Oplossingen · hoofdstuk 13Vakwerken en constructieanalyse

(a) m + r = 3 + 4 = 7 > 6: één keer statisch onbepaald (uitwendig); de horizontale reacties hangen af van de stijfheid. (b) 5 + 3 = 8 = 2 · 4: statisch bepaald. (c) Telt ook 8, maar alle drie de reacties gaan door één punt (het scharnier): het vakwerk kan een klein beetje om het scharnier draaien. Een kritische vorm.

(d) m = 20, r = 3, k = 12: 23 < 24, een mechanisme. De bovenknoop U3 heeft dan alleen U2U3 en U3U4, die op één lijn liggen: hij kan op en neer bewegen. Een nulstaaf is dus niet overbodig. (e) Een knoop meer en twee staven meer (de verticaal, en de onderrand FG wordt FH + HG): m = 13, k = 8, r = 3, dus 16 = 16: bepaald. Zonder last in H is de verticaal een nulstaaf (twee staven op één lijn en een derde). (f) 11 + 4 = 15 > 14: één keer onbepaald. In de praktijk is dat bijna het model met een rol, omdat de onderrand de horizontale kracht zelf opneemt.

Schoor van het uiteinde naar de muur: $\sin \theta =0,9/1,5=0,6$. Verticaal: $S_{\text{schoor}}\cdot 0,6=2,0$ (de schoor duwt omhoog), dus $S_{\text{schoor}}=-3,33\mathrm{kN}$ (druk). Horizontaal: de arm trekt het uiteinde naar de muur met $S_{\text{arm}}=2,67\mathrm{kN}$ (trek).

Lager bevestigd (1,50 m onder de arm) wordt de schoor steiler: $S_{\text{arm}}=2,0\cdot 1,2/1,5=1,6\mathrm{kN}$, schoor $2,0\cdot \sqrt{1,2^2+1,5^2}/1,5=2,56\mathrm{kN}$. Op 0,30 m onder de arm wordt ze bijna horizontaal: arm $8,0\mathrm{kN}$, schoor $2,0\cdot \sqrt{1,2^2+0,3^2}/0,3=8,25\mathrm{kN}$. Hoe platter de driehoek, hoe groter de krachten.

De regels geven meteen twee nulstaven: in de onbelaste knoop L5 liggen L4L5 en L5L6 op één lijn, dus U5L5 = 0; in de onbelaste knoop U3 liggen U2U3 en U3U4 op één lijn, dus U3L3 = 0. Knoop na knoop verder (of met vakwerk.py) vind je voor een last in L2 als nulstaven: U1L1, U3L3, U5L5. In L1 hangt dan niets meer aan U1L1, en die is ook nul.

(1) Bij een andere belasting (een last in L1, L3 of L5) dragen ze wel. (2) Ze houden andere staven vast: zonder U3L3 kan U3 op en neer bewegen (een mechanisme), en de bovenrand U2U4 zou een twee keer zo grote kniklengte krijgen.

Bovenrand U1U2, diagonaal L1U2 en onderrand L1L2.

Dwarskracht in vak 2: $25-10=15\mathrm{kN}$. De diagonaal L1U2 stijgt naar het midden; om de dwarskracht naar de linkersteun te brengen, duwt ze: $S=-15/0,6=-25,0\mathrm{kN}$ (druk; Pratt: +25 kN trek). Bovenrand: momenten om L1 (waar diagonaal en onderrand samenkomen): $M=25\cdot 2=50\mathrm{kN}\mathrm{m}$, dus $S=-50/1,5=-33,3\mathrm{kN}$. In de Pratt nam je momenten om L2: −53,3 kN. De randen van beide bruggen dragen hetzelfde moment, alleen op een iets andere plaats.

(a) Trek: een uitkraging buigt omgekeerd, boven trek en onder druk. (b) Druk: zuiging tilt het dak op, alsof de zwaartekracht omkeert; dan wisselen alle tekens (opdracht 13.9). (c) Trek: een kabel kan niets anders.

