StemExpert

Expert · Werkboek · 1. Afgeleiden: verandering meten
StemExpert · Brecht Corbeel · schoolium.me

EExpert · deel E1 · Wiskundige gereedschapskist

Werkboek · hoofdstuk 1Afgeleiden: verandering meten

Van de helling tussen twee meetpunten naar de snelheid van verandering op één ogenblik

Je oefent eerst de betekenis en de rekenregels, past ze dan toe op het kasdak, condensatoren, energiemeters en meetreeksen, en eindigt met bewijzen, een onderzoek naar ruis en een ontwerp voor een voorspellend dakraam. Voor de code-opdrachten heb je Python nodig. Opdracht 1.12 is een bouwsteen voor het brein van het station.

5× oefenen8× toepassen4× uitdagen± 402 min0/17 gedaan

WWiskundig modelleren KKrachten, beweging en constructies

Om acht uur is de meetkas nog koud; twee uur later warmt ze vijf graden per uur op.

Hoe lees je een opdracht?

Drie tredenOefenen Toepassen Uitdagen

Elk hoofdstuk bouwt op: eerst oefenen (één stap, direct toepassen), dan toepassen (meerdere stappen, in een context), dan uitdagen (transfer, open problemen, andere leerlijnen erbij).

De StemExpert-schaal5

Eén moeilijkheidsschaal van 1 tot 9 over de drie niveaus heen: Fundamental loopt van 1 tot 4, Intermediate van 3 tot 7, Expert van 6 tot 9. Zo zie je dat de uitdaging van het ene niveau de oefening van het volgende is.

Oefenen

één stap, direct toepassen

1.1

Gemiddelde veranderingen, met eenheid

Oefenen6Rekenen15 min

gedaan

Bereken telkens de gemiddelde veranderingssnelheid, met eenheid, en zeg in één zin wat het teken betekent.

a
Het reservoir van de meetkas bevat maandag om 8:00 27,4 L en donderdag om 8:00 22,0 L. Geef het resultaat in L/dag en in mL/h.
b
De batterij van de module (3,07 kWh) staat op een donkere winteravond om 16:00 op 74 % en om 20:00 op 48 %. Geef het resultaat in %/h en in W.
c
De kas is om 10:00 20,5 °C en om 11:00 25,0 °C. Geef het resultaat in °C/h en in °C/min.
d
Een NTC heeft bij 20 °C 12,54 kΩ en bij 30 °C 8,04 kΩ. Geef het resultaat in kΩ/K.

1.2

Afleiden met de rekenregels

Oefenen6Rekenen25 min

gedaan

Leid af naar de veranderlijke die in de functie staat. Vereenvoudig waar het kan.

a
$f (x) = 4 x^{3} - 2 x + 7$ en $g (t) = \frac{5}{t ^{2}}$
b
$h (x) = x (x + 1)$
c
$u (t) = 12 e^{- t /4}$ en $y (t) = sin (100 π t)$
d
$R (T) = R_{0} (1 + α T)$ met constanten $R_{0}$ en $α$
e
$q (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}$
f
$P (R) = \frac{U ^{2} R}{( R + r ) ^{2}}$ met constanten $U$ en $r$

1.3

Functie, helling en bolling

Oefenen6Begrijpen15 min

gedaan

Lees de grafiek. Je hoeft geen formule te kennen.

De grafiek van een functie f met vijf gemarkeerde punten A tot E.

a
Vul voor elk punt het teken van f′ en van f″ in (+, − of 0).
punt f′ f″
b
In welk punt daalt de functie het snelst? Hoe zie je dat, en wat geldt daar voor f″?
c
Schets onder de grafiek het verloop van f′ (alleen de vorm: waar positief, negatief, nul, maximaal of minimaal).

1.4

Een raaklijn opstellen

Oefenen6Rekenen12 min

gedaan

Een steen valt vanuit stilstand:

s (t) = 4, 905 t^{2}

(

s

in m,

t

in s).

a
Bereken de valsnelheid op t = 1,5 s en stel de vergelijking van de raaklijn aan de (s,t)-grafiek op in dat punt.
b
Waar snijdt die raaklijn de t-as? Wat betekent de raaklijn fysisch?

