Werkboek · hoofdstuk 13Vakwerken en constructieanalyse
Driehoek na driehoek: de kracht in elke staaf, met de hand, als matrix en als eindige elementen
Je oefent eerst tellen, knopen, nulstaven, sneden en tekens. Daarna reken je de paneelsteun van hoofdstuk 5 met de hand na, schrijf je een invloedslijn met een programma, onderzoek je wind en asymmetrische sneeuw op het spant, bouw en test je een brug, zet je zonnepanelen op het dak (opdracht 13.11) en los je een eerste eindige-elementenmodel met de hand op. De uitdagingen gaan over een tussenwand met speling, de beste hoogte van een brug, kritische vormen en het menselijke model van de Forth Bridge.
Acht spanten, ongeveer om de 0,60 m, dragen het dak van de woonmodule. Elke staaf is een lat van 45 mm dik: genoeg, omdat ze alleen trek of druk krijgt.
Hoe lees je een opdracht?
Drie tredenOefenenToepassenUitdagen
Elk hoofdstuk bouwt op: eerst oefenen (één stap, direct toepassen), dan toepassen (meerdere stappen, in een context), dan uitdagen (transfer, open problemen, andere leerlijnen erbij).
De StemExpert-schaal5
Eén moeilijkheidsschaal van 1 tot 9 over de drie niveaus heen: Fundamental loopt van 1 tot 4, Intermediate van 3 tot 7, Expert van 6 tot 9. Zo zie je dat de uitdaging van het ene niveau de oefening van het volgende is.
Oefenen
Oefenen
één stap, direct toepassen
13.1
Tellen
Oefenen6Begrijpen15 min
Beoordeel elk vakwerk met m + r = 2k en met je gezond verstand.
a
(a) Een driehoek op twee scharnieren. (b) Een vierkant met één diagonaal, op een scharnier en een rol. (c) Hetzelfde, maar de rol staat op een helling, zodat de lijn van haar reactie precies door het scharnier gaat.
b
(d) De Pratt-brug van het handboek zonder de verticaal U3L3. (e) Het Fink-spant met een extra knoop H midden in de onderrand en een verticaal van de nok naar H. (f) Het Fink-spant op twee scharnieren.
13.2
Een muurkraan
Oefenen6Rekenen15 min
In de technische ruimte hangt een kleine muurkraan om de filters van de waterzuivering te wisselen: een horizontale arm van 1,20 m, scharnierend aan de muur, en een schuine schoor van het uiteinde naar een punt 0,90 m lager aan de muur. Aan het uiteinde hangt 2,0 kN.
a
Teken de knoop aan het uiteinde vrij en bereken de krachten in arm en schoor. Welke is trek, welke druk?
b
Wat gebeurt er met de krachten als de schoor lager aan de muur komt (1,50 m)? En hoger (0,30 m)?
13.3
Nulstaven zoeken
Oefenen6Begrijpen15 min
Gebruik de twee regels van het handboek.
a
Welke staven van de Pratt-brug van het handboek zijn nulstaven als er alleen een last in L2 hangt? Werk van de rechterkant naar het midden.
b
Waarom mag je die staven toch niet weglaten? Geef twee redenen.
13.4
Eén staaf met een snede
Oefenen6Rekenen20 min
De Howe-brug van het handboek (zelfde maten en lasten als de Pratt, maar de diagonalen stijgen naar het midden).
a
Snij door het tweede vak (tussen x = 2 en 4 m). Welke drie staven snij je?
b
Bereken de kracht in de diagonaal en in de bovenrand van dat vak. Vergelijk met de Pratt.
13.5
Trek of druk?
Oefenen6Begrijpen15 min
Voorspel zonder te rekenen, en verklaar met een van de redeneringen van het handboek.
a
(a) de bovenrand van een balkon dat als vakwerk uit een gevel steekt; (b) de onderrand van het Fink-spant als er een zware windzuiging op het dak werkt; (c) de kabel van een tuibrug.
b
(d) Een ontwerper wil de onderrand van het spant vervangen door een staalkabel. Is dat verstandig? (e) En de bovenrand?