(d) Niet zonder meer: bij windzuiging komt de onderrand op druk, en een kabel kan dat niet; hij zou slap hangen en het spant zou kunnen openklappen. Alleen met een eigengewicht dat altijd groter is dan de zuiging, of met extra verbanden. (e) Nee: de bovenrand is bijna altijd op druk en moet buigstijf zijn.

$A\ge 53300/235=227\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$: bijvoorbeeld een strip van 60 × 5 mm (300 mm²) of twee kleine hoekprofielen.

Koker: $A=60^2-52^2=896\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$, $I=(60^4-52^4)/12=47,1\mathrm{c}{\mathrm{m}}^4$. Euler: $F_{\text{k}}=244\mathrm{kN}$; $A{f}_{\text{y}}=211\mathrm{kN}$; $\bar{\lambda }=0,93$, knikkromme c: draagvermogen $123\mathrm{kN}$, ruim boven 60 kN. Volle staaf van $\sqrt{896}=29,9\mathrm{mm}$: $I=29,9^4/12=6,69\mathrm{c}{\mathrm{m}}^4$, $F_{\text{k}}=35\mathrm{kN}$: minder dan 60 kN, ze knikt al volgens Euler. Dezelfde hoeveelheid staal, als koker 7,0 keer stijver.

Knoop D: er komen maar twee staven samen (CD en BD), en de last is bekend. Zonder reacties te kennen, kan je daar beginnen.

D: BD is verticaal, CD heeft richting van C naar D $(-0,500;0,866)$. $\sum F_x$ in D: de kracht van CD op D is $-S_{\text{CD}}{\hat{e}}_{\text{CD}}$; $-S_{\text{CD}}\cdot (-0,500)+214,3=0$ geeft $S_{\text{CD}}=-428,7\mathrm{N}$. $\sum F_y$: $-S_{\text{BD}}-S_{\text{CD}}\cdot 0,866+(1,1)=0$ geeft $S_{\text{BD}}=372,4\mathrm{N}$. Dan C (drie staven, twee onbekend: AC en BC): $S_{\text{BC}}=461,7$, $S_{\text{AC}}=-541,6\mathrm{N}$. Tot slot B of A: $S_{\text{AB}}=-428,7\mathrm{N}$.

Reacties: $A_x=-429$, $A_y=542$, $B_y=-544\mathrm{N}$, zoals in hoofdstuk 5 (daar: −429, 542 en −544 N): de achterste voet moet omlaag gehouden worden.

Bijvoorbeeld:

for x_last in range(1, 6):                    # een last van 10 kN rijdt over de knopen L1 ... L5
    krachten, reacties = vakwerk(knopen, staven, steunen, {f"L{x_last}": (0, -10.0)})
    print(f"last in L{x_last}: diagonaal U2L3 {krachten[staven.index(('U2', 'L3'))]:6.2f} kN, "
          f"bovenrand U2U3 {krachten[staven.index(('U2', 'U3'))]:6.2f} kN")

Echte uitvoer:

last in L1: diagonaal U2L3  -2.78 kN, bovenrand U2U3  -6.67 kN
last in L2: diagonaal U2L3  -5.56 kN, bovenrand U2U3 -13.33 kN
last in L3: diagonaal U2L3   8.33 kN, bovenrand U2U3 -20.00 kN
last in L4: diagonaal U2L3   5.56 kN, bovenrand U2U3 -13.33 kN
last in L5: diagonaal U2L3   2.78 kN, bovenrand U2U3  -6.67 kN

De diagonaal U2L3 is op trek als de last rechts van het derde vak staat (L3 tot L5) en op druk als hij links staat (L1, L2): de dwarskracht in dat vak wisselt van teken. De bovenrand is altijd op druk, het meest met de last in het midden (L3): daar is het moment het grootst.

Een slanke trekstaaf (een strip, een stang) kan geen druk dragen: ze zou knikken zodra een zware last aan de verkeerde kant staat. Daarom krijgen de middelste vakken van spoorbruggen vaak gekruiste diagonalen of diagonalen die ook druk aankunnen.

Zuiging: $0,80\cdot 1,155\cdot 0,60=0,554kN/m$ omhoog; eigengewicht $0,416$ omlaag: netto $1,0\cdot 0,416-1,5\cdot 0,554=-0,416kN/m$ (min: omhoog). Knopen D, C, E: $1,5\cdot -0,416=-0,624\mathrm{kN}$; F en G blijven $2\cdot 0,18=0,36\mathrm{kN}$ omlaag.

