StemExpert

Expert · Werkboek · 5. Vectoren en matrices
StemExpert · Brecht Corbeel · schoolium.me

EExpert · deel E1 · Wiskundige gereedschapskist

Werkboek · hoofdstuk 5Vectoren en matrices

Richtingen in de ruimte en veel vergelijkingen tegelijk: het rekenwerk achter krachten, netwerken en constructies

Je oefent eerst het rekenen met vectoren, matrices en de methode van Gauss met de hand. Daarna pas je ze toe op arbeid, zonlicht, momenten, netwerken en een vakwerk, ook in Python. De uitdagingen vragen bewijzen, een onderzoek naar de conditie van een ijking en een vakwerk dat niet werkt. Opdracht 5.13 is de Habitat-opdracht.

6× oefenen8× toepassen4× uitdagen± 460 min0/18 gedaan

WWiskundig modelleren KKrachten, beweging en constructies LElektriciteit en elektronica

Drie tuidraden, drie krachten in drie richtingen: samen duwen ze de mast recht naar beneden.

Hoe lees je een opdracht?

Drie tredenOefenen Toepassen Uitdagen

Elk hoofdstuk bouwt op: eerst oefenen (één stap, direct toepassen), dan toepassen (meerdere stappen, in een context), dan uitdagen (transfer, open problemen, andere leerlijnen erbij).

De StemExpert-schaal5

Eén moeilijkheidsschaal van 1 tot 9 over de drie niveaus heen: Fundamental loopt van 1 tot 4, Intermediate van 3 tot 7, Expert van 6 tot 9. Zo zie je dat de uitdaging van het ene niveau de oefening van het volgende is.

Oefenen

één stap, direct toepassen

5.1

Rekenen met vectoren

Oefenen6Rekenen15 min

gedaan

Gegeven

a = (2; - 1; 3)

b = (1; 4; - 2)

a
Bereken $a + b$ en $3 a - 2 b$ .
b
Bereken $∣ a ∣$ , $∣ b ∣$ en de eenheidsvector $\overset{a}{^}$ .
c
Bereken $a \cdot b$ en de hoek tussen $a$ en $b$ .
d
Bereken de projectie van $b$ op $a$ (als getal en als vector).

5.2

Het vectorproduct

Oefenen6Rekenen15 min

gedaan

Opnieuw

a = (2; - 1; 3)

b = (1; 4; - 2)

a
Bereken $a \times b$ en controleer dat het loodrecht staat op $a$ en op $b$ .
b
Controleer $∣ a \times b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2}$ .
c
Bereken de oppervlakte van de driehoek met hoekpunten $P = (0; 0; 0)$ , $Q = (2; 0; 0)$ , $R = (0; 3; 4)$ .

5.3

Matrices vermenigvuldigen

Oefenen6Rekenen15 min

gedaan

A = (1 - 1 2301)

B = 201 1 - 1 4

a
Welke afmetingen hebben AB en BA? Bereken beide.
b
Bereken $det (A B)$ en $(A B)^{- 1}$ , en controleer met $(A B) (A B)^{- 1} = I$ .

5.4

Transformaties tekenen

Oefenen6Tekenen20 min

gedaan

Pas op de driehoek vier matrices toe:

M_{1} = (01 - 1 0)

M_{2} = (20 0 1, 5)

M_{3} = (1011)

M_{4} = (- 1 0 01)

De driehoek met hoekpunten (1; 0), (3; 0) en (1; 2).

a
Bereken de beelden van de drie hoekpunten voor elke matrix en teken de vier beelddriehoeken in het rooster.
matrix (1; 0) (3; 0) (1; 2)
b
Beschrijf elke transformatie in woorden.
c
De oorspronkelijke driehoek heeft oppervlakte 2. Bereken met de determinant de oppervlakte van elk beeld. Wat betekent het teken?

5.5

Het graanprobleem uit de Negen hoofdstukken

Oefenen6Rekenen20 min

gedaan

Drie bundels graan van de beste soort, twee van de middelste en één van de slechtste leveren 39 dou; twee, drie en één leveren 34 dou; één, twee en drie leveren 26 dou (het eerste probleem van hoofdstuk 8 van de Jiuzhang suanshu).

a
Schrijf het stelsel als aangevulde matrix.
b
Los het op met de methode van Gauss, met de hand. Toon elke rijbewerking.
c
Controleer je oplossing door ze in te vullen.

