StemExpert

Intermediate · Werkboek · 5. Groei en verval: exponentiële modellen
StemExpert · Brecht Corbeel · schoolium.me

IIntermediate · deel I2 · Wiskunde als taal van STEM

Werkboek · hoofdstuk 5Groei en verval: exponentiële modellen

Vermenigvuldigen in plaats van optellen: van bacteriën en algen tot afkoelende thee en vervallende kernen

Je begint met groeifactoren, tabellen, logaritmen en een logaritmische as. In de tweede trede reken je met procenten die zich opstapelen, cafeïne, radioactief jodium, een ontladende condensator en ledlampen die zwakker worden; je gooit zelf dobbelstenen en laat Python tellen. In de laatste trede analyseer je de algengroei in het reservoir van Habitat (opdracht 5.13), dateer je hout met koolstof-14, reken je uit waarom vroeg ingrijpen telt, en vind je een onbekende omgevingstemperatuur met logaritmen.

5× oefenen7× toepassen4× uitdagen± 329 min0/16 gedaan

WWiskundig modelleren BLeven en systemen EEnergie

Zelfde voeding, zelfde warmte: in het doorzichtige reservoir verdubbelen de algen elke dag, in het lichtdichte niet.

Hoe lees je een opdracht?

Drie tredenOefenen Toepassen Uitdagen

Elk hoofdstuk bouwt op: eerst oefenen (één stap, direct toepassen), dan toepassen (meerdere stappen, in een context), dan uitdagen (transfer, open problemen, andere leerlijnen erbij).

De StemExpert-schaal5

Eén moeilijkheidsschaal van 1 tot 9 over de drie niveaus heen: Fundamental loopt van 1 tot 4, Intermediate van 3 tot 7, Expert van 6 tot 9. Zo zie je dat de uitdaging van het ene niveau de oefening van het volgende is.

Oefenen

één stap, direct toepassen

5.1

Groeifactor en procent

Oefenen3Rekenen10 min

gedaan

Zet om.

a
Vul de tabel aan.
verandering per stap groeifactor g
+4 %
−15 %
+100 %
1,25
0,92
3
b
Een reservoir verliest elke dag 6 % van zijn water door verdamping. Wat is de groeifactor per dag? Hoeveel liter is er na 10 dagen over van 60 L?

5.2

Verdubbelen en halveren in een tabel

Oefenen3Rekenen12 min

gedaan

(a) Gistcellen in brooddeeg verdubbelen onder goede omstandigheden ongeveer om de 90 minuten. Bij de start zijn er 500 per mL (in een staaltje). (b) Een luchtstaal met radon-222 wordt in een afgesloten flesje bewaard; de activiteit is bij de start 800 Bq. Radon-222 heeft een halveringstijd van 3,82 dagen.

a
Vul de tabel voor de gist in.
t (h) 0 1,5 3 4,5 6
N (per mL)
b
Vul de tabel voor het radon in.
t (dag) 0 3,82 7,64 11,46 15,28
A (Bq)
c
Schrijf beide modellen met $2^{t / t_{2}}$ of $(\frac{1}{2})^{t / t_{1/2}}$ . Hoeveel gistcellen zijn er na 12 uur?

5.3

Lineair of exponentieel?

Oefenen3Begrijpen12 min

gedaan

Vijf tabellen, telkens bij gelijke stappen in

t

.
(A) 3; 6; 12; 24; 48
(B) 3; 6; 9; 12; 15
(C) 800; 720; 648; 583,2
(D) 800; 720; 640; 560
(E) 1; 4; 9; 16

a
Welk verband heeft elke tabel? Toon met verschillen of verhoudingen.
verband bewijs
A
B
C
D
E
b
Schrijf de formule voor A, C en D (met t = 0 bij de eerste waarde).

5.4

Rekenen met logaritmen

Oefenen4Rekenen15 min

gedaan

Gebruik de log-toets van je rekenmachine. Rond af op drie beduidende cijfers.

a
Bereken zonder rekenmachine: $lo g 1000$ , $lo g 0, 001$ , $lo g 1$ , $lo g 1 0^{7}$ .
b
Los op: (a) $2^{t} = 50$ ; (b) $1, 0 5^{t} = 3$ ; (c) $0, 8^{t} = 0, 1$ ; (d) $1 0^{x} = 0, 5$ .
c
Bereken de verdubbelingstijd bij $g = 1, 12$ en de halveringstijd bij $g = 0, 97$ (in tijdstappen).

