StemExpert

Expert · Werkboek · 2. Optimaliseren
StemExpert · Brecht Corbeel · schoolium.me

EExpert · deel E1 · Wiskundige gereedschapskist

Werkboek · hoofdstuk 2Optimaliseren

Het beste ontwerp vinden: waar de afgeleide nul is, op de rand, of numeriek

Je begint met stationaire punten en de aard ervan, stelt daarna echte optimalisatieproblemen op (een leiding, een lamp, een tank in roestvast staal, het MPP) en eindigt met bewijzen, grote opslagtanks en gradiëntafdaling. Opdracht 2.12 is de Habitat-opdracht: de drinkwatertank.

4× oefenen8× toepassen4× uitdagen± 402 min0/16 gedaan

WWiskundig modelleren DOntwerpen en maken

Hoe breed en hoe hoog moet een tank van 500 L zijn? Minder materiaal, minder vloer, door de deur: drie doelen tegelijk.

Hoe lees je een opdracht?

Drie tredenOefenen Toepassen Uitdagen

Elk hoofdstuk bouwt op: eerst oefenen (één stap, direct toepassen), dan toepassen (meerdere stappen, in een context), dan uitdagen (transfer, open problemen, andere leerlijnen erbij).

De StemExpert-schaal5

Eén moeilijkheidsschaal van 1 tot 9 over de drie niveaus heen: Fundamental loopt van 1 tot 4, Intermediate van 3 tot 7, Expert van 6 tot 9. Zo zie je dat de uitdaging van het ene niveau de oefening van het volgende is.

Oefenen

één stap, direct toepassen

2.1

Stationaire punten en hun aard

Oefenen6Rekenen20 min

gedaan

Bepaal de stationaire punten en zeg van elk of het een lokaal maximum, lokaal minimum of geen extremum is.

a
$f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 3$
b
$g (t) = t e^{- t /2}$ voor $t \geq 0$ (bv. het verloop van een concentratie na een dosis)
c
$h (x) = x^{4} - 4 x^{3}$

2.2

Extrema lezen uit de grafiek van de afgeleide

Oefenen6Begrijpen15 min

gedaan

Een sensor geeft alleen de veranderingssnelheid door. De grafiek toont f′ op het interval [−3, 4].

Je ziet niet f zelf, alleen haar afgeleide f′.

a
Waar stijgt f, waar daalt ze?
b
Waar heeft f een lokaal maximum, waar een lokaal minimum? Is x = 1 een extremum?
c
Waar heeft f ongeveer een buigpunt? Hoe zie je dat in deze grafiek?

2.3

Het proefveld met één gevel

Oefenen6Rekenen10 min

gedaan

Je hebt 20 m gaas voor drie zijden van een rechthoekig veld tegen een muur.

a
Stel de doelfunctie op en bereken de afmetingen met de grootste oppervlakte.
b
Hoeveel procent oppervlakte verlies je als je de diepte 10 % kleiner maakt dan optimaal?

2.4

Extrema op een gesloten interval

Oefenen6Rekenen12 min

gedaan

Bepaal het globale maximum en minimum van

f (x) = x^{3} - 3 x

[- 2, 3]

a
Zoek alle kandidaten en vergelijk hun waarden.
b
Waarom volstaat f′(x) = 0 hier niet om het maximum te vinden?

Toepassen

meerdere stappen, in een context

2.5

Een bak uit één plaat

Toepassen7Rekenen15 min

gedaan

Uit een vierkante plaat PP van 60 cm × 60 cm snijd je in elke hoek een vierkant weg en plooi je de randen omhoog tot een open bak.

a
Stel het volume op als functie van de zijde x van de weggesneden vierkanten. Wat is het domein?
b
Bereken de x met het grootste volume, en dat volume in liter.

2.6

Vermogen of rendement?

Toepassen7Rekenen15 min

gedaan

Een thermo-elektrische generator op de kachel van het station gedraagt zich als een bron van 4,0 V met 2,0 Ω inwendige weerstand. Hij laadt een kleine buffer voor een noodlampje.

a
Bij welke belasting levert hij het grootste vermogen? Hoe groot is dat, met welk rendement?
b
Bereken vermogen en rendement voor R = 6 Ω. Wat zou je kiezen, en waarom?

2.7

De goedkoopste leiding naar de meetkas

Toepassen7Rekenen25 min

gedaan

Een waterleiding loopt van de technische ruimte (punt A, 4,0 m van de rand van het terras, in het gras) naar de meetkas (punt B, 3,0 m ver op het terras). Langs de rand gemeten liggen A en B 10,0 m uit elkaar. Graven in het gras kost € 12 per meter, tegels uitbreken en terugleggen € 30 per meter. De leiding loopt recht naar een punt op de rand, op afstand x van het voetpunt van A, en dan recht naar B.

a
Stel de kostenfunctie K(x) op.
b
Zoek het minimum numeriek (rooster of bisectie op K′). Vergelijk met de rechte lijn van A naar B.
c
Toon aan dat in het optimum $12 sin θ_{1} = 30 sin θ_{2}$ (hoeken met de loodlijn op de rand). Welke wet herken je?

