IIntermediate · deel I3 · Mechanica

Oplossingen · hoofdstuk 7Beweging beschrijven

Plaats, snelheid en versnelling: drie grafieken die samen één beweging vertellen

Uitgewerkte oplossingen bij de 17 opdrachten van het werkboek. Voor de leerkracht, en voor wie zichzelf wil verbeteren nadat hij het eerst zelf probeerde.

5× oefenen7× toepassen5× uitdagen± 424 min

KKrachten, beweging en constructies WWiskundig modelleren

Het schuifpaneel van het kasdak moet zacht vertrekken en zacht stoppen: hoe beschrijf je zo'n beweging precies?

Voor de leerkrachtDeze pagina bevat de antwoorden. Druk het werkboek af zonder deze pagina.

Oefenen

één stap, direct toepassen

7.1

Heen en terug

Oefenen3Begrijpen10 min

Een lift vertrekt op de tweede verdieping (

y = 6 m

, de as wijst omhoog met de oorsprong op het gelijkvloers), gaat naar de vijfde (

y = 15 m

) en daarna naar de kelder (

y = - 3 m

a
Bereken de verplaatsing van de hele rit.
$Δ y = - 3 - 6 = - 9 m$ : netto 9 m naar beneden.
b
Bereken de afgelegde weg.
$(15 - 6) + (15 - (- 3)) = 9 + 18 = 27 m$ .
c
Kan de afgelegde weg ooit kleiner zijn dan de grootte van de verplaatsing? Kan de verplaatsing nul zijn terwijl de afgelegde weg dat niet is? Geef een voorbeeld.
Nee: de kortste weg tussen twee punten langs een rechte is de rechte zelf, dus de afgelegde weg is minstens de grootte van de verplaatsing. Wel kan de verplaatsing nul zijn met een afgelegde weg groter dan nul: een lift die van het gelijkvloers naar boven en terug rijdt, of een zwemmer die een baan heen en terug zwemt.

7.2

Een (x,t)-grafiek lezen

Oefenen3Analyseren15 min

Een wandelaar loopt in een lange gang heen en weer. De grafiek toont zijn plaats.

Vier rechte stukken: telkens een constante snelheid.

a
Bereken de snelheid in elk van de vier stukken, met teken.
0-20 s: +30 m in 20 s, +1,5 m/s. 20-30 s: 0 m, 0 m/s. 30-50 s: −20 m in 20 s, −1,0 m/s. 50-60 s: +15 m in 10 s, +1,5 m/s.
b
Wanneer stond de wandelaar stil? Wanneer liep hij het snelst?
Stil van 20 tot 30 s (vlak stuk). Het snelst in het eerste en het laatste stuk, allebei 1,5 m/s (de steilste stukken; het teken zegt enkel de zin).
c
Bereken de verplaatsing, de afgelegde weg, de gemiddelde snelheid en de gemiddelde baansnelheid over de hele minuut.
Verplaatsing $25 - 0 = + 25 m$ ; afgelegde weg $30 + 20 + 15 = 65 m$ ; $v_{gem} = 25/60 = 0, 42 m/s$ ; gemiddelde baansnelheid $65/60 = 1, 08 m/s$ .

7.3

Rekenen met een ERB

Oefenen3Rekenen15 min

Een trein rijdt aan constante snelheid over een rechte spoorlijn. Op

t = 0

passeert hij een sein op kilometerpaal 12,0 (km), in de zin van stijgende kilometerpalen, aan 126 km/h.

a
Schrijf de plaats $x (t)$ in km met $t$ in uur, en ook in m met $t$ in s.
$x (t) = 12, 0 km + 126 km/h \cdot t$ ; in SI: $126/3, 6 = 35 m/s$ , dus $x (t) = 12000 m + 35 m/s \cdot t$ .
b
Bij welke kilometerpaal is hij na 5,0 minuten?
$5, 0 min = 300 s$ : $12000 + 35 \cdot 300 = 22500 m$ , kilometerpaal 22,5.
c
Hoe lang doet hij over de 7,0 km tot de volgende halte? (Het afremmen verwaarloos je.)
$t = 7000/35 = 200 s = 3 min 20 s$ .