Krachten (kN): AD +1,15; DC +0,84; CE +0,84; EB +1,15; AF −1,00; FG −0,66; GB −1,00; DF +0,54; FC −0,12; CG −0,12; GE +0,54. Bovenrand wordt trek, onderrand druk, de korte diagonalen trek en de lange licht druk: alle tekens wisselen, want de netto last is omhoog gericht (de zuiging wint het van het eigengewicht).

De onderrand is maar 45 mm breed en wordt nu gedrukt over vakken van 2,0 m: zonder zijdelingse steun zou ze uit het vlak knikken. Het plafond (vastgeschroefd) of een langsregel houdt ze vast. De opleggingen moeten het spant naar beneden houden (0,71 kN omhoog per oplegging): verankeren met stalen hoeken of stormankers. Daarom is 'het dak blijft liggen door zijn gewicht' een gevaarlijke aanname.

Voor een Warren met 4 vakken van 12,5 cm en 10 cm hoog: de randkracht in het midden is ongeveer M/h = (F/2 · 25 cm)/10 cm = 1,25 F; de schuine staven (F/2)/sin θ ≈ 0,6 F (per newton last).

Typisch houdt een lijmnaad met een kleine overlapping enkele tientallen newton op trek, een stokje van 12 cm knikt bij enkele tientallen newton (π²EI/L² met E ±10 GPa, 2 × 10 mm doorsnede). De druk in de bovenrand beslist meestal: dubbele stokjes (een grotere I) of een kortere vaklengte helpen het meest.

Meestal bezwijkt een verbinding of knikt de bovenrand. Bruggen die hoger zijn, bezwijken later (M/h kleiner). Verschillen: knopen zijn stijf en excentrisch (momenten), stokjes zijn niet recht, de last grijpt niet precies in een knoop aan.

Eén evenwichtsvergelijking (langs de staaf) en twee onbekende reacties: statisch onbepaald. Hoe de kracht zich verdeelt, hangt af van hoe stijf elk stuk is.

$k_1=210000\cdot 100/600=35000N/mm$, $k_2=70000\cdot 100/400=17500N/mm$. Assembleren: in de middelste knoop $(k_1+k_2)u=F$; de buitenknopen zitten vast. $u=5000/52500=0,0952\mathrm{mm}$. Reacties: $k_{1}u=3333\mathrm{N}$ (het staal wordt uitgerekt) en $k_{2}u=1667\mathrm{N}$ (het aluminium samengedrukt).

De muur aan de kant van het staal: het stuk staal is 2,0 keer stijver (hoger E, al is het langer). De stijfste weg trekt de meeste kracht: dat is de kern van elke statisch onbepaalde constructie.

Bij de rekenlast zakt F 1,22 mm (karakteristiek 0,88 mm). Is de speling groter dan de zakking bij de ongunstigste last, dan raakt het spant de wand nooit en blijft het een statisch bepaald vakwerk.

Bijvoorbeeld:

# de tussenwand staat met speling onder F: pas als F meer zakt dan de speling, draagt de wand mee
for speling_mm in (0.0, 0.5, 1.0, 1.5):
    # stap 1: zonder wand, de last opvoeren tot F de wand raakt (lineair: fractie t van de volle last)
    u1, s1, R1 = los(steunen, lasten_vol)
    zak_F = -1000 * u1[2 * idx["F"] + 1]
    t = min(1.0, speling_mm / zak_F)
    # stap 2: de rest van de last met de wand als steun
    u2, s2, R2 = los(steunen + [2 * idx["F"] + 1], {k: (fx * (1 - t), fy * (1 - t)) for k, (fx, fy) in lasten_vol.items()})
    s = t * s1 + s2
    print(f"speling {speling_mm:.1f} mm: wand draagt {R2[2 * idx['F'] + 1]:5.2f} kN, "
          f"FC {s[staven.index(('F', 'C'))]:5.2f} kN, DC {s[staven.index(('D', 'C'))]:5.2f} kN")