2.8

Gulden snede met de hand

Toepassen7Rekenen20 min

gedaan

Zoek het maximum van

f (x) = x e^{- x}

[0, 3]

met de gulden snede (

φ = 0, 618

a
Voer drie stappen uit: noteer telkens a, b, x₁, x₂, f(x₁), f(x₂) en welk stuk je schrapt.
stap a b x₁ x₂ f(x₁) f(x₂)
b
Hoe lang is het interval na drie stappen? Controleer met de exacte oplossing (f′ = 0).

2.9

Perturb and observe: hoe groot moet de stap zijn?

Toepassen7Programmeren30 min

gedaan

Je onderzoekt de MPPT-methode uit het handboek met hetzelfde paneelmodel.

a
Schrijf een functie perturb_observe(u, stap, n) die n stappen zet en de lijst van gebruikte spanningen teruggeeft.
b
Bereken voor stappen van 2,0, 0,5 en 0,1 V het gemiddelde vermogen rond het MPP (na het inlopen). Hoeveel verlies je tegenover het MPP?
c
Waarom kiest een echte regelaar toch niet de kleinste stap?

2.10

Hoe hoog hangt de lamp?

Toepassen7Analyseren25 min

gedaan

Een groeilamp (als puntbron met lichtsterkte I) hangt op hoogte h boven het midden van het kweekbed van 1,2 m × 2,4 m. De verlichtingssterkte op een punt op horizontale afstand r is

E = \frac{I cos θ}{d ^{2}} = \frac{I h}{( h ^{2} + r ^{2} ) ^{3/2}}

a
Voor welke h is de verlichtingssterkte in een hoek van het bed maximaal?
b
Bereken bij die h de verhouding hoek/midden. Wat betekent dat voor het aantal lampen?
c
Welke twee doelen werken hier tegen elkaar in?

2.11

Een tank in roestvast staal, met lasnaden

Toepassen7Rekenen25 min

gedaan

Een alternatief voor de drinkwatertank: roestvast staal. Wandplaat kost € 60/m², bodem en deksel € 90/m², en elke meter lasnaad € 25 (twee rondnaden van 2πr en één langsnaad van h). Volume 0,50 m³.

a
Stel de kostenfunctie K(r) op.
b
Zonder lassen: zoek het optimum exact. Met lassen: zoek het numeriek.
c
Wat doen de lasnaden met de vorm? Verklaar.

2.12

Habitat: de drinkwatertank ontwerpen

Toepassen7Habitat60 min

gedaan

Het stationsdossier legt een drinkwatertank van 500 L vast. Werk het ontwerp zelf uit en verdedig het in een korte nota voor de bewoners. Gegeven: deur met 0,80 m vrije doorgang, technische ruimte 2,6 m hoog, woonmodule van 24 m², woningvloer berekend op ongeveer 2 kN/m², HDPE-tank.

a
Kies je doelen en randvoorwaarden en schrijf ze als formules in d.
b
Bereken voor minstens vijf diameters materiaal, vloeroppervlak, hoogte en waterdruk (tabel of programma).
d (m) h (m) A (m²) F (m²) p (kPa)
c
Kies een diameter met een gewogen som of een ε-methode. Toon hoe gevoelig je keuze is voor de gewichten.
d
Schrijf de nota (8 à 12 regels): keuze, argumenten, wat de tank vraagt van de vloer, en wat je nog moet nagaan.

Zo wordt dit beoordeeld

Opstellen	Doelen en voorwaarden correct als functie van d, met eenheden; domein juist.
Berekening	Tabel correct; optimum en actieve voorwaarde herkend; vlakheid van het optimum gezien.
Afweging	Gewogen som of ε-methode correct gebruikt; gevoeligheid voor de gewichten getoond.
Nota	Keuze helder en verdedigbaar; vloerbelasting (sokkel) en praktische punten (standaardmaat, luchtruimte, hygiëne) benoemd.