7.4

Versnellingen

Oefenen3Rekenen12 min

Bereken telkens de gemiddelde versnelling in m/s², met teken. Kies de bewegingszin als positieve zin.

a
Een sprinter gaat in 1,5 s van 0 naar 7,5 m/s.
$a = 7, 5/1, 5 = 5, 0 m/ s^{2}$ .
b
Een auto gaat in 9,5 s van 0 naar 100 km/h.
$100/3, 6 = 27, 8 m/s$ ; $a = 27, 8/9, 5 = 2, 9 m/ s^{2}$ .
c
Een fietser remt in 4,0 s van 25 km/h tot stilstand.
$25/3, 6 = 6, 94 m/s$ ; $a = (0 - 6, 94) /4, 0 = - 1, 7 m/ s^{2}$ (vertraging).
d
Een vallende steen (naar beneden positief) gaat in 0,50 s van 2,0 naar 6,9 m/s. Wat valt je op?
$a = (6, 9 - 2, 0) /0, 50 = 9, 8 m/ s^{2}$ : de valversnelling $g$ , onafhankelijk van hoe snel de steen al ging.

7.5

Welke grafiek hoort erbij?

Oefenen4Begrijpen12 min

Vier (v,t)-grafieken zonder getallen. De horizontale as is telkens

v = 0

Vier bewegingen langs een rechte, als (v,t)-grafiek.

a
Koppel elke beschrijving aan een grafiek: (1) een auto op cruisecontrol; (2) een steen die je loslaat, naar beneden positief; (3) een fietser die remt voor een rood licht en blijft staan; (4) een bal die je recht omhoog gooit tot hij terugvalt, omhoog positief.
1-A, 2-B, 3-C, 4-D.
b
In welke grafiek(en) is de versnelling negatief? In welke wordt het voorwerp op een bepaald moment sneller terwijl de versnelling negatief is?
Negatief in C en D (dalende lijn). In D wordt de bal na het omkeerpunt sneller: v en a zijn dan allebei negatief (de bal valt).
c
Schets bij grafiek C de (x,t)-grafiek.
Eerst stijgend en steeds minder steil (bol, parabooltak), daarna horizontaal vanaf het moment dat v nul is: de fietser staat stil op een vaste plaats.

Toepassen

meerdere stappen, in een context

7.6

De rit van een tram

Toepassen4Analyseren20 min

Een tram rijdt tussen twee haltes. Onderweg vertraagt hij voor een kruispunt.

Vijf rechte stukken tussen de twee haltes.

a
Bereken de versnelling in elk stuk en teken de (a,t)-grafiek.
0-8 s: $10/8 = 1, 25 m/ s^{2}$ ; 8-28 s: 0; 28-32 s: $(4 - 10) /4 = - 1, 5 m/ s^{2}$ ; 32-40 s: 0; 40-44 s: $- 4/4 = - 1, 0 m/ s^{2}$ . (a,t): trappen op 1,25; 0; −1,5; 0; −1,0.
b
Bereken de afstand tussen de haltes met oppervlaktes.
Driehoek $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 = 40 m$ ; rechthoek $20 \cdot 10 = 200 m$ ; trapezium $\frac{10 + 4}{2} \cdot 4 = 28 m$ ; rechthoek $8 \cdot 4 = 32 m$ ; driehoek $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8 m$ . Samen 308 m.
c
Bereken de gemiddelde snelheid in km/h. Waarom mag je hier niet $(v_{0} + v) /2$ gebruiken?
$308/44 = 7, 0 m/s = 25 km/h$ . De formule $(v_{0} + v) /2$ geldt alleen bij een constante versnelling; hier zou ze $(0 + 0) /2 = 0$ geven.