13.6
Van staafkracht naar profiel
Oefenen6Rekenen20 min
De onderrand van de Pratt-brug draagt in het midden 53,3 kN trek; de bovenrand 60 kN druk over een vaklengte van 2,0 m (rekenwaarden). Staal S235.
a
Welke doorsnede heeft de onderrand minstens nodig?
b
Een koker 60 × 60 × 4 mm (met scherpe hoeken gerekend) als bovenrand: is hij veilig tegen knik (Lk = 2,0 m, knikkromme c)? En een volle vierkante staaf met dezelfde oppervlakte?
Toepassen
Toepassen
meerdere stappen, in een context
13.7
De paneelsteun met de hand
Toepassen7Rekenen30 min
De steun van het zonnepaneel uit hoofdstuk 5: knopen A (0; 0), B (−0,50; 0), C (0; 0,20), D (−0,50; 1,066) m; staven AC, CD, BD, AB, BC; scharnier in A, rol in B. Bij storm werkt in C en in D elk (214,3; 1,1) N (wind en gewicht samen).
a
Met welke knoop begin je? Waarom?
b
Bereken knoop na knoop alle staafkrachten (zonder eerst de reacties).
c
Bereken de reacties en vergelijk alles met de uitvoer van hoofdstuk 5.
13.8
Een invloedslijn
Toepassen7Programmeren30 min
Gebruik de functie vakwerk() uit vakwerk.py met de Pratt-brug van het handboek (knopen, staven en steunen zoals in de figuur).
Invloedslijnen voor een last die over de onderknopen rijdt (de uitkomst van het programma).
a
Laat één last van 10 kN van L1 naar L5 rijden en druk telkens de kracht in diagonaal U2L3 en in bovenrand U2U3 af.
b
Teken de invloedslijnen. Wanneer is de diagonaal op trek, wanneer op druk? Waar moet een vrachtwagen staan voor de grootste kracht in U2U3?
c
Waarom is dat belangrijk voor een diagonaal die als slanke trekstaaf ontworpen is?
13.9
Wind en asymmetrische sneeuw op het spant
Toepassen7Analyseren30 min
Een storm geeft zuiging op beide dakvlakken. Rekenwaarde (vereenvoudigd, als verticale last): 0,80kN/m2 dakvlak omhoog. In deze combinatie telt het eigengewicht met factor 1,0 (het is gunstig) en de wind met 1,5; zonder sneeuw.
a
Bereken de netto lijnlast op de bovenrand (kN per m horizontaal) en de knooplasten.
b
Bereken de staafkrachten met vakwerk.py. Welke staven wisselen van teken tegenover het sneeuwgeval?
c
Wat betekent dat voor de onderrand (knik!) en voor de opleggingen?
13.10
Labo: een brug uit ijsstokjes
Toepassen7Labo100 min
Bouw in groep een vakwerkbrug van 50 cm overspanning uit hoogstens 60 ijsstokjes en houtlijm. Ze wordt in het midden belast met een emmer die je langzaam met zand vult, tot ze bezwijkt.
a
Ontwerp de brug (Pratt, Howe of Warren) en bereken met vakwerk.py de staafkracht per newton last in elke staaf.
b
Meet vooraf: hoeveel trekkracht houdt één stokje (lijmnaad) en hoeveel drukkracht voor het knikt? Voorspel welke staaf eerst bezwijkt en bij welke last.
staaf
kracht per N last
sterkte (N)
bezwijklast (N)
c
Test, noteer de bezwijklast en welke staaf of verbinding bezweek. Vergelijk met de voorspelling en verklaar de verschillen.
Zo wordt dit beoordeeld
Ontwerp
Statisch bepaald vakwerk, schets met maten, krachten per N last berekend.
Voorspelling
Sterkte van trek, druk (knik) en verbinding apart gemeten; zwakste schakel voorspeld.
Uitvoering
Nette knopen, rechte staven, gelijkmatige belasting, veilig testen (bril, geen voeten onder de emmer).