5.6

Hoeveel oplossingen?

Oefenen6Begrijpen15 min

gedaan

(a)

x + y + z = 6

x - y + z = 2

2 x + y - z = 1

. (b)

x + y + z = 6

x + y + z = 4

x - y = 0

. (c)

x + y + z = 6

x - y + z = 2

2 x + 2 z = 8

a
Welk stelsel heeft één oplossing, welk geen, welk oneindig veel? Toon het met Gauss.
b
Geef voor elk stelsel de meetkundige betekenis (drie vlakken in de ruimte) en de waarde van de determinant.

Toepassen

meerdere stappen, in een context

5.7

Het kasdak openen

Toepassen7Rekenen20 min

gedaan

Het schuifpaneel van de kasmodule (10 kg) schuift 0,60 m omhoog over rails onder 25° (hoofdstuk 7 en 8 van I). De riem trekt met 60 N.

a
Schrijf de verplaatsing $s$ en de zwaartekracht $G$ als vectoren ( $x$ horizontaal, $y$ omhoog) en bereken $W_{G}$ .
b
Bereken de arbeid van de riem als hij evenwijdig met de rails trekt, en als hij onder 10° boven de rails trekt.
c
Waar gaat het verschil naartoe? Is een schuine riem slechter?

5.8

De zon op het paneel door het jaar

Toepassen7Analyseren25 min

gedaan

Het zonnepaneel van de module staat onder 60° op het zuiden, het jaaroptimum voor Brussel is 39° (hoofdstuk 6 van I). De zon staat om 12:00 zonnetijd in het zuiden op een hoogte h = 90° − 50,8° + δ, met δ = 0° op 21 maart, +23,44° op 21 juni en −23,44° op 21 december.

a
Schrijf $\overset{s}{^}$ en de normaal $\overset{n}{^}$ van een paneel onder een hoek $β$ op het zuiden als vectoren. Toon met het scalair product dat om 12:00 $cos θ = cos (h + β - 9 0^{\circ})$ .
b
Vul de tabel in voor β = 60° en β = 39°.
datum h cos θ (60°) cos θ (39°)
c
Op 21 juni om 15:00 is $\overset{s}{^} = (- 0, 649; - 0, 251; 0, 718)$ . Bereken $cos θ$ voor beide hellingen.
d
Waarom koos hoofdstuk 6 van I toch 60°? Gebruik je tabel.

5.9

Het dakraam van de meetkas

Toepassen7Rekenen20 min

gedaan

Het dakraam van de meetkas (0,60 × 0,60 m, 1,2 kg) draait om een scharnier achteraan. De duwstang duwt verticaal omhoog op 0,12 m van het scharnier (hoofdstuk 12 van F). Neem het scharnier als oorsprong, x horizontaal naar voren, y omhoog.

a
Bereken met $M = r \times F$ het moment van het gewicht om het scharnier als het raam dicht is, en als het 20° open staat.
b
Hoe groot moet de verticale duwkracht in beide standen zijn? Vergelijk met de 29,5 N van hoofdstuk 12 van F.
c
Waarom hangt die kracht niet af van de openingshoek? Zou dat zo blijven als de stang loodrecht op het raam duwt?

5.10

De brug van hoofdstuk 21 met twee knopen

Toepassen7Rekenen20 min

gedaan

De brug van hoofdstuk 21 van I: R₁ = 1,0 kΩ, R₂ = 2,2 kΩ, R₃ = 1,5 kΩ, R₄ = 2,2 kΩ, R₅ = 1,0 kΩ op 10 V. T ligt op 10 V, B op 0 V.

De brug van opdracht 21.14 van Intermediate.

a
Stel de knooppuntvergelijkingen op voor M en N als $G v = i$ (in mS, V en mA).
b
Los het stelsel met de hand op (Gauss of de inverse van een 2 × 2-matrix) en bereken de stroom door R₅.
c
gauss.py loste dezelfde brug op met drie maasstromen. Waarom heeft de knooppuntenmethode hier minder onbekenden?