Echte uitvoer:

speling 0.0 mm: wand draagt  3.74 kN, FC -2.56 kN, DC  0.56 kN
speling 0.5 mm: wand draagt  2.21 kN, FC -0.79 kN, DC -1.48 kN
speling 1.0 mm: wand draagt  0.67 kN, FC  0.98 kN, DC -3.53 kN
speling 1.5 mm: wand draagt  0.00 kN, FC  1.76 kN, DC -4.43 kN

Het model rekent zonder slip en kruip; in werkelijkheid zakt een spant na jaren makkelijk enkele millimeters (kruip ×1,6, slip van de nagelplaten, krimp). Een speling van ongeveer 10 mm, met een beweeglijke hoek die de wand zijdelings vasthoudt maar verticaal laat schuiven, is een veilige keuze. Een speling van 1 mm werkt op papier en faalt in de praktijk.

De randen dragen M/h: hun bijdrage daalt als 1/h. De verticalen en diagonalen worden langer en de diagonalen komen steiler (hun kracht daalt, hun lengte stijgt): hun bijdrage stijgt ongeveer lineair met h. Een dalende plus een stijgende term geeft een minimum (hoofdstuk 2).

Het minimum ligt bij $h\approx 3,85\mathrm{m}$, dus $h/L\approx 1/3,1$. Het is vlak: op 3,0 m kost de brug maar 3 % meer, op 1,5 m (L/8) wel 47 %.

Lange drukstaven knikken en vragen dus meer materiaal dan |S| · L doet vermoeden; een hoge brug vangt meer wind; hoge diagonalen bij een laag vak geven lastige knopen; en bij een brug met de rijweg bovenop telt de bouwhoogte onder de weg. Doorbuiging en stijfheid pleiten dan weer voor hoog.

Voor drukstaven is de benodigde doorsnede groter naarmate ze langer zijn (knik): dat straft de langere vullingsstaven en de bovenrand niet evenveel. Het optimum verschuift meestal naar een iets lagere brug met kortere drukstaven.

S = F/(2 sin θ) met tan θ = h/1,0: h = 0,50 m: 2,2 kN; h = 0,20 m: 5,1 kN; h = 0,10 m: 10,0 kN; h = 0,05 m: 20,0 kN; h = 0,01 m: 100,0 kN.

Bij $h=0$ liggen beide staven horizontaal: geen enkele staafkracht heeft een verticale component, en de verticale evenwichtsvergelijking van de knoop luidt $0=F$. De rij van $A$ voor die richting bevat alleen nullen: $\det A=0$, een kritische vorm.

Bij een bijna kritische vorm is de matrix slecht geconditioneerd: een kleine fout in de geometrie of de last (een millimeter doorzakken, een afgeronde hoek) geeft een grote fout in de krachten, en de krachten zelf zijn enorm. In werkelijkheid rekt de staaf dan, zakt de knoop en vindt het evenwicht een hoek met eindige krachten: dat is een kabel. Een programma dat alleen evenwicht rekent in de onvervormde vorm, mist dat.

Halve last $F=30\cdot 9,81/2=147\mathrm{N}$. In de hand: steel (druk) schuin omhoog met richting $(0,80;0,60)$ tegenover de voet, arm (trek) horizontaal naar de schouder. Verticaal: $S_{\text{steel}}\cdot 0,6=F$, dus $S_{\text{steel}}=245\mathrm{N}$ druk; horizontaal: $S_{\text{arm}}=S_{\text{steel}}\cdot 0,8=196\mathrm{N}$ trek.

De bagageweger geeft ongeveer die 196 N (20 kgf) als de arm horizontaal is. Je voelt de trek in je armen en schouders, en een druk van de steel in de stoel; je rug moet het moment van de arm opvangen, en de stoel wordt voorover geduwd.

De twee helften duwen elk een moment voorover om hun stoel (de last hangt voor de stoel). Een tegengewicht aan de buitenkant (het anker) geeft een tegengesteld moment, zodat de stoel niet kantelt en niet op zijn voorpoten alleen staat. Bij de echte brug zijn het de ankerarmen met ballast aan de landzijde.