5.5

Een logaritmische as aflezen

Oefenen4Analyseren15 min

gedaan

In het labo wordt de groei van een bacteriecultuur gevolgd. De verticale as is logaritmisch.

Groeicurve van een bacteriecultuur: aanloop, groei, stationaire fase.

a
Hoeveel bacteriën per mL zijn er bij de start? En na 12 uur?
b
In welk tijdsinterval groeit de cultuur exponentieel? Hoe zie je dat op deze grafiek?
c
Hoe lang duurt het in dat interval om van 10⁴ naar 10⁶ per mL te gaan? Bereken daaruit de verdubbelingstijd.
d
Lees de waarde na 5 uur af (ze ligt tussen twee rasterlijnen) en controleer met je model.

Toepassen

meerdere stappen, in een context

5.6

Procenten die zich opstapelen

Toepassen4Begrijpen15 min

gedaan

Vier beweringen uit een groepswerk. Welke kloppen? Verbeter wat fout is.

a
'De algen groeien 10 % per dag, dus 70 % per week.'
b
'De prijs van een sensor steeg 20 % en daalde daarna 20 %: hij kost weer evenveel.'
c
'Een cultuur die per dag verdubbelt, groeit 100/24 = 4,2 % per uur.'
d
'Een groei van 50 % per jaar is 50 / 12 = 4,17 % per maand.'

5.7

Cafeïne in je bloed

Toepassen5Rekenen15 min

gedaan

Een blikje energiedrank van 250 mL bevat 80 mg cafeïne. Je lichaam breekt cafeïne ongeveer exponentieel af; bij volwassenen is de halveringstijd gemiddeld ongeveer 5 uur (maar ze verschilt sterk van persoon tot persoon). Iemand drinkt een blikje om 16 uur.

a
Met hoeveel procent daalt de hoeveelheid cafeïne per uur?
b
Hoeveel cafeïne is er om 23 uur nog, als je slapen gaat?
c
Wanneer is er minder dan 10 mg over?
d
Noem twee redenen waarom dit model voor één persoon niet precies klopt.

5.8

Jodium-131 in het ziekenhuis

Toepassen5Rekenen15 min

gedaan

Voor een schildklierbehandeling krijgt een patiënt jodium-131 met een activiteit van 2,0 GBq (2,0 · 10⁹ Bq). De halveringstijd van jodium-131 is 8,02 dagen.

a
Wat is de activiteit na één week, als je alleen naar het radioactief verval kijkt?
b
Na hoeveel dagen is de activiteit gedaald tot 1 % van het begin?
c
In werkelijkheid daalt de activiteit in het lichaam sneller dan zo berekend. Bedenk waarom.

5.9

De condensator van de drukknop

Toepassen5Analyseren20 min

gedaan

Om een drukknop te ontdenderen (hoofdstuk 24) gebruik je een condensator. Je meet met een microcontroller de spanning terwijl hij ontlaadt over een weerstand van 100 kΩ.

Gemeten spanning om de 0,5 s: 5,00; 3,04; 1,83; 1,12; 0,68; 0,41; 0,25; 0,15; 0,09 V.

a
Bereken de verhouding van opeenvolgende metingen. Is de ontlading exponentieel?
b
Wat is de groeifactor per seconde? Bepaal de halveringstijd.
c
Bepaal de tijdconstante $τ$ (na hoeveel tijd is nog 37 % over?) en daaruit de capaciteit.
d
Waarom wordt de relatieve meetfout groter bij de laatste metingen?

5.10

Labo: verval met dobbelstenen

Toepassen5Labo40 min

gedaan

Elke groep krijgt 100 dobbelstenen. Gooi ze allemaal, haal de zessen eruit en tel wat overblijft. Herhaal tot er minder dan 5 over zijn. Voeg daarna de resultaten van alle groepen samen.

Elke zes is een 'vervallen kern': ze gaat uit het spel, de rest wordt opnieuw gegooid.

a
Noteer je resultaten en die van de hele klas.
worp over (groep) over (klas) model (klas)
b
Teken beide reeksen in één grafiek, met het model erbij. Wat valt op aan de schommelingen van je groep tegenover die van de klas?
c
Bepaal de halveringstijd uit je grafiek en vergelijk met het model (3,80 worpen).
d
Wat verandert er als je in plaats van zessen de even worpen (2, 4, 6) verwijdert? Voorspel de halveringstijd.

