitvoer: 6 jaar, N = 46.4; de formule geeft $lo g 0, 5/ lo g 0, 88 = 5, 4$ stappen.

5.12

Ledlampen die zwakker worden

Toepassen5Rekenen20 min

Een led brandt niet door zoals een gloeilamp: hij wordt langzaam zwakker. Fabrikanten testen dat duizenden uren en passen er een exponentieel model aan (de norm TM-21). Een ledmodule voor de kweekruimte geeft na een test van 10 000 uur nog 96 % van zijn oorspronkelijke licht. 'L70' is de tijd tot er nog 70 % over is. De norm laat niet toe om verder te voorspellen dan zes keer de testduur.

a
Wat is de groeifactor per 1000 uur?
$g = 0, 9 6^{1/10} = 0, 9959$ per 1000 uur: 0,41 % lichtverlies per 1000 uur.
b
Bereken L70 volgens het model.
$0, 9 6^{t /10 000} = 0, 70$ geeft $t = 10000 \cdot lo g 0, 70/ lo g 0, 96 = 87000 h$ .
c
Welke L70 mag de fabrikant op de verpakking zetten? Waarom die regel?
Hoogstens zes keer de testduur: L70 > 60 000 uur. Extrapoleren is onzeker: na 10 000 uur weet je niet of het model op 87 000 uur nog klopt (andere slijtage, een defect onderdeel in de driver). De norm legt het geldigheidsgebied vast.
d
De lamp brandt 16 uur per dag. Hoeveel jaar is de waarde op de verpakking?
$60 000/ (16 \cdot 365) = 10, 3$ jaar.

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

5.13

Habitat: algen in het voedingsreservoir

Uitdagen6Habitat45 min

Voor de keuze van het reservoir van de klimaatmodule vul je twee testreservoirs van 60 L met dezelfde voedingsoplossing: één doorzichtig, één lichtdicht. Een sensor meet elke dag de algen (cellen per mL). In het lichtdichte reservoir blijft het aantal de hele tijd tussen 1,5 · 10³ en 2,5 · 10³ per mL. In het doorzichtige: 1,9 · 10³; 3,8 · 10³; 8,2 · 10³; 1,43 · 10⁴; 3,07 · 10⁴; 5,4 · 10⁴; 1,16 · 10⁵; 1,96 · 10⁵; 3,30 · 10⁵; 4,41 · 10⁵; 5,85 · 10⁵ (dag 0 tot dag 10). De alarmgrens is 5 · 10⁵ per mL.

Metingen in het doorzichtige testreservoir, op een logaritmische as.

a
Bereken de verhouding van opeenvolgende dagen. In welke periode is de groei exponentieel? Wat gebeurt er daarna?
Verhoudingen: 2,0; 2,2; 1,7; 2,1; 1,8; 2,1; 1,7; 1,7; 1,3; 1,3. Tot ongeveer dag 6 schommelen ze rond 2 (exponentieel); daarna dalen ze: de groei vlakt af, omdat de algen elkaars licht wegnemen of een voedingsstof opraakt.
b
Bepaal uit het exponentiële deel de groeifactor per dag en de verdubbelingstijd.
Van dag 0 tot dag 6: factor $1, 16 \cdot 1 0^{5} /1, 9 \cdot 1 0^{3} = 61$ in 6 dagen, $g = 6 1^{1/6} = 1, 98$ per dag, $t_{2} = lo g 2/ lo g 1, 98 = 1, 0$ dag.
c
Wanneer zou het alarm afgaan volgens het exponentiële model? Wanneer ging het echt af? Leg het verschil uit.
Model: $1, 9 \cdot 1 0^{3} \cdot 1, 9 8^{t} = 5 \cdot 1 0^{5}$ geeft $t = lo g 263/ lo g 1, 98 = 8, 1$ dagen. Echt: tussen dag 8 (3,30 · 10⁵) en dag 9 (4,41 · 10⁵) nog niet, pas tussen dag 9 en 10. De begrenzing vertraagt de groei op het einde; het exponentiële model is dus een voorzichtige (vroege) schatting.
d
Het team overweegt drie maatregelen: het reservoir elke week reinigen, een deksel op het doorzichtige reservoir, of een lichtdicht reservoir. Beoordeel ze met je model.
Wekelijks reinigen: verlaagt de beginwaarde, maar elke factor 10 minder levert maar 3,3 dagen op, en reinigen stoort de planten. Een deksel: houdt licht van boven tegen, maar niet door de doorschijnende wanden; de groeifactor daalt wat. Lichtdicht reservoir: de algen krijgen geen licht, de groeifactor is ongeveer 1 (geen groei, zoals gemeten): de maatregel werkt op de groeifactor en is dus veruit de beste.
e
Schrijf je advies voor het ontwerp van de klimaatmodule in drie zinnen, met één getal uit je analyse.
Bijvoorbeeld: 'In een doorzichtig reservoir verdubbelen de algen elke dag en is het water binnen tien dagen groen. We kiezen een lichtdicht reservoir van 60 L: daarin groeiden de algen tien dagen lang niet. Reinigen doen we bij elke wissel van de voedingsoplossing, niet als maatregel tegen algen.'