5.11

De sensorkast op drie meter, als matrix

Toepassen7Rekenen25 min

gedaan

De 5 V-rail van de klimaatmodule voedt de sensorkast boven het kweekbed: 3,0 m kabel met aders van 0,14 mm², 156 mA bij de piek (hoofdstuk 21 van I). Vanuit de sensorkast loopt 2,0 m dezelfde kabel verder naar een lichtsensor op het kasdak (25 mA). Rekenwaarde: de rail staat vast op 5,00 V; reken met de weerstand van plus- en minader samen.

a
Bereken de weerstand van beide kabelstukken en stel het stelsel G v = i op voor de sensorkast K en de lichtsensor L.
b
Los op. Welke spanning krijgen de sensoren?
c
Je trekt ook een kabel van 4,0 m rechtstreeks van de rail naar de lichtsensor (een ring). Stel het nieuwe stelsel op en los het op. Wat verandert er?

5.12

Gauss in Python, en waarom je rijen verwisselt

Toepassen7Programmeren30 min

gedaan

Je schrijft zelf een functie gauss(A, b) en onderzoekt wat de rijverwisseling doet.

a
Schrijf gauss(A, b, spil=True) met eliminatie, rijverwisseling (als spil=True) en terug invullen. Test op het graanprobleem.
b
Los $(1 0^{- 17} 1 11) x = (12)$ op met en zonder rijverwisseling. De exacte oplossing is bijna $(1; 1)$ . Wat gebeurt er?
c
Verklaar het resultaat met de afronding van een float (ongeveer 16 cijfers).

5.13

Habitat: de voedingslijnen van de module toetsen

Toepassen7Habitat60 min

gedaan

Gebruik netwerk.py uit het handboek (het 12,8 V-net van de klimaatmodule). Ontwerpregel: hoogstens 3 % spanningsval (0,38 V) in de kabel naar een verbruiker bij normaal bedrijf, ook als de ringkabel breekt. Standaarddoorsneden: 1,5 - 2,5 - 4 - 6 - 10 - 16 mm²; koper weegt 8,96 g/cm³.

a
Voeg een lastgeval toe: de dakmotor blokkeert (10 A). Wat is de spanning aan de motor en aan de rail?
b
Welke kabel moet dikker om de 3 %-regel te halen als de ring breekt? Kies de kleinste doorsnede die volstaat.
c
Hoeveel koper (in gram) zit er nu in alle kabels samen, en hoeveel komt erbij met je keuze?
d
Schrijf een advies van 5 à 8 regels voor het ontwerp van het net, met getallen.

Zo wordt dit beoordeeld

Model	Lastgeval en kabelbreuk correct in het stelsel gezet (last D = 10 A; tak L2-V weggelaten).
Toets	Spanningsvallen per kabel berekend tegenover 0,38 V; de zwakke kabel gevonden.
Keuze	Kleinste doorsnede die volstaat, met koperverbruik als afweging.
Advies	Onderbouwd met getallen; ring, dakmotor en zekering besproken.

5.14

Een wandconsole als stelsel

Toepassen7Rekenen25 min

gedaan

Een console aan de wand draagt in B een omvormer van 20 kg (200 N als rekenwaarde). A en C zijn scharnieren aan de wand.

Een console met een horizontale staaf AB en een schuine staaf CB; last 200 N in B.

a
Geef de eenheidsvectoren van B naar A en van B naar C. Stel het evenwicht van knoop B op als 2 × 2-stelsel en los op.
b
Welke staaf staat op trek, welke op druk? Controleer met het momentenevenwicht om C.
c
Hoeveel vergelijkingen en onbekenden heeft het volledige vakwerk (met de reacties in A en C)? Is het statisch bepaald?

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

5.15

Twee formules bewezen

Uitdagen8Analyseren30 min

gedaan

Het handboek gebruikte twee verbanden tussen de componenten en de meetkunde van vectoren. Bewijs ze.

a
Bewijs $a \cdot b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos θ$ met de cosinusregel. Leid daaruit de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz af: $∣ a \cdot b ∣ \leq ∣ a ∣ ∣ b ∣$ .
b
Bewijs de identiteit van Lagrange $∣ a \times b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2}$ door beide kanten in componenten uit te schrijven, en leid er $∣ a \times b ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin θ$ uit af.
c
Toon dat $a \cdot (a \times b) = 0$ .

