StemExpert

Expert · Werkboek · 4. Differentiaalvergelijkingen en simulatie
StemExpert · Brecht Corbeel · schoolium.me

EExpert · deel E1 · Wiskundige gereedschapskist

Werkboek · hoofdstuk 4Differentiaalvergelijkingen en simulatie

Wie weet hoe snel iets verandert, kan uitrekenen hoe het verder gaat: exact of stap voor stap

Je oefent eerst het opstellen, controleren en exact oplossen van differentiaalvergelijkingen en de methode van Euler met de hand. Daarna pas je ze toe op de module, de woonmodule, de algen en een sensorfilter, ook in Python. De uitdagingen vragen afleidingen, een onderzoek naar stijve stelsels en stapgrootte, en een open modelleervraag. Opdracht 4.11 is de Habitat-opdracht.

5× oefenen6× toepassen5× uitdagen± 480 min0/16 gedaan

WWiskundig modelleren PProgrammeren en computationeel denken EEnergie BLeven en systemen

Wat de sensor in de meetkas meet, kan het brein van het station nu ook voorspellen: met een model van hoe snel de kas opwarmt en afkoelt.

Hoe lees je een opdracht?

Drie tredenOefenen Toepassen Uitdagen

Elk hoofdstuk bouwt op: eerst oefenen (één stap, direct toepassen), dan toepassen (meerdere stappen, in een context), dan uitdagen (transfer, open problemen, andere leerlijnen erbij).

De StemExpert-schaal5

Eén moeilijkheidsschaal van 1 tot 9 over de drie niveaus heen: Fundamental loopt van 1 tot 4, Intermediate van 3 tot 7, Expert van 6 tot 9. Zo zie je dat de uitdaging van het ene niveau de oefening van het volgende is.

Oefenen

één stap, direct toepassen

4.1

Een oplossing controleren

Oefenen6Rekenen15 min

gedaan

Controleer telkens of de functie een oplossing is van de vergelijking én voldoet aan de beginwaarde. Toon je berekening.

a
$y (t) = 3 e^{- 2 t}$ voor $\overset{y}{˙} = - 2 y$ , $y (0) = 3$ .
b
$u (t) = 12 (1 - e^{- 50 t})$ voor $0, 02 \overset{u}{˙} = 12 - u$ , $u (0) = 0$ . Wat is $τ$ ?
c
$T (t) = 20 + 5 e^{- t}$ voor $\dot{T} = - (T - 20)$ , $T (0) = 30$ .
d
$N (t) = \frac{10}{1 + 9 e ^{- t}}$ voor $\dot{N} = N (1 - N /10)$ , $N (0) = 1$ .

4.2

Van woorden naar een vergelijking

Oefenen6Begrijpen20 min

gedaan

Schrijf voor elke situatie een differentiaalvergelijking. Geef de eenheid van elke constante, het evenwicht, en zeg of de vergelijking lineair is.

a
De batterij van de meetkas verliest in rust 3 % van haar lading per maand (zelfontlading).
b
Een regenton loopt leeg door een kraantje onderaan; het debiet is evenredig met de wortel uit de waterhoogte h (Torricelli).
c
Een fles uit de koelkast (4 °C) warmt op in een kamer van 21 °C met een tijdconstante van 40 minuten.
d
In een afgesloten kamer met één bewoner stijgt de CO₂-concentratie met 760 ppm per uur (hoofdstuk 14 van I). Wat verandert er als je verlucht met een debiet Q?

4.3

Een richtingsveld lezen en schetsen

Oefenen6Tekenen15 min

gedaan

De figuur toont het richtingsveld van

\frac{d y}{d t} = t - y

Het richtingsveld van dy/dt = t − y.

a
Waar zijn de lijnstukjes horizontaal? Teken die lijn in de figuur.
b
Schets de oplossingen door (0; 0), (0; 2) en (0; 3).
c
Eén oplossing is een rechte. Welke? Controleer door in te vullen.
d
Wat gebeurt er met alle oplossingen voor grote t?

4.4

Scheiden van veranderlijken

Oefenen6Rekenen20 min

gedaan

Los op en beantwoord de vraag. Geef eenheden.

a
$\overset{y}{˙} = - 0, 2 y$ ( $t$ in s), $y (0) = 50$ . Bereken de halveringstijd en $y (10)$ .
b
$\dot{N} = 0, 35 N$ ( $t$ in h), $N (0) = 1000$ bacteriën. Bereken de verdubbelingstijd en $N$ na 24 h.
c
$\dot{T} = - (T - 20) /15$ ( $t$ in min), $T (0) = 80$ °C. Wanneer is $T = 30$ °C?
d
$\overset{y}{˙} = y^{2}$ met $y (0) = 1$ . Wat is er vreemd aan de oplossing?