1.5

Eenheden van afgeleiden

Oefenen6Begrijpen10 min

gedaan

Een afgeleide heeft altijd een eenheid: die van de teller gedeeld door die van de noemer.

a
Geef de SI-eenheid (of een gebruikelijke) en een naam: $d E / d t$ (E in J), $d q / d t$ (q in C), $d V / d t$ (V in L, t in min), $d^{2} x / d t^{2}$ , $d p / d h$ (druk tegenover diepte in water), $d P / d U$ (P in W, U in V).

Toepassen

meerdere stappen, in een context

1.6

De afgeleide van een wortel, uit de definitie

Toepassen7Analyseren15 min

gedaan

De machtsregel werd hier alleen voor natuurlijke

n

bewezen. Controleer ze voor

n = \frac{1}{2}

a
Bereken $lim_{h \to 0} \frac{x + h - x}{h}$ voor $x > 0$ . Tip: vermenigvuldig teller en noemer met $x + h + x$ .
b
Waarom bestaat de afgeleide niet in $x = 0$ ? Wat betekent dat voor de grafiek?

1.7

Het kasdak met een kubisch profiel

Toepassen7Rekenen20 min

gedaan

Een eenvoudiger glad profiel voor het schuifpaneel is

x (t) = s (3 u^{2} - 2 u^{3})

met

u = t / T

s = 0, 60 m

T = 7, 0 s

a
Controleer dat x(0) = 0, x(T) = s en dat de snelheid in beide uiteinden nul is.
b
Bereken v(t) en a(t), de topsnelheid en de versnelling bij de start.
c
Waarom verkiest een ontwerper toch het vijfdegraadsprofiel uit het handboek?

1.8

Laadstroom van een condensator

Toepassen7Rekenen15 min

gedaan

In hoofdstuk 5 van Intermediate laadde een condensator van 470 µF via 22 kΩ op tot 5,0 V:

u (t) = 5, 0 (1 - e^{- t / τ})

a
Bereken τ en leid de stroom i(t) = C du/dt af. Hoe groot is i(0) en i(τ)?
b
Na hoeveel seconden is de stroom kleiner dan 1 % van de beginwaarde?

1.9

Van meterstand naar vermogen

Toepassen7Analyseren20 min

gedaan

De energiemeter van de klimaatmodule wordt elk kwartier uitgelezen op een zomerochtend.

tijd	5:30	5:45	6:00	6:15	6:30	6:45	7:00	7:15
meterstand (Wh)	18 342,0	18 344,5	18 347,0	18 399,0	18 449,0	18 499,0	18 549,0	18 601,0

a
Bereken het gemiddelde vermogen in elk kwartier (in W).
kwartier P (W)
b
Wat gebeurde er om 6:00? En waarom zijn het kwartier van 6:00 en dat van 7:00 2 Wh 'zwaarder'? Gebruik het budget van hoofdstuk 20 van Intermediate.
c
Bereken de centrale differentie in 6:00 (van 5:45 tot 6:15). Waarom is dat hier een slechte schatting van het vermogen om 6:00?

1.10

Snelheid uit gemeten plaatsen

Toepassen7Rekenen20 min

gedaan

Een afstandssensor meet om de 0,5 s de plaats van het schuifpaneel (afgerond op mm).

$t$ (s)	0,0	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5
$x$ (m)	0,000	0,002	0,014	0,042	0,087	0,148	0,221	0,300

$t$ (s)	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0	6,5	7,0
$x$ (m)	0,379	0,452	0,513	0,558	0,586	0,598	0,600

a
Schat de snelheid op t = 2,0 s met een voorwaartse, een achterwaartse en een centrale differentie.
b
Het paneel volgt het vijfdegraadsprofiel met $s = 0, 60 m$ en $T = 7, 0 s$ . Bereken de echte snelheid op 2,0 s en vergelijk.
c
Schat de versnelling op t = 1,0 s en op t = 3,5 s met $\frac{x _{i + 1} - 2 x _{i} + x _{i - 1}}{h ^{2}}$ . Vergelijk met het model.