7.7

Optrekken en remmen

Toepassen4Rekenen20 min

Twee situaties met een constante versnelling.

a
Een elektrische auto gaat in 7,5 s van 0 naar 100 km/h. Bereken zijn versnelling en de afstand die hij daarvoor nodig heeft.
$v = 27, 8 m/s$ ; $a = 27, 8/7, 5 = 3, 7 m/ s^{2}$ ; $Δ x = \frac{1}{2} \cdot 3, 70 \cdot 7, 5^{2} = 104 m$ .
b
Een trein remt gelijkmatig van 120 km/h tot stilstand over 800 m. Bereken de vertraging en de remtijd.
$v_{0} = 33, 3 m/s$ . Zonder tijd: $0 - 33, 3^{2} = 2 a \cdot 800$ , dus $a = - 0, 69 m/ s^{2}$ . Remtijd $33, 3/0, 694 = 48 s$ .
c
Controleer je antwoord op de eerste vraag met de gemiddelde snelheid.
$v_{gem} = (0 + 27, 8) /2 = 13, 9 m/s$ en $13, 9 \cdot 7, 5 = 104 m$ . Klopt.

7.8

Maak een reactielat

Toepassen4Maken25 min

In hoofdstuk 1 mat je je reactietijd met een vallende lat: een partner laat de lat los, jij knijpt zo snel mogelijk. Nu maak je een lat waarop je de reactietijd meteen afleest in plaats van de valafstand.

a
Leid uit de formules van de vrije val af hoe ver de lat valt in een tijd $t$ .
De lat maakt een vrije val vanuit rust: $d = \frac{1}{2} g t^{2} = 4, 905 \cdot t^{2}$ (d in m).
b
Bereken de valafstand voor de reactietijden in de tabel.
0,10 s: 4,9 cm; 0,15 s: 11,0 cm; 0,20 s: 19,6 cm; 0,25 s: 30,7 cm; 0,30 s: 44,1 cm.
c
Plak een strook papier op een lat en zet de merktekens erop. Waarom liggen de streepjes niet op gelijke afstanden?
De lat valt steeds sneller, dus in elke volgende 0,05 s legt ze een groter stuk af: 4,9 → 6,1 → 8,6 → 11,0 → 13,5 cm tussen de streepjes. Het verband is kwadratisch, niet lineair.
d
Test de lat met vijf klasgenoten. Hoe nauwkeurig kan je aflezen tussen 0,20 en 0,25 s?
Tussen 0,20 en 0,25 s liggen 11 cm: met een millimeterverdeling lees je gemakkelijk op 0,01 s nauwkeurig. Dat de lat niet recht gehouden wordt of de vingers niet op de nullijn staan, geeft grotere fouten.

Zo wordt dit beoordeeld

Formule	$d = \frac{1}{2} g t^{2}$ met de lat vanuit rust; eenheden omgezet naar cm.
Merktekens	Vijf merktekens binnen 2 mm van de berekende plaats, vanaf de nullijn gemeten.
Uitleg	Ongelijke afstanden verklaard met de toenemende snelheid (kwadratisch verband).
Test	Vijf metingen genoteerd; afleesnauwkeurigheid realistisch ingeschat.

7.9

De vuistregels van de rijschool

Toepassen5Analyseren20 min

Cursussen voor het Belgische rijbewijs B geven op een droog wegdek bij 50 km/h een reactieafstand van 15 m en een remafstand van 12,5 m; bij 90 km/h 27 m en 40,5 m; bij 120 km/h 36 m en 72 m. Op een nat wegdek is de remafstand bij 120 km/h 108 m. Als veilige volgafstand geven ze 'de snelheid gedeeld door twee' (in meter).

a
Welke reactietijd zit in de reactieafstanden? Is ze bij alle drie de snelheden dezelfde?
$t_{r} = d / v$ : $15/13, 9 = 1, 08 s$ ; $27/25, 0 = 1, 08 s$ ; $36/33, 3 = 1, 08 s$ . Telkens 1,08 s: de regel is 'snelheid gedeeld door 10, maal 3'.
b
Welke remvertraging zit in de remafstanden op een droog wegdek? En op nat wegdek bij 120 km/h?
$a = v^{2} / (2 d)$ : $13, 9^{2} /25 = 7, 7 m/ s^{2}$ ; $25, 0^{2} /81 = 7, 7$ ; $33, 3^{2} /144 = 7, 7 m/ s^{2}$ . Nat: $33, 3^{2} /216 = 5, 1 m/ s^{2}$ .
c
Vergelijk met de waarden in het handboek (1,0 s en 7,0 m/s²). Wie rekent voorzichtiger?
De rijschool neemt een iets langere reactietijd (1,08 s) maar een iets grotere remvertraging (7,7 m/s²). Bij 50 km/h geeft dat 27,5 m tegenover 27,7 m: praktisch hetzelfde.
d
De volgafstand bij 120 km/h is 60 m, veel minder dan de stopafstand van 108 m. Waarom is die volgafstand toch meestal veilig? Wanneer niet?
Als de voorligger remt, heeft hij zelf ook een remafstand nodig: jij moet alleen je reactieafstand plus het verschil overbruggen. 60 m bij 120 km/h is 1,8 s, genoeg voor je reactietijd. Niet veilig is het als de voorligger plots stilstaat (een aanrijding, een file achter een bocht), of als jij slechtere remmen of banden hebt dan hij.