Zo wordt dit beoordeeld

Analyse	Verhoudingen berekend; exponentiële fase (dag 0 tot ongeveer 6) herkend en afvlakking benoemd.
Model	g ≈ 2 per dag uit meerdere punten (niet uit twee willekeurige), t2 ≈ 1 dag.
Voorspelling	Alarm volgens model na ongeveer 8 dagen; werkelijk tussen dag 8 en 9; verschil verklaard door begrenzing.
Advies	Maatregelen beoordeeld op groeifactor versus beginwaarde; onderbouwde keuze met een getal.

5.14

Hoe oud is dit hout?

Uitdagen6Rekenen20 min

Koolstof-14 heeft een halveringstijd van 5730 jaar. Een labo meet in een staal van een houten werktuig dat nog 40 % van de oorspronkelijke fractie koolstof-14 aanwezig is. In een eikenhouten balk uit een oude schuur is dat 94 %.

a
Hoe oud is het werktuig?
$0, 5^{t /5730} = 0, 40$ geeft $t = 5730 \cdot lo g 0, 40/ lo g 0, 5 = 5730 \cdot 1, 32 = 7600$ jaar.
b
Hoe oud is de balk? Waarom is die uitkomst relatief onzekerder?
$t = 5730 \cdot lo g 0, 94/ lo g 0, 5 = 510$ jaar. Onzekerder: er is maar 6 % vervallen, en een meetfout van 1 procentpunt op 94 % verandert de ouderdom al met ongeveer 90 jaar (bij 93 %: 600 jaar). Kleine veranderingen zijn moeilijk nauwkeurig te meten.
c
Waarom gebruikt men koolstof-14 niet voor fossielen van dinosaurussen (ongeveer 70 miljoen jaar)? Reken.
Na 50 000 jaar is nog $0, 5^{50 000/5730} = 0, 24 %$ over, na 70 miljoen jaar $0, 5^{12200}$ : praktisch nul, onmeetbaar. Voor zulke ouderdommen gebruikt men isotopen met een veel langere halveringstijd, zoals kalium-40 of uranium-238 in het gesteente rond het fossiel.