Zo wordt dit beoordeeld

Metingen	Tabel volledig, aantallen correct geteld, klasgegevens samengevoegd.
Grafiek	Assen met grootheden, punten voor groep en klas, modelkromme N0 · (5/6)^n.
Interpretatie	Halveringstijd afgelezen; kleinere relatieve schommelingen bij de grotere groep verklaard.
Transfer	Voorspelling voor kans 1/2 correct: halveringstijd 1 worp.

5.11

Python: hoe lang tot het verdubbelt?

Toepassen5Programmeren20 min

gedaan

Een leerling zoekt de verdubbelingstijd met een lus in plaats van met logaritmen.

p = 3                      # groei in procent per jaar
g = 1 + p / 100            # groeifactor per jaar
N = 100.0                  # beginwaarde
jaren = 0
while N < 200:
    N = N * g
    jaren = jaren + 1
print(jaren, "jaar, N =", round(N, 1))

a
Wat doet de while-lus? Voorspel de uitvoer.
b
Voer het programma uit. Vergelijk met de formule $t_{2} = lo g 2/ lo g g$ . Waarom verschillen ze?
c
Verander p = 3 in p = 7. Wat print het programma nu? Klopt de vuistregel van 70?
d
Pas het programma aan zodat het de halveringstijd zoekt bij een afname van 12 % per stap (tip: welke voorwaarde en welke groeifactor?).

5.12

Ledlampen die zwakker worden

Toepassen5Rekenen20 min

gedaan

Een led brandt niet door zoals een gloeilamp: hij wordt langzaam zwakker. Fabrikanten testen dat duizenden uren en passen er een exponentieel model aan (de norm TM-21). Een ledmodule voor de kweekruimte geeft na een test van 10 000 uur nog 96 % van zijn oorspronkelijke licht. 'L70' is de tijd tot er nog 70 % over is. De norm laat niet toe om verder te voorspellen dan zes keer de testduur.

a
Wat is de groeifactor per 1000 uur?
b
Bereken L70 volgens het model.
c
Welke L70 mag de fabrikant op de verpakking zetten? Waarom die regel?
d
De lamp brandt 16 uur per dag. Hoeveel jaar is de waarde op de verpakking?

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

5.13

Habitat: algen in het voedingsreservoir

Uitdagen6Habitat45 min

gedaan

Voor de keuze van het reservoir van de klimaatmodule vul je twee testreservoirs van 60 L met dezelfde voedingsoplossing: één doorzichtig, één lichtdicht. Een sensor meet elke dag de algen (cellen per mL). In het lichtdichte reservoir blijft het aantal de hele tijd tussen 1,5 · 10³ en 2,5 · 10³ per mL. In het doorzichtige: 1,9 · 10³; 3,8 · 10³; 8,2 · 10³; 1,43 · 10⁴; 3,07 · 10⁴; 5,4 · 10⁴; 1,16 · 10⁵; 1,96 · 10⁵; 3,30 · 10⁵; 4,41 · 10⁵; 5,85 · 10⁵ (dag 0 tot dag 10). De alarmgrens is 5 · 10⁵ per mL.

Metingen in het doorzichtige testreservoir, op een logaritmische as.

a
Bereken de verhouding van opeenvolgende dagen. In welke periode is de groei exponentieel? Wat gebeurt er daarna?
b
Bepaal uit het exponentiële deel de groeifactor per dag en de verdubbelingstijd.
c
Wanneer zou het alarm afgaan volgens het exponentiële model? Wanneer ging het echt af? Leg het verschil uit.
d
Het team overweegt drie maatregelen: het reservoir elke week reinigen, een deksel op het doorzichtige reservoir, of een lichtdicht reservoir. Beoordeel ze met je model.
e
Schrijf je advies voor het ontwerp van de klimaatmodule in drie zinnen, met één getal uit je analyse.

Zo wordt dit beoordeeld

Analyse	Verhoudingen berekend; exponentiële fase (dag 0 tot ongeveer 6) herkend en afvlakking benoemd.
Model	g ≈ 2 per dag uit meerdere punten (niet uit twee willekeurige), t2 ≈ 1 dag.
Voorspelling	Alarm volgens model na ongeveer 8 dagen; werkelijk tussen dag 8 en 9; verschil verklaard door begrenzing.
Advies	Maatregelen beoordeeld op groeifactor versus beginwaarde; onderbouwde keuze met een getal.