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

2.13

Waarom grote opslagtanks breed en laag zijn

Uitdagen9Analyseren40 min

gedaan

Bij een grote stalen tank moet de wand de waterdruk dragen: de ringspanning in een dunne wand is

σ = p r / t

, dus op diepte

y

onder het wateroppervlak is minstens

t (y) = ρ g y r / σ

nodig. Bodem en dak hebben een vaste dikte

t_{0}

a
Toon aan dat het staalvolume van de wand gelijk is aan $\frac{π ρ g r ^{2} h ^{2}}{σ}$ , en schrijf het totale staalvolume als functie van $r$ bij een vast volume $V$ .
b
Zoek het optimum en toon aan dat de optimale hoogte $h^{*} = 2 σ t_{0} / (ρ g)$ niet van $V$ afhangt.
c
Reken h* uit voor σ = 160 MPa en t₀ = 6 mm, en de optimale diameter voor 1000 m³ en 100 000 m³. Wat besluit je? Waarom geldt dit niet voor de tank van 500 L van het station?

Hint

Integreer t(y) over de hoogte (hoofdstuk 3), of gebruik dat de gemiddelde dikte de helft van de dikte onderaan is.

2.14

Bewijs zonder afgeleide

Uitdagen8Analyseren20 min

gedaan

Voor positieve getallen

a, b, c

geldt

\frac{a + b + c}{3} \geq 3 ab c

, met gelijkheid alleen als

a = b = c

(ongelijkheid van het rekenkundig en meetkundig gemiddelde).

a
Schrijf de oppervlakte van het blik als $A = 2 π r^{2} + \frac{V}{r} + \frac{V}{r}$ en gebruik de ongelijkheid om te bewijzen dat $A \geq 3 3 2 π V^{2}$ .
b
Wanneer geldt de gelijkheid? Toon aan dat daaruit h = 2r volgt.
c
Wat heeft dit bewijs dat de afleiding met f′ = 0 niet heeft?

2.15

Onderzoek: gradiëntafdaling en de stapgrootte

Uitdagen8Onderzoeken45 min

gedaan

Gebruik de open balkvormige bak uit het handboek:

A (l, b) = l b + \frac{2 V}{b} + \frac{2 V}{l}

met

V = 0, 5 m^{3}

, start in

(0, 45; 1, 80)

a
Programmeer de gradiëntafdaling en tel het aantal stappen tot de gradiënt kleiner is dan 10⁻⁶, voor η = 0,1; 0,3; 0,6 en 0,7.
b
Wat gebeurt er bij η = 0,7? Verklaar met een schets van het dal.
c
Tweede afgeleiden in het minimum: $A_{l l} = 4 V / l^{3}$ , $A_{bb} = 4 V / b^{3}$ en $A_{l b} = 1$ . Toon aan dat de stap stabiel is zolang $η < 2/3$ (de grootste eigenwaarde van de matrix is 3).

Zo wordt dit beoordeeld

Code	Correcte gradiënt, stopcriterium, bescherming tegen divergentie.
Waarneming	Aantal stappen per η correct; divergentie of oscillatie bij grote η vastgesteld.
Verklaring	Verband tussen stapgrootte en kromming (tweede afgeleide) gelegd.

2.16

Debat: optimaal of robuust?

Uitdagen8Argumenteren25 min

gedaan

Een collega: 'Waarom zoveel rekenwerk? Het optimum is toch vlak: neem gewoon een ronde maat.' Een andere collega: 'Een ontwerp dat optimaal is voor één scenario, faalt in het volgende. Ik wil geen optimum, ik wil marge.'

a
Geef voor elke stelling een sterk argument met een getal uit dit hoofdstuk.
b
Wanneer loont het echt om nauwkeurig te optimaliseren? Geef twee voorbeelden uit het station.

ZelfevaluatieKleur per doel: lukt al / bijna / nog niet

Ik kan stationaire punten van een functie bepalen en met een tekenschema of de tweede afgeleide beslissen of het een maximum, minimum of buigpunt is.
Ik kan het globale extremum op een gesloten interval vinden door stationaire punten, randen en knikken te vergelijken.
Ik kan een optimalisatieprobleem opstellen: variabelen met eenheden, een doelfunctie, randvoorwaarden en het domein.
Ik kan klassieke problemen oplossen en interpreteren: het blik met het minste materiaal, maximale vermogensoverdracht, de kortste of goedkoopste weg.
Ik kan uitleggen waarom een optimum vlak is en wat dat betekent voor ontwerpvrijheid en toleranties.
Ik kan numeriek optimaliseren met een rooster, bisectie op de afgeleide, de gulden snede en perturb and observe, en de methoden vergelijken.
Ik kan meerdere doelen afwegen met een gewogen som of een Pareto-front en een ontwerpkeuze onderbouwen.
Ik kan het idee van partiële afgeleiden en gradiëntafdaling toepassen op een probleem met twee variabelen.

stap	a	b	x₁	x₂	f(x₁)	f(x₂)

d (m)	h (m)	A (m²)	F (m²)	p (kPa)