Oplossingen · hoofdstuk 1Afgeleiden: verandering meten

$\frac{22,0-27,4}{3\mathrm{dag}}=-1,8L/dag=-1800/24=-75mL/h$. Negatief: het reservoir raakt leeg (de planten drinken en er verdampt water).

$\frac{48-74}{4\mathrm{h}}=-6,5\%/h$; in energie $0,065\cdot 3,07\mathrm{kWh}=0,20\mathrm{kWh}$ per uur, dus gemiddeld ongeveer 200 W uit de batterij (lampen 190 W en de basis). Negatief: de batterij ontlaadt.

$\frac{25,0-20,5}{1\mathrm{h}}=4,5{}^{\circ }C/h=0,075{}^{\circ }C/min$. Positief: de kas warmt op.

$\frac{8,04-12,54}{10\mathrm{K}}=-0,450k\Omega /K$. Negatief: een NTC heeft een negatieve temperatuurcoëfficiënt. Ter vergelijking: de afgeleide bij 25 °C is $-0,444k\Omega /K$.

$f^{\prime }(x)=12x^2-2$; $g(t)=5t^{-2}$ geeft $g^{\prime }(t)=-10t^{-3}=-\frac{10}{t^3}$.

Product: $h^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1)+\sqrt{x}=\frac{x+1+2x}{2\sqrt{x}}=\frac{3x+1}{2\sqrt{x}}$. (Of eerst uitwerken: $x^{3/2}+x^{1/2}$ geeft $\frac{3}{2}\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$, hetzelfde.)

$u^{\prime }(t)=12\cdot \left(-\frac{1}{4}\right){\mathrm{e}}^{-t/4}=-3{\mathrm{e}}^{-t/4}$; $y^{\prime }(t)=100\pi \cos (100\pi t)$ (ketting).

$R^{\prime }(T)=R_0\alpha$: een constante helling, want $R$ is lineair in $T$.

Quotiënt: $q^{\prime }=\frac{1\cdot (x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}$.

Quotiënt en ketting: $P^{\prime }=U^2\frac{(R+r{)}^2-R\cdot 2(R+r)}{(R+r{)}^4}=\frac{U^2(r-R)}{(R+r{)}^3}$. Nul bij $R=r$: daar is het vermogen maximaal (hoofdstuk 2).

A: f′ +, f″ − (stijgt, bol). B: f′ 0, f″ − (maximum). C: f′ −, f″ 0 (buigpunt). D: f′ 0, f″ + (minimum). E: f′ +, f″ + (stijgt, hol).

In C: daar is de raaklijn het steilst naar beneden. f′ is daar minimaal, dus de afgeleide van f′ (dat is f″) is nul: een buigpunt.

f′ is een dalparabool: positief links van B, nul in B, negatief tussen B en D met het minimum in C, nul in D, positief rechts van D en stijgend. (De functie is f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1, dus f′(x) = 3(x − 1)(x − 3).)

$v=s^{\prime }(1,5)=9,81\cdot 1,5=14,715m/s$ en $s(1,5)=4,905\cdot 2,25=11,036\mathrm{m}$. Raaklijn: $s=11,036+14,715(t-1,5)$, of $s=14,715t-11,036$.

$s=0$ bij $t=11,036/14,715=0,75\mathrm{s}$, precies de helft van 1,5 s (dat geldt voor elke parabool $c{t}^2$). Fysisch: de plaats die de steen zou hebben als hij vanaf $t=1,5\mathrm{s}$ met constante snelheid verder ging (of ervoor zo gekomen was).

$\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\cdot \frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{(x+h)-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\to \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Machtsregel: $\frac{1}{2}{x}^{-1/2}$. Klopt.

$\frac{1}{2\sqrt{x}}$ groeit onbeperkt als $x\to 0$: de raaklijn wordt verticaal (oneindige helling). De grafiek vertrekt in de oorsprong loodrecht omhoog.

$x(0)=0$, $x(T)=s(3-2)=s$. $v=\frac{s}{T}(6u-6u^2)=\frac{6s}{T}u(1-u)$: nul in $u=0$ en $u=1$.

$v_{\text{max}}$ bij $u=\frac{1}{2}$: $\frac{6s}{4T}=1,5\cdot \frac{0,60}{7,0}=0,1286m/s$. $a=\frac{6s}{T^2}(1-2u)$, bij de start $\frac{6\cdot 0,60}{49}=0,0735m/{\mathrm{s}}^2$.

De versnelling springt bij de start van 0 naar 0,0735 m/s² en op het eind van −0,0735 naar 0: net als bij het trapeziumprofiel een oneindige schok (een tik). Het vijfdegraadsprofiel zet ook a(0) = a(T) = 0: de schok blijft eindig.

$\tau =22000\cdot 470\cdot 10^{-6}=10,34\mathrm{s}$. $i=C\cdot \frac{5,0}{\tau }{\mathrm{e}}^{-t/\tau }=\frac{5,0}{R}{\mathrm{e}}^{-t/\tau }$; $i(0)=5,0/22000=227\mu \mathrm{A}$, $i(\tau )=i(0)/\mathrm{e}=83,6\mu \mathrm{A}$.