4.5

Euler met de hand

Oefenen6Rekenen20 min

gedaan

Gegeven

\overset{y}{˙} = y - t

met

y (0) = 2

. De exacte oplossing is

y = t + 1 + e^{t}

a
Zet drie stappen Euler met h = 0,5 tot t = 1,5. Noteer telkens de helling.
n t y (Euler) helling f y exact fout
b
Bereken y(0,5) opnieuw met twee stappen van 0,25. Hoeveel keer kleiner is de fout?
c
Waarom ligt Euler hier onder de echte oplossing?

Toepassen

meerdere stappen, in een context

4.6

De klimaatmodule in een lentenacht

Toepassen7Rekenen25 min

gedaan

Om 22 uur gaan de lampen van de klimaatmodule uit; het is dan 26 °C binnen en 4 °C buiten. Met de nachtbuffer (hoofdstuk 18 van I) is C ≈ 1,1 MJ/K; het warmteverlies is 20,2 W/K, met nachtscherm 16,3 W/K (hoofdstuk 19 van I). De sla mag niet onder 16 °C.

a
Stel de differentiaalvergelijking op en bereken τ.
b
Bereken de temperatuur om 6 uur, zonder en met nachtscherm.
c
Simuleer zonder nachtscherm met Euler met stappen van 2 h. Hoe groot is de fout om 6 uur? Is die stap stabiel?
d
Hoe lang mag de nacht (zonder scherm) duren voor de sla onder 16 °C zakt?

4.7

CO₂ in de woonmodule

Toepassen7Rekenen30 min

gedaan

De woonmodule is 6,0 × 4,0 × 2,6 m. Twee bewoners ademen elk ongeveer 1,0 kg CO₂ per dag uit (hoofdstuk 14 van I). CO₂ heeft bij 20 °C een dichtheid van 1,83 kg/m³. Buiten is er 420 ppm. De ventilatie ververst Q m³ lucht per uur. Waarschuwing bij 1000 ppm.

a
Bereken de CO₂-productie G in m³/h en stel een vergelijking op voor de concentratie c (als volumefractie).
b
Zonder ventilatie: hoeveel ppm per uur stijgt c, en na hoeveel minuten wordt 1000 ppm bereikt vanaf 420 ppm?
c
Met Q = 50 m³/h: bereken het evenwicht, τ en de tijd tot 1000 ppm vanaf 420 ppm.
d
Welk debiet is minstens nodig om onder 1000 ppm te blijven? Hoeveel keer per uur is dat de lucht van de module?

4.8

τ uit een afkoelcurve

Toepassen7Analyseren25 min

gedaan

Na een stroomuitval logt het station om het half uur de binnentemperatuur. Buiten meet de sensor −8,0 °C. De snelle warmtecapaciteit van het station is 540 kJ/K.

$t$ (h)	0,0	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0
$T$ (°C)	20,0	15,6	12,1	9,1	6,4	4,2	2,3	0,9	−0,8

a
Bereken $ln (T + 8)$ voor elke meting en toon dat die punten ongeveer op een rechte liggen.
t (h) T (°C) ln(T + 8)
b
Bepaal τ uit de helling (met een rekenblad of Python), en ook uit enkel de eerste en de laatste meting.
c
Hoe groot is het warmteverlies UA volgens deze meting?
d
Stel dat het buiten eigenlijk −7,0 °C was. Welke τ vind je dan met ln(T + 7)? Wat leer je daaruit?

4.9

Euler in Python op de algen

Toepassen7Programmeren25 min

gedaan

De algen in het testreservoir volgen

\dot{N} = r N (1 - N / K)

met

r = 0, 70

per dag,

K = 7, 7 \cdot 1 0^{5}

per mL en

N (0) = 1900

per mL.

a
Schrijf een functie euler(f, y0, t0, t1, h) en simuleer tot dag 10 met h = 1; 0,5; 0,25; 0,1 en 0,01 dag.
b
Vergelijk met de exacte oplossing op dag 10. Bevestigt de fout dat Euler van orde 1 is?
c
Waarom is een stap van 1 dag hier zo slecht, terwijl de algen maar één keer per dag verdubbelen?

4.10

Het filter op de batterijmeting

Toepassen7Rekenen25 min

gedaan

De batterijspanning van de module komt via een deler (100 kΩ boven, 33 kΩ onder) op A3, met 100 nF over de onderste weerstand (hoofdstuk 22 van I). Als de lampen aangaan, zakt de batterij van 13,30 V naar 12,80 V.

a
Stel met de knooppuntwet een vergelijking op voor de spanning u over de condensator. Toon dat τ = (R₁ ∥ R₂) · C, en bereken τ.
b
Hoe lang duurt het tot u minder dan één ADC-stap (4,88 mV) van de nieuwe waarde af ligt?
c
Simuleer de sprong met Euler met stappen van 1 ms en van 5 ms (5 stappen volstaan). Wat gebeurt er?