7.10

Van een (v,t)-grafiek naar de twee andere

Toepassen5Tekenen25 min

Een lift rijdt van het gelijkvloers naar boven. Omhoog is positief.

Optrekken, constante snelheid, afremmen.

a
Bereken de versnelling in de drie fasen en teken de (a,t)-grafiek.
0-2 s: $+ 1, 0 m/ s^{2}$ ; 2-10 s: 0; 10-12 s: $- 1, 0 m/ s^{2}$ .
b
Bereken de hoogte na 2, 10 en 12 s en teken de (x,t)-grafiek. Let op de vorm van elk stuk.
Na 2 s: 2 m (parabooltak, hol); na 10 s: 2 + 16 = 18 m (rechte, helling 2 m/s); na 12 s: 18 + 2 = 20 m (parabooltak, bol, horizontaal uitlopend).
c
In dit gebouw is elke verdieping 4,0 m hoog. Naar welke verdieping reed de lift?
$20/4, 0 = 5$ : naar de vijfde verdieping.

7.11

Labo: meet een versnelde beweging

Toepassen5Labo50 min

Voer de proef met het karretje uit het handboek uit, met de afstandssensor of met videoanalyse. Kies zelf een hellingshoek tussen 2° en 6°.

a
Noteer je metingen (om de 0,2 s).
Plaatsen die elk interval meer toenemen; snelheden die telkens met ongeveer hetzelfde bedrag stijgen.
b
Teken de (x,t)- en de (v,t)-grafiek.
Parabool voor (x,t), rechte door (ongeveer) de oorsprong voor (v,t).
c
Bepaal de versnelling uit de (v,t)-grafiek. Vergelijk met $g sin α$ .
De helling van de (v,t)-rechte. Bij 4° voorspelt $g sin 4^{\circ} = 0, 68 m/ s^{2}$ ; een meting een paar procent tot 10 % lager is normaal (wrijving, draaiende wielen).
d
Waarom schommelen de snelheden meer dan de plaatsen? Hoe maak je dat kleiner?
Een snelheid is een verschil van twee plaatsen gedeeld door een kleine tijd: de meetfouten van twee plaatsen tellen op en worden door 0,2 s gedeeld. Kleiner maken: een groter interval nemen (minder punten, wel nauwkeuriger), of een parabool fitten door alle (x,t)-punten en daaruit a halen.

Zo wordt dit beoordeeld

Opstelling	Hoek gemeten (hoogte en lengte), karretje vanuit rust losgelaten, sensor uitgelijnd.
Verwerking	Snelheden per interval correct berekend en in het midden van het interval uitgezet.
Grafieken	Assen met grootheid en eenheid, best passende parabool en rechte.
Besluit	Versnelling met eenheid; vergelijking met g sin α; verschil verklaard.