${\mathrm{e}}^{-t/\tau }=0,01\Rightarrow t=\tau \ln 100=4,61\tau =47,6\mathrm{s}$.

Per kwartier (ΔE / 0,25 h): 10 W, 10 W, 208 W, 200 W, 200 W, 200 W, 208 W.

Om 6:00 gaan de groeilampen aan (2 × 95 W = 190 W): het vermogen springt van 10 W naar ongeveer 200 W. De pomp van de waterkringloop (12 W) draait 10 minuten per uur, vanaf het hele uur: 12 W × 1/6 h = 2 Wh extra in het kwartier van 6:00 en van 7:00.

(18 399,0 − 18 344,5) / 0,5 h = 109 W: een gemiddelde van 'lampen uit' en 'lampen aan'. Bij een sprong bestaat de afgeleide niet; gebruik aan een schakelmoment een eenzijdige differentie, of meet vaker.

Voorwaarts (0,148 − 0,087)/0,5 = 0,122 m/s; achterwaarts (0,087 − 0,042)/0,5 = 0,090 m/s; centraal (0,148 − 0,042)/1,0 = 0,106 m/s.

$u=2/7$: $v=\frac{30\cdot 0,60}{7}{u}^2(1-u{)}^2=0,1071m/s$. De centrale differentie zit er het dichtst bij; voorwaarts is te groot en achterwaarts te klein, omdat het paneel op dat moment nog versnelt.

Op 1,0 s: 0,064 m/s² (model 0,064 m/s²); op 3,5 s: 0,000 m/s² (model 0). De afronding op 1 mm geeft bij h = 0,5 s al een onzekerheid van enkele mm/s² op a: een tweede afgeleide uit meetdata is nog gevoeliger voor ruis.

Zie de code hieronder: de functie staat bovenaan.

import math


def afgeleide(f, x, h=1e-5):
    """Centrale differentie: benadert f'(x) met een fout van orde h**2."""
    return (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h)

De testlus en haar echte uitvoer:

exact = math.cos(1.0)
for k in range(1, 13):
    h = 10.0 ** -k
    print("h = 1e-%02d   fout %.1e" % (k, abs(afgeleide(math.sin, 1.0, h) - exact)))

h = 1e-01   fout 9.0e-04
h = 1e-02   fout 9.0e-06
h = 1e-03   fout 9.0e-08
h = 1e-04   fout 9.0e-10
h = 1e-05   fout 1.1e-11
h = 1e-06   fout 2.8e-11
h = 1e-07   fout 1.9e-10
h = 1e-08   fout 2.6e-09
h = 1e-09   fout 3.0e-09
h = 1e-10   fout 5.8e-08
h = 1e-11   fout 1.2e-06
h = 1e-12   fout 1.2e-05

Tot h ≈ 10⁻⁵ daalt de fout met een factor 100 per stap (afbreekfout ∼ h²/6 · |f‴|, tweede orde). Daaronder domineert de afrondingsfout ∼ ε/h: de twee functiewaarden verschillen zo weinig dat hun verschil vooral uit afrondingsruis bestaat.

$i=C\cdot 325\cdot 2\pi \cdot 50\cos (2\pi \cdot 50t)$, dus $i_{\text{max}}=10^{-7}\cdot 325\cdot 314,2=10,2\mathrm{mA}$.

Wanneer de cosinus ±1 is, dus wanneer de sinus nul is: de stroom is maximaal als de spanning door nul gaat (daar verandert ze het snelst). Stroom en spanning zijn een kwart periode (90°) verschoven: de basis van wisselstroom met condensatoren (hoofdstuk 7 en 20).

$\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}=u(x+h)\frac{v(x+h)-v(x)}{h}+v(x)\frac{u(x+h)-u(x)}{h}$. Neem de limiet: de breuken gaan naar $v^{\prime }(x)$ en $u^{\prime }(x)$, en $u(x+h)\to u(x)$. Dus $(uv{)}^{\prime }=u{v}^{\prime }+v{u}^{\prime }$.

In de stap $u(x+h)\to u(x)$. Een afleidbare functie is continu: $u(x+h)-u(x)=h\cdot \frac{u(x+h)-u(x)}{h}\to 0\cdot u^{\prime }(x)=0$.

$(v^{-1}{)}^{\prime }=-v^{-2}{v}^{\prime }$ (ketting), dus $(u{v}^{-1}{)}^{\prime }=u^{\prime }{v}^{-1}+u\cdot (-v^{-2}{v}^{\prime })=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$.

$E^{\prime }(h)=\frac{M}{3}h-\frac{\epsilon F}{h^2}=0\Rightarrow h^{\ast }={\left(\frac{3\epsilon F}{M}\right)}^{1/3}$. Invullen: $E(h^{\ast })=\frac{M}{6}{h}^{\ast 2}+\frac{\epsilon F}{h^{\ast }}=\frac{3}{2}\epsilon F/h^{\ast }$ (want $\epsilon F/h^{\ast }=\frac{M}{3}{h}^{\ast 2}$), dus $E_{\text{min}}=\frac{3}{2}(\epsilon F{)}^{2/3}(M/3{)}^{1/3}$.