Reflectie
Verschil met de voorspelling verklaard (lijmnaden, knopen die geen scharnier zijn, scheve staven, lasten buiten de knopen).
13.11
Habitat: zonnepanelen op het zuidvlak
Toepassen7Habitat50 min
Het zuidvlak van het dak (in het model het rechtervlak, knopen C, E, B) kan zonnepanelen dragen. Met montagerails wegen ze 0,15 kN/m² dakvlak (rekenwaarde). Het team wil weten of de spanten dat zonder aanpassing kunnen.
a
Bereken de extra lijnlast op het rechtervlak (rekenwaarde met 1,35) en de nieuwe knooplasten.
b
Bereken de staafkrachten met vakwerk.py (sneeuw symmetrisch) en de nieuwe benutting van de bovenrand EB (druk en buiging).
c
Welke andere vragen moet het team nog stellen voor de panelen op het dak mogen? Denk aan wind, sneeuw en bevestiging.
d
Schrijf een advies van 4 à 6 regels voor het dossier.
Zo wordt dit beoordeeld
Lasten
Extra last per m horizontaal met 1/cos 30° en 1,35; knooplasten correct verdeeld.
Berekening
Staafkrachten en de benutting van de bovenrand met druk en buiging.
Kritische vragen
Windzuiging op de panelen (optillen), sneeuw die van de panelen glijdt of zich ophoopt, bevestiging in de spanten, niet in de panlatten.
Advies
Duidelijk besluit met getallen en de voorwaarden.
13.12
Een staaf tussen twee muren
Toepassen7Rekenen25 min
Een staaf bestaat uit een stuk staal (100 mm², 600 mm, E = 210 GPa) en een stuk aluminium (100 mm², 400 mm, E = 70 GPa), na elkaar tussen twee vaste muren. Op de verbinding werkt een kracht van 5,0 kN langs de staaf.
a
Waarom kan je de reacties niet met evenwicht alleen vinden?
b
Stel het model op met twee elementen en drie knopen (twee vast). Bereken de verplaatsing van de verbinding en de twee reacties.
c
Welke muur krijgt het meest? Leg uit met de stijfheden.
Uitdagen
Uitdagen
transfer, open problemen, leerlijnen combineren
13.13
Een tussenwand met speling
Uitdagen9Programmeren45 min
Onder knoop F staat een tussenwand. De bovenkant van de wand komt tot een speling s onder de onderrand. Zolang F minder zakt dan s, draagt de wand niets; daarna wel. Gebruik de functie los() uit fem_vakwerk.py.
a
Hoeveel zakt F bij de volle rekenlast zonder wand? Waarom is dat de maatstaf voor de speling?
b
Schrijf een programma dat in twee stappen rekent: eerst de last opvoeren tot F de wand raakt, daarna de rest van de last met de wand als steun. Bereken de kracht op de wand en in FC voor een speling van 0; 0,5; 1,0 en 1,5 mm.
c
Welke speling adviseer je, rekening houdend met kruip van het hout, slip in de nagelplaten en het zetten van de wand?
Zo wordt dit beoordeeld
Model
Twee lineaire stappen correct gekoppeld (contact op het ogenblik dat F de speling heeft doorlopen).
Programma
Resultaten voor vier spelingen; teken van FC gevolgd.
Interpretatie
Speling groter dan de totale doorbuiging op lange termijn (kruip ×1,6, slip, zetting).
Advies
Concreet getal (bv. 10 à 15 mm) met een beweeglijke bevestiging van de wand aan het spant.
13.14
Ontwerp: de beste hoogte voor een vakwerkbrug
Uitdagen8Ontwerpen45 min
Hoe hoger een Pratt-brug, hoe kleiner de randkrachten (M/h), maar hoe langer de verticalen en diagonalen. Als maat voor het staal neem je Σ |S| · L over alle staven (evenredig met het volume als elke staaf dezelfde toelaatbare spanning heeft). Brug: 12 m, 6 vakken, 10 kN in elke onderknoop.