5.16

Rotaties en de somformules

Uitdagen8Analyseren25 min

gedaan

R (φ) = (cos φ sin φ - sin φ cos φ)

draait tegen de klok in over

φ

a
Bereken $R (α) R (β)$ . Leid uit $R (α) R (β) = R (α + β)$ de somformules voor $cos (α + β)$ en $sin (α + β)$ af.
b
Toon dat $det R (φ) = 1$ en $R (φ)^{T} R (φ) = I$ . Wat is dus $R (φ)^{- 1}$ ?
c
Toon met $∣ x ∣^{2} = x^{T} x$ dat een rotatie lengtes bewaart.

5.17

Onderzoek: de conditie van een ijking

Uitdagen9Onderzoeken50 min

gedaan

Een TMP36 op de 10-bits ADC geeft ongeveer N = 102,4 + 2,048 T, met ruis van een halve ADC-stap. Je ijkt hem met twee referentiepunten rond 20 °C op een zekere afstand van elkaar, en gebruikt de ijking daarna om 35 °C te meten.

a
Schrijf een simulatie: kies twee ijkpunten, meet ze met ruis en afronding, los het 2 × 2-stelsel op voor a en b, meet daarmee 35 °C. Herhaal 2000 keer per afstand (0,5 tot 40 °C).
b
Maak een tabel: afstand, aandeel onbruikbare ijkingen, 95 %-grens van de fout, conditiegetal.
afstand (°C) onbruikbaar 95 % onder (°C) conditiegetal
c
Verklaar het verband tussen afstand, conditiegetal en fout. Welke ijking raad je aan voor de meetkas?

Zo wordt dit beoordeeld

Simulatie	Ruis en afronding correct; singuliere gevallen opgevangen; reproduceerbaar (seed).
Resultaten	Tabel volledig; trend herkend.
Verklaring	Conditiegetal en afstand gekoppeld; extrapolatie naar 35 °C als versterker.
Advies	Ijkpunten over het meetbereik (bv. ijswater en 40 °C), meer punten en kleinste kwadraten (hoofdstuk 41).

5.18

Een vakwerk dat niet werkt

Uitdagen8Analyseren30 min

gedaan

Een vierkant van staven (0,50 × 0,50 m) met knopen A, B, C, D, een scharnier in A en een rol in B. Je vergelijkt drie varianten: zonder diagonaal, met diagonaal AC, en met beide diagonalen.

a
Tel voor elke variant de vergelijkingen en de onbekenden. Voorspel wat er gebeurt.
b
Bouw de matrices in Python (gebruik de opbouw van het handboek) en bereken hun rang met np.linalg.matrix_rank.
c
Interpreteer: wat betekent een rang kleiner dan het aantal onbekenden, of minder vergelijkingen dan onbekenden? Wat doet een ingenieur in elk geval?

ZelfevaluatieKleur per doel: lukt al / bijna / nog niet

Ik kan vectoren in 2D en 3D noteren, optellen, met een getal vermenigvuldigen, hun lengte en eenheidsvector berekenen, en krachten in de ruimte ontbinden en samenstellen.
Ik kan het scalair product berekenen en gebruiken voor hoeken, projecties, loodrechte stand, arbeid en de invalshoek van zonlicht, en de formule |a||b| cos θ afleiden.
Ik kan het vectorproduct berekenen en gebruiken voor een normaal, een oppervlakte en een moment r × F, met de juiste draaizin.
Ik kan een matrix interpreteren als lineaire transformatie (rotatie, schaal, afschuiving), haar determinant als oppervlaktefactor lezen, en matrices vermenigvuldigen en inverteren.
Ik kan een stelsel lineaire vergelijkingen als matrixvergelijking schrijven en oplossen met de methode van Gauss, met de hand, in eigen code en met numpy.
Ik kan het conditiegetal van een stelsel interpreteren en slecht geconditioneerde situaties herkennen, zoals een ijking met twee dicht bij elkaar liggende punten.
Ik kan een elektrisch netwerk opstellen en oplossen met de knooppuntenmethode (G v = i), en de uitkomst toetsen met Kirchhoff en een vermogensbalans.
Ik kan het evenwicht van een vakwerk als stelsel opstellen, oplossen en interpreteren (trek, druk, reacties), en een voedingsnet van Habitat doorrekenen en beoordelen.

datum	h	cos θ (60°)	cos θ (39°)

afstand (°C)	onbruikbaar	95 % onder (°C)	conditiegetal