1.11

Een functie afgeleide() in Python

Toepassen7Programmeren25 min

gedaan

Je schrijft een herbruikbare functie voor de centrale differentie en test ze.

a
Schrijf een functie afgeleide(f, x, h) die de centrale differentie teruggeeft, met een standaardwaarde voor h.
b
Test ze met f = math.sin in x = 1 (exact: cos 1) voor h = 10⁻¹ tot 10⁻¹². Druk de fout af. Bij welke h is de fout het kleinst?
c
Verklaar het verloop van de fout met twee oorzaken.

1.12

Habitat: de opwarmsnelheid van de meetkas

Toepassen7Habitat40 min

gedaan

Het brein van het station krijgt de temperatuur van de meetkas om het kwartier (uit de voorbeeldreeks van de zonnige aprildag). Het dakraam moet open bij 28 °C.

tijd	8:00	8:15	8:30	8:45	9:00	9:15	9:30	9:45	10:00
T (°C)	11,1	12,1	13,0	14,4	15,5	16,8	17,9	19,3	20,7

tijd	10:15	10:30	10:45	11:00	11:15	11:30	11:45	12:00
T (°C)	21,8	22,8	24,0	24,9	25,9	26,8	27,7	28,7

a
Bereken de opwarmsnelheid met een centrale differentie (h = 15 min) in elk tijdstip van 8:15 tot 11:45.
tijd dT/dt (°C/h)
b
Wanneer warmt de kas het snelst op, en hoe snel? Vergelijk met de h = 5 min-schatting in het handboek.
c
Voorspel om 11:00 met de raaklijn wanneer 28 °C bereikt wordt. Is dat te vroeg of te laat, en waarom?
d
Schrijf een korte aanbeveling (5 à 8 regels) voor de software: welke stap, welke differentie, en welke regel voor het dakraam.

Zo wordt dit beoordeeld

Berekening	Alle differenties correct, met eenheid; de tijden kloppen met het middelpunt van elke koorde.
Interpretatie	Maximum juist aangeduid; het verschil met de korte stap verklaard met ruis.
Voorspelling	Raaklijn correct gebruikt; te vroeg/te laat verklaard met de bolling (tweede afgeleide).
Aanbeveling	Stap en methode onderbouwd met ruis en afvlakken; een concrete, veilige regel voor het dakraam.

1.13

Wisselspanning over een condensator

Toepassen7Rekenen15 min

gedaan

Het net levert

u (t) = 325 sin (2 π \cdot 50 t)

V (230 V effectief). Een ontstoringscondensator van 100 nF staat erover. Meet dit niet zelf: 230 V is levensgevaarlijk.

a
Leid de stroom i(t) = C du/dt af en bereken de grootste stroom.
b
Op welke ogenblikken is de stroom maximaal? Wat is dan de spanning? Wat betekent dat?

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

1.14

Bewijs de product- en de quotiëntregel

Uitdagen8Analyseren25 min

gedaan

Het handboek maakte de productregel aannemelijk met een rechthoek. Maak het nu streng.

a
Bewijs $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ uit de definitie. Tip: tel $u (x + h) v (x)$ op en trek het weer af in de teller.
b
Waar gebruik je dat u continu is? Waarom is een afleidbare functie altijd continu?
c
Leid de quotiëntregel af uit de productregel en de kettingregel, met $u / v = u \cdot v^{- 1}$ .

1.15

De beste stap, uit een model van de fout

Uitdagen8Analyseren25 min

gedaan

Voor de centrale differentie is de totale fout ongeveer

E (h) = \frac{M}{6} h^{2} + \frac{εF}{h}

, met

M = ∣ f^{'''} ∣

F = ∣ f ∣

ε = 2, 2 \cdot 1 0^{- 16}

a
Zoek met de afgeleide de h waarvoor E(h) minimaal is, en de kleinste fout.
b
Reken het uit voor $f = e^{x}$ in $x = 1$ en vergelijk met de uitvoer van stapgrootte.py in het handboek.
c
Doe hetzelfde voor de voorwaartse differentie. Waarom haalt die veel minder cijfers?