$F=M=\mathrm{e}$: $h^{\ast }=(3\epsilon {)}^{1/3}=8,7\cdot 10^{-6}$, $E_{\text{min}}\approx 1,0\cdot 10^{-10}$. De uitvoer toont het kleinste foutje bij $h=10^{-5}$ à $10^{-7}$, van de orde $10^{-11}$ à $10^{-10}$. Klopt (het model geeft een orde van grootte; de afronding is toevallig en valt soms gunstig uit).

$E(h)=\frac{M}{2}h+\frac{\epsilon F}{h}$ geeft $h^{\ast }=\sqrt{2\epsilon F/M}=2,1\cdot 10^{-8}$ en $E_{\text{min}}=\sqrt{2\epsilon FM}\approx 5,7\cdot 10^{-8}$. De afbreekfout daalt maar lineair, dus je moet $h$ veel kleiner maken en verliest meer aan afronding: ongeveer 8 in plaats van 10 à 11 juiste cijfers.

Bijvoorbeeld:

import math
import random

random.seed(1)
SIGMA = 0.1                          # ruis van de sensor (graden Celsius)
STAP = 5 / 60                        # 5 minuten tussen twee metingen (uur)


def model(t):                        # een opwarming met gekende afgeleide (graden Celsius, t in uur)
    return 20 + 6 * math.sin(0.5 * t)


def echt(t):
    return 3 * math.cos(0.5 * t)


ts = [i * STAP for i in range(200)]
ys = [model(t) + random.gauss(0, SIGMA) for t in ts]
for k in (1, 2, 4, 6, 9, 12, 18, 24):
    fout = [((ys[i + k] - ys[i - k]) / (2 * k * STAP) - echt(ts[i])) ** 2 for i in range(k, len(ts) - k)]
    print("h = %3d min   rms-fout %.3f  (ruis alleen: %.3f)"
          % (5 * k, math.sqrt(sum(fout) / len(fout)), SIGMA / (math.sqrt(2) * k * STAP)))

Echte uitvoer van dat programma:

h =   5 min   rms-fout 0.827  (ruis alleen: 0.849)
h =  10 min   rms-fout 0.413  (ruis alleen: 0.424)
h =  20 min   rms-fout 0.206  (ruis alleen: 0.212)
h =  30 min   rms-fout 0.141  (ruis alleen: 0.141)
h =  45 min   rms-fout 0.099  (ruis alleen: 0.094)
h =  60 min   rms-fout 0.106  (ruis alleen: 0.071)
h =  90 min   rms-fout 0.194  (ruis alleen: 0.047)
h = 120 min   rms-fout 0.335  (ruis alleen: 0.035)

Bij kleine stap volgt de fout de ruisformule σ/(√2 h); bij grote stap groeit de afbreekfout h²/6 · |T‴| (hier |T‴| ≤ 6 · 0,125 = 0,75 °C/h³). Het minimum ligt waar beide ongeveer even groot zijn: hier bij h = 45 min (rms-fout 0,10 °C/h). Met een andere seed verschuift het wat, niet veel.

Bij 3 °C/h stijgt de temperatuur 0,25 °C in 5 minuten: minder dan één ADC-stap. De meting blijft een tijd gelijk en springt dan 0,49 °C: de differentie over 5 min wisselt tussen 0 en ±5,9 °C/h (0,49 °C / (1/12 h)). Maatregelen: veel metingen middelen (met wat ruis wordt de resolutie fijner, bv. 16 metingen per minuut), een sensor met een fijnere resolutie (een digitale sensor van 0,0625 °C, of de NTC-deler met 0,09 °C per stap), en een differentie over 30 minuten of meer.

Bijvoorbeeld:

snelheid = (T[nu] - T[nu - 6]) / 0.5          # achterwaarts over 30 min, °C/h
voorspeld = T[nu] + 0.25 * snelheid            # een kwartier vooruit
if T[nu] > 28 or (voorspeld > 28 and snelheid > 1):
    open_raam()
elif T[nu] < 25 and voorspeld < 26:
    sluit_raam()

Achterwaarts, want de toekomst is onbekend; over 30 min (ruis op de snelheid dan ongeveer 0,2 à 0,3 °C/h). Ontbrekende meting: deel door het echte tijdsverschil of sla de beslissing over; onmogelijke waarden (buiten −30 tot 60 °C, sprong groter dan 2 °C in 5 min) negeren en alarm geven.

Hysterese behouden (sluiten pas onder 25 °C), een minimale tijd open (bv. 15 min), en de snelheid alleen gebruiken als ze een tijd positief blijft. Een wolk doet de snelheid even dalen, maar de temperatuur blijft boven 25 °C.

Offline op opgenomen of gesimuleerde reeksen (de voorbeeldreeks, een bewolkte dag): tel de raambewegingen en de minuten boven 28 °C, vergelijk met de oude regel. Pas daarna in de kas, met de oude regel als vangnet.