4.11

Habitat: een warmtebuffer voor de meetkas

Toepassen7Habitat60 min

gedaan

Het team wil eis K7 halen: 's nachts minstens 1 °C warmer dan buiten. Gebruik kas.py uit het handboek (C = 30 kJ/K, a = 0,30 m², UA = 16,7 W/K) en simuleer drie keer dezelfde aprildag na elkaar. Water: 4,19 kJ/K per liter. Het energiebudget van de meetkas is 44 tot 63 Wh per dag.

a
Pas kas.py aan zodat het drie dagen simuleert en P_verw en extra water (in liter) als parameter heeft.
b
Vul de tabel in voor: niets, 17 W verwarming van 21 tot 6 uur, 20 L water, 40 L water.
variant T max (°C) kleinste T − Tb 's nachts energie per nacht (Wh)
c
Welke oplossing kies je? Weeg K7, het energiebudget, de hoogste temperatuur en de praktische inpassing af.
d
Welke twee beperkingen van het model kunnen je conclusie veranderen, en hoe test je ze?

Zo wordt dit beoordeeld

Simulatie	Drie dagen, laatste dag geëvalueerd; P_verw alleen 's nachts; water als extra C.
Resultaten	Tabel volledig en juist, met eenheden.
Afweging	K7, energie (17 W · 9 h ≈ 150 Wh tegenover ±50 Wh per dag), temperatuur overdag en plaats/gewicht afgewogen.
Kritiek	Eén knoop als bovengrens; koppeling water-lucht en trage massa; een proef met de logger voorgesteld.

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

4.12

De logistische oplossing afleiden

Uitdagen8Analyseren30 min

gedaan

Het handboek gaf de oplossing van

\dot{N} = r N (1 - N / K)

met een schets van de afleiding. Maak ze volledig.

a
Toon dat $\frac{K}{N ( K - N )} = \frac{1}{N} + \frac{1}{K - N}$ en leid daarmee $N (t)$ af voor $0 < N_{0} < K$ .
b
Toon dat $N (t)$ een buigpunt heeft waar $N = K /2$ , op $t^{*} = \frac{1}{r} ln \frac{K - N _{0}}{N _{0}}$ . Bereken $t^{*}$ en $\dot{N} (t^{*})$ voor de algen ( $r = 0, 704$ per dag, $K = 7, 68 \cdot 1 0^{5}$ , $N_{0} = 1900$ ).
c
Wat verandert er in de afleiding als N₀ > K? Is de formule dan nog geldig?

4.13

De fout van Euler, exact

Uitdagen9Analyseren30 min

gedaan

Voor

\overset{y}{˙} = - y / τ

kan je de Euler-benadering exact opschrijven:

y_{n} = (1 - h / τ)^{n} y_{0}

t = nh

a
Toon met $ln (1 - x) = - x - \frac{1}{2} x^{2} - \dots$ dat $\frac{y _{n}}{y ( t )} \approx 1 - \frac{t h}{2 τ ^{2}}$ voor kleine $h / τ$ .
b
Leid daaruit de fout van het station af (het verschil met buiten is $28 e^{- t / τ}$ ) op $t = 3 h$ , en vergelijk met de kolom fout/h van euler.py.
c
Voor welke t is de absolute fout het grootst (bij vaste h)? Interpreteer.
d
Wat zegt $(1 - h / τ)^{n}$ als $h > 2 τ$ ?

4.14

Onderzoek: een stijf stelsel

Uitdagen9Onderzoeken45 min

gedaan

Het station (

τ = 3 h

K = 0, 020

°C/W) wordt verwarmd met constant 1000 W; zijn sensor volgt met

τ_{s} = 60 s

(hoofdstuk 39). Met

y

de stijging boven buiten en

y_{m}

de meting:

τ \overset{y}{˙} = - y + K u

τ_{s} \overset{y}{˙}_{m} = y - y_{m}

a
Simuleer twee uur met Euler voor dt = 10, 60, 110 en 130 s en druk y en y_m af.
b
Verklaar het resultaat met de stabiliteitsgrens. Welke tijdconstante beslist, en waarom?
c
De impliciete Euler gebruikt de helling aan het eind van de stap: $y_{n + 1} = y_{n} + h f (y_{n + 1})$ . Toon dat die voor $\overset{y}{˙} = - y / τ$ geeft $y_{n + 1} = y_{n} / (1 + h / τ)$ , en dat ze voor elke $h > 0$ stabiel is.