1.16

Onderzoek: ruis, stap en de resolutie van een sensor

Uitdagen9Onderzoeken60 min

gedaan

Je onderzoekt met een simulatie hoe groot de stap moet zijn om een opwarmsnelheid uit ruisende metingen te halen. Het model is een opwarming

T (t) = 20 + 6 sin (0, 5 t)

(°C,

t

in uur), met gekende afgeleide.

a
Schrijf een programma dat om de 5 minuten metingen met normale ruis (σ = 0,1 °C) maakt, voor verschillende k de centrale differentie berekent en de rms-fout tegenover de echte afgeleide afdrukt, samen met de formule σ/(√2 h).
b
Bij welke stap is de fout het kleinst? Verklaar het verloop met ruis en afvlakken.
c
De meetkas meet met een TMP36 op de 10-bits ADC van een Uno: stappen van ongeveer 0,49 °C. Wat gebeurt er met een centrale differentie over 5 minuten als de temperatuur 3 °C/h stijgt? Welke twee maatregelen stel je voor?

Hint

random.gauss(0, 0.1) geeft normale ruis. Houd de tijd in uren, dan komt de afgeleide in °C/h uit.

Zo wordt dit beoordeeld

Code	Correcte simulatie en differenties, fout tegenover de echte afgeleide, reproduceerbaar (seed).
Analyse	Minimum gevonden en verklaard met σ/(√2 h) en de afbreekfout.
Resolutie	Kwantisatie correct ingeschat; maatregelen realistisch (middelen, betere sensor, grotere stap).

1.17

Ontwerp: een voorspellend dakraam

Uitdagen8Ontwerpen45 min

gedaan

Het dakraam van de meetkas werkt nu met twee drempels (open boven 28 °C, dicht onder 25 °C). Het brein van het station kan de opwarmsnelheid berekenen en zou het raam eerder kunnen openen. Het raam heeft 8 s nodig, maar de kas reageert pas na enkele minuten.

a
Ontwerp een regel die de opwarmsnelheid gebruikt. Schrijf ze als pseudocode of Python.
b
Welke stap en welke differentie kies je? Wat doe je bij ontbrekende of onmogelijke metingen?
c
Hoe voorkom je dat het raam bij een wolk die voorbijtrekt open en dicht klappert?
d
Hoe test je je regel vóór hij in de echte kas draait?

Zo wordt dit beoordeeld

Regel	Gebruikt een voorspelling T + Δt · dT/dt met een verantwoorde Δt; behoudt de veilige drempel van 28 °C.
Robuustheid	Achterwaartse differentie met voldoende stap; sensorfouten en ontbrekende data opgevangen.
Stabiliteit	Hysterese of minimale open-tijd tegen klapperen, met getallen.
Test	Simulatie op de voorbeeldreeks of opgenomen data vóór gebruik; criteria om te slagen.

ZelfevaluatieKleur per doel: lukt al / bijna / nog niet

Ik kan een gemiddelde veranderingssnelheid berekenen als differentiequotiënt, met de juiste eenheid, en ze aflezen als helling van een koorde.
Ik kan de afgeleide definiëren als limiet van een differentiequotiënt, ze interpreteren als helling van de raaklijn en een raaklijn opstellen.
Ik kan de machtsregel en de productregel uit de definitie afleiden en de rekenregels (som, veelvoud, product, quotiënt, ketting) toepassen op veeltermen, machten, exponentiële, logaritmische en goniometrische functies.
Ik kan snelheid, versnelling en schok als eerste, tweede en derde afgeleide van de plaats berekenen en een grafiek van een functie en haar afgeleide aan elkaar koppelen.
Ik kan een functie in een punt lineariseren en daarmee de gevoeligheid van een sensor of een schakeling schatten.
Ik kan een afgeleide numeriek benaderen met een voorwaartse, achterwaartse en centrale differentie, de orde van de fout verklaren en de invloed van afronding en ruis op de keuze van de stap inschatten.
Ik kan in de techniek de afgeleide herkennen en gebruiken: vermogen, stroom, stroom in een condensator, warmtestroom.
Ik kan uit een meetreeks van de meetkas de opwarmsnelheid bepalen en er een onderbouwde voorspelling mee maken.

punt	f′	f″

kwartier	P (W)