5.15

Waarom vroeg ingrijpen telt

Uitdagen6Analyseren25 min

Een nieuwe besmettelijke ziekte verspreidt zich in een regio. Zolang niemand ingrijpt, verdubbelt het aantal nieuwe besmettingen per dag ongeveer elke 4 dagen. Vandaag zijn het er 100 per dag. (Dit is een vereenvoudigd model; echte epidemiologen gebruiken rijkere modellen.)

a
Wat is de groeifactor per dag, en de procentuele groei per dag?
$g = 2^{1/4} = 1, 189$ per dag: +18,9 % per dag.
b
Hoeveel nieuwe besmettingen per dag zijn er over 4 weken als niets verandert?
28 dagen = 7 verdubbelingen: $100 \cdot 2^{7} = 12800$ per dag.
c
Maatregelen die de groei stoppen, komen er vandaag of pas over een week. Hoeveel keer zoveel besmettingen per dag zijn er op het moment dat ze beginnen te werken?
$2^{7/4} = 3, 4$ keer zoveel: een week wachten betekent meer dan drie keer zoveel besmettingen om af te bouwen.
d
Na de maatregelen daalt het aantal nieuwe besmettingen met 5 % per dag. Hoe lang duurt het om te halveren? Vergelijk met de verdubbelingstijd.
$t_{1/2} = lo g 0, 5/ lo g 0, 95 = 13, 5$ dagen, ruim drie keer zo lang als de verdubbelingstijd van 4 dagen. Opbouwen ging dus veel sneller dan afbouwen.
e
Leg in eigen woorden uit waarom een probleem met exponentiële groei in het begin onderschat wordt, en waarom afbouwen trager gaat dan opbouwen.
In het begin zijn de absolute aantallen klein (van 100 naar 200 lijkt weinig), terwijl de groeifactor al vastligt; tegen dat de aantallen opvallen, zijn er nog maar enkele verdubbelingen nodig om het systeem te overbelasten. Afbouwen gaat trager omdat de daling per dag (hier 5 %) veel kleiner is dan de stijging was (18,9 %): de halveringstijd is langer dan de verdubbelingstijd.

5.16

Een onbekende omgevingstemperatuur

Uitdagen7Analyseren30 min

Een beker soep koelt af op een koele veranda; de temperatuur van de lucht daar is niet gemeten. Metingen om de 5 minuten: 80,0; 63,7; 51,5; 42,3; 35,5; 30,3; 26,5 °C (van 0 tot 30 min).

a
Bereken de verhouding van opeenvolgende temperaturen. Daalt de temperatuur zelf exponentieel?
63,7/80,0 = 0,796; 0,808; 0,821; 0,839; 0,854; 0,875: de verhouding stijgt. De temperatuur zelf daalt dus niet exponentieel (ze nadert een omgevingstemperatuur die niet nul is).
b
Als het verschil met de omgeving exponentieel daalt, geldt voor drie metingen op gelijke afstand: $(T_{2} - T_{omg})^{2} = (T_{1} - T_{omg}) (T_{3} - T_{omg})$ . Toon waarom, en bereken $T_{omg}$ uit de metingen bij 0, 10 en 20 min.
Dezelfde groeifactor per stap: $\frac{T _{2} - T _{o}}{T _{1} - T _{o}} = \frac{T _{3} - T _{o}}{T _{2} - T _{o}}$ , kruiselings vermenigvuldigen geeft de formule. Met 80,0; 51,5; 35,5: $(51, 5 - x)^{2} = (80, 0 - x) (35, 5 - x)$ , dus $2652, 25 - 103 x = 2840 - 115, 5 x$ ( $x^{2}$ valt weg), $12, 5 x = 187, 75$ en $T_{omg} = 15, 0^{\circ} C$ .
c
Bereken $T - T_{omg}$ voor alle metingen en zet ze uit op een logaritmische as (of reken $lo g (T - T_{omg})$ uit). Is het een rechte?
Verschillen: 65,0; 48,7; 36,5; 27,3; 20,5; 15,3; 11,5 °C. Verhouding telkens 0,75. Op een logaritmische as een rechte: het verschil daalt exponentieel.
d
Bepaal de halveringstijd van het verschil en schrijf het volledige model.
$g = 0, 75$ per 5 min: $t_{1/2} = 5 \cdot lo g 0, 5/ lo g 0, 75 = 12 min$ . Model: $T (t) = 15, 0 + 65, 0 \cdot 0, 5^{t /12}$ (°C, $t$ in min).