5.14

Hoe oud is dit hout?

Uitdagen6Rekenen20 min

gedaan

Koolstof-14 heeft een halveringstijd van 5730 jaar. Een labo meet in een staal van een houten werktuig dat nog 40 % van de oorspronkelijke fractie koolstof-14 aanwezig is. In een eikenhouten balk uit een oude schuur is dat 94 %.

a
Hoe oud is het werktuig?
b
Hoe oud is de balk? Waarom is die uitkomst relatief onzekerder?
c
Waarom gebruikt men koolstof-14 niet voor fossielen van dinosaurussen (ongeveer 70 miljoen jaar)? Reken.

5.15

Waarom vroeg ingrijpen telt

Uitdagen6Analyseren25 min

gedaan

Een nieuwe besmettelijke ziekte verspreidt zich in een regio. Zolang niemand ingrijpt, verdubbelt het aantal nieuwe besmettingen per dag ongeveer elke 4 dagen. Vandaag zijn het er 100 per dag. (Dit is een vereenvoudigd model; echte epidemiologen gebruiken rijkere modellen.)

a
Wat is de groeifactor per dag, en de procentuele groei per dag?
b
Hoeveel nieuwe besmettingen per dag zijn er over 4 weken als niets verandert?
c
Maatregelen die de groei stoppen, komen er vandaag of pas over een week. Hoeveel keer zoveel besmettingen per dag zijn er op het moment dat ze beginnen te werken?
d
Na de maatregelen daalt het aantal nieuwe besmettingen met 5 % per dag. Hoe lang duurt het om te halveren? Vergelijk met de verdubbelingstijd.
e
Leg in eigen woorden uit waarom een probleem met exponentiële groei in het begin onderschat wordt, en waarom afbouwen trager gaat dan opbouwen.

5.16

Een onbekende omgevingstemperatuur

Uitdagen7Analyseren30 min

gedaan

Een beker soep koelt af op een koele veranda; de temperatuur van de lucht daar is niet gemeten. Metingen om de 5 minuten: 80,0; 63,7; 51,5; 42,3; 35,5; 30,3; 26,5 °C (van 0 tot 30 min).

a
Bereken de verhouding van opeenvolgende temperaturen. Daalt de temperatuur zelf exponentieel?
b
Als het verschil met de omgeving exponentieel daalt, geldt voor drie metingen op gelijke afstand: $(T_{2} - T_{omg})^{2} = (T_{1} - T_{omg}) (T_{3} - T_{omg})$ . Toon waarom, en bereken $T_{omg}$ uit de metingen bij 0, 10 en 20 min.
c
Bereken $T - T_{omg}$ voor alle metingen en zet ze uit op een logaritmische as (of reken $lo g (T - T_{omg})$ uit). Is het een rechte?
d
Bepaal de halveringstijd van het verschil en schrijf het volledige model.

Hint

Bij exponentiële afname is

\frac{T _{2} - T _{omg}}{T _{1} - T _{omg}} = \frac{T _{3} - T _{omg}}{T _{2} - T _{omg}}

: dezelfde groeifactor per stap.

ZelfevaluatieKleur per doel: lukt al / bijna / nog niet

Ik kan een groeifactor omzetten in een procentuele groei of afname en omgekeerd, ook naar een andere tijdseenheid.
Ik kan een exponentieel model N = N0 · g^t opstellen uit een beschrijving of uit twee metingen, en het herkennen aan constante verhoudingen.
Ik kan met logaritmen een exponent terugrekenen en de formule voor de verdubbelingstijd t2 = log 2 / log g afleiden en gebruiken.
Ik kan bacteriegroei, afkoeling, het ontladen van een condensator en radioactief verval met een exponentieel model beschrijven, met de juiste beginwaarde en eindwaarde.
Ik kan uitleggen waarom exponentiële groei lineaire groei altijd inhaalt en waarom ze in het begin misleidt.
Ik kan waarden aflezen op een logaritmische schaal en er een groeifactor en een verdubbelingstijd uit bepalen.
Ik kan het geldigheidsgebied van een exponentieel model benoemen: waar groei begrensd wordt en waar de aannames niet meer gelden.

verandering per stap	groeifactor g
+4 %
−15 %
+100 %
	1,25
	0,92
	3

	verband	bewijs
A
B
C
D
E

worp	over (groep)	over (klas)	model (klas)