Zo wordt dit beoordeeld

Code	Correct stelsel, beide toestanden tegelijk bijgewerkt (met de oude waarden).
Analyse	Grens 2τ_s = 120 s herkend; de snelste tijdconstante beslist, al is ze oninteressant.
Impliciet	Afleiding correct; \|1/(1 + h/τ)\| < 1 voor elke h > 0.

4.15

Open modelleervraag: algen oogsten

Uitdagen8Onderzoeken50 min

gedaan

In hoofdstuk 31 kweekt het station algen voor zuurstof. Stel dat ze logistisch groeien zoals in het testreservoir (r = 0,70 per dag, K = 7,7 · 10⁵ per mL) in een vat van 60 L, en dat je ze oogst.

a
Continu oogsten met een fractie $E$ per dag: $\dot{N} = r N (1 - N / K) - E N$ . Zoek de evenwichten en de voorwaarde op $E$ opdat de kweek niet uitsterft.
b
De oogst per dag is E · N*. Welke E geeft de grootste oogst (hoofdstuk 2)? Hoeveel cellen per dag is dat voor het hele vat?
c
Eén keer per dag oogsten is praktischer: elke dag een fractie f weghalen, daartussen logistisch groeien. Welke f is best (simuleer)? Vergelijk met continu.
d
Waarom zegt de K van het testreservoir weinig over een echte algenreactor? Welke grootheden zou je eerst meten?

Zo wordt dit beoordeeld

Model	Evenwichten 0 en K(1 − E/r); voorwaarde E < r; stabiliteit besproken.
Optimum	E = r/2, N* = K/2, oogst rK/4, per vat omgerekend.
Simulatie	Dagelijkse oogst correct gemodelleerd; optimum gevonden en vergeleken.
Kritiek	K hangt af van licht (en voeding, CO₂); r en K meten in de reactor zelf.

4.16

Programmeeronderzoek: hoe klein moet de stap zijn?

Uitdagen9Programmeren45 min

gedaan

Je weet niet altijd wat de exacte oplossing is. Dan schat je de numerieke fout door de stap te halveren. Gebruik kas.py (C = 30 kJ/K, a = 0,30 m²) en bekijk de temperatuur om 14:00.

a
Bereken T(14:00) met stappen van 60, 30, 15, 7,5, 3,75, ... minuten (zeven stappen). Maak een tabel.
b
Toon dat het verschil tussen twee opeenvolgende resultaten telkens ongeveer halveert. Wat zegt dat?
c
Bij orde 1 is $T (h) \approx T^{*} + c h$ . Leid af dat $T^{*} \approx 2 T (h /2) - T (h)$ (extrapolatie van Richardson) en schat zo de exacte waarde.
d
Welke stap volstaat voor een fout onder 0,05 °C? Waarom rekent de Pi toch met 1 minuut?

Zo wordt dit beoordeeld

Code	Stappen correct gehalveerd, telkens tot 14:00 gesimuleerd.
Orde	Halverende verschillen herkend als orde 1.
Richardson	Afleiding en toepassing correct.
Keuze	Stap met onderbouwde marge; stabiliteit (τ ≈ 30 min) mee in rekening gebracht.

ZelfevaluatieKleur per doel: lukt al / bijna / nog niet

Ik kan een veranderingsproces vertalen in een differentiaalvergelijking dy/dt = f(y, t) met een beginwaarde, als balans van wat erin komt en eruit gaat, en de eenheden en evenwichten ervan interpreteren.
Ik kan een richtingsveld lezen en schetsen en er oplossingskrommen in tekenen.
Ik kan een oplossing controleren door ze in te vullen, en exponentiële groei en verval, de afkoelingswet van Newton, de RC-kring en de logistische vergelijking oplossen door scheiden van veranderlijken.
Ik kan tijdconstante, halverings- en verdubbelingstijd, groeisnelheid en draagkracht berekenen en uit metingen schatten.
Ik kan de methode van Euler afleiden uit de raaklijn en toepassen, met de hand en in Python, ook op een stelsel.
Ik kan de fout van Euler tegenover de stapgrootte verklaren (orde 1) en de stabiliteitsgrens h < 2τ afleiden en gebruiken.
Ik kan een simulatie vergelijken met metingen en uit de residuen afleiden of een parameter slecht gekozen is of een mechanisme ontbreekt.
Ik kan een eerste warmtemodel van de meetkas simuleren en er een onderbouwde ontwerpbeslissing mee nemen.

n	t	y (Euler)	helling f	y exact	fout

variant	T max (°C)	kleinste T − Tb 's nachts	energie per nacht (Wh)