Σ |S| · L tegenover de hoogte, berekend met vakwerk.py voor 61 hoogtes.
a
Leg uit waarom de kromme een minimum heeft.
b
Lees de beste hoogte af. Welke verhouding h/L is dat?
c
Waarom bouwt men in werkelijkheid vaak lager (h/L ≈ 1/8 à 1/10)? Noem drie redenen.
d
Hoe zou het optimum veranderen als drukstaven ook op knik gecontroleerd worden?
Zo wordt dit beoordeeld
Uitleg
Randen ∝ 1/h, vullingsstaven ∝ lengte; hun som heeft een minimum.
Aflezing
h en h/L correct.
Werkelijkheid
Knik van lange staven, hoogte onder de rijbaan, wind, esthetiek, doorbuiging, transport.
Knik
Lange drukstaven vragen meer materiaal: het optimum schuift naar lager.
13.15
Kritische vormen en een bijna platte driehoek
Uitdagen8Analyseren35 min
Twee staven van 1,0 m lang (horizontale projectie) hangen tussen twee scharnieren aan de muren en komen samen in een knoop in het midden, een hoogte h onder de lijn tussen de scharnieren (een 'hangmat'). In de knoop hangt 2,0 kN.
a
Bereken de staafkracht voor h = 0,5; 0,2; 0,1; 0,05 en 0,01 m.
h (m)
S (kN)
b
Wat gebeurt er bij h = 0? Hoe ziet de matrix A van dat vakwerk eruit, en wat is haar determinant?
c
Waarom geeft een programma bij een bijna kritische vorm wel een antwoord, maar een gevaarlijk antwoord? Denk aan de conditie van een matrix (hoofdstuk 5).
13.16
Onderzoek: het menselijke model van de Forth Bridge
Uitdagen8Onderzoeken60 min
Bouw het model van Baker na (figuur van het verhaal): twee leerlingen op een stoel, armen gestrekt naar een bezemsteel die schuin van de stoelpoot naar hun hand loopt; aan elke steel hangt een touw naar een plank in het midden, waarop een zak van 30 kg ligt. Afmetingen van één kant: hand 0,80 m voor de schouder, 0,60 m boven het punt waar de steel de stoel raakt. Een bagageweger in het touw tussen hand en schouder meet de armkracht.
a
Teken de knoop 'hand' vrij en voorspel de kracht in de arm en in de steel.
b
Meet de armkracht en vergelijk. Wat voel je in je armen, je rug en de stoel?
c
Waarom zitten er in Bakers model gewichten aan de buitenkant? Wat gebeurt er zonder?
Zo wordt dit beoordeeld
Model
Knoop 'hand' met drie krachten: last (halve zak), arm (trek, horizontaal), steel (druk, schuin).
Meting
Veilig opgezet (lage hoogte, iemand die de plank opvangt), armkracht gemeten en vergeleken.
Verklaring
Afwijkingen verklaard: de arm is niet precies horizontaal, de steel steunt niet in een scharnier, de mensen leunen.
Ankers
Momentenevenwicht om de stoel: zonder tegengewicht kantelen de mensen voorover.
ZelfevaluatieKleur per doel: lukt al / bijna / nog niet
Ik kan nagaan of een vakwerk statisch bepaald is (m + r = 2k en een regelmatige matrix) en een mechanisme, een overtallig vakwerk en een kritische vorm herkennen.
Ik kan staafkrachten berekenen met de knooppuntenmethode, nulstaven herkennen en het resultaat controleren.
Ik kan met de snedemethode de kracht in één staaf berekenen en ze interpreteren als M/h en V/sin θ.
Ik kan zonder te rekenen voorspellen welke staven trek en welke druk dragen, en dat vertalen naar de vorm van de staven.
Ik kan een vakwerk algemeen oplossen met een programma en een dakspant doorrekenen met lasten volgens de Eurocode, tot en met de keuze van de doorsneden.
Ik kan het idee van de eindige-elementenmethode uitleggen (element, assembleren, randvoorwaarden, oplossen, nabewerken) en toepassen op een staaf en een vakwerk, ook als dat statisch onbepaald is.