7.12

Python: een noodstop in stapjes

Toepassen5Programmeren20 min

Dit programma rekent de noodstop vanaf 50 km/h uit het handboek na, in stapjes van 0,1 s.

v = 50 / 3.6       # beginsnelheid (m/s)
T_R = 1.0          # reactietijd (s)
A_REM = -7.0       # versnelling tijdens het remmen (m/s2)
DT = 0.1           # tijdstap (s)

x = 0.0
stap = 0
while v > 0:
    t = stap * DT
    if t < T_R:
        a = 0.0
    else:
        a = A_REM
    x = x + v * DT
    v = v + a * DT
    stap = stap + 1
print("stil na", round(stap * DT, 1), "s en", round(x, 1), "m")

a
Wat doet de if-regel? Welk deel van de stopafstand hoort bij a = 0.0?
Zolang t kleiner is dan de reactietijd, remt de auto nog niet (a = 0): dat is de reactieafstand. Daarna remt hij met −7,0 m/s².
b
Voer het programma uit. Wat print het? Vergelijk met de 27,7 m uit het handboek.
stil na 3.0 s en 28.4 m (gecontroleerd). Dat is 0,7 m meer dan de exacte 27,7 m.
c
Verklaar het verschil. Tip: welke snelheid gebruikt de regel x = x + v * DT in elk stapje, en daalt de snelheid in dat stapje?
Het programma neemt in elk stapje de snelheid aan het begin van het stapje, terwijl de snelheid tijdens het remmen daalt. Elk stapje telt dus een iets te hoog rechthoekje: de som is te groot. Tijdens de reactietijd klopt het wel, want daar is v constant.
d
Maak DT tien keer kleiner. Wat print het nu? Pas het programma aan voor een natte weg (5,0 m/s²) en een afgeleide bestuurder (2,0 s).
Met DT = 0.01: stil na 3.0 s en 27.7 m. Nat en afgeleid: T_R = 2.0, A_REM = -5.0; exact $13, 9 \cdot 2, 0 + 13, 9^{2} /10 = 27, 8 + 19, 3 = 47, 1 m$ , het programma geeft met DT = 0,01 stil na 4.8 s en 47.1 m.

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

7.13

Habitat: het kasdak sluit bij regen

Uitdagen6Habitat40 min

Als de regensensor van de klimaatmodule regen meet, moet het schuifpaneel (slag 0,60 m) sneller dicht dan de 7,0 s bij het gewone openen: binnen 5,0 s. De motor haalt hoogstens 0,15 m/s. Hoe groter de versnelling, hoe groter de kracht op de riem (hoofdstuk 8), dus je wil ze zo klein mogelijk houden.

a
Toon aan dat de totale tijd voor een profiel 'aanlopen, constant, afremmen' (gelijke versnelling en vertraging $a$ , topsnelheid $v$ , slag $s$ ) gelijk is aan $T = \frac{s}{v} + \frac{v}{a}$ .
Aanlopen en afremmen duren elk $v / a$ en leggen elk $\frac{v ^{2}}{2 a}$ af. De middenfase legt $s - \frac{v ^{2}}{a}$ af aan snelheid $v$ : tijd $\frac{s}{v} - \frac{v}{a}$ . Totaal: $\frac{s}{v} - \frac{v}{a} + 2 \frac{v}{a} = \frac{s}{v} + \frac{v}{a}$ .
b
Lukt het binnen 5,0 s met a = 0,10 m/s² en v = 0,15 m/s? En met a = 0,20 m/s²?
$a = 0, 10$ : $T = 0, 60/0, 15 + 0, 15/0, 10 = 4, 0 + 1, 5 = 5, 5 s$ : te traag. $a = 0, 20$ : $4, 0 + 0, 75 = 4, 75 s$ : lukt.
c
Welke versnelling is minstens nodig om met 0,15 m/s precies binnen 5,0 s te sluiten?
$5, 0 = 4, 0 + 0, 15/ a$ , dus $a = 0, 15 m/ s^{2}$ (aanlopen in 1,0 s).
d
Teken voor je gekozen profiel de (a,t)-, (v,t)- en (x,t)-grafiek onder elkaar, met getallen op de assen.
Met a = 0,15 m/s² en v = 0,15 m/s: (a,t) trappen +0,15 (0-1 s), 0 (1-4 s), −0,15 (4-5 s). (v,t): trapezium tot 0,15 m/s. (x,t): 0,075 m na 1 s, 0,525 m na 4 s, 0,60 m na 5 s.
e
Noteer je keuze in je portfolio, met één zin over wat er gebeurt als de motor bij vorst trager draait (0,12 m/s).
Bijvoorbeeld: 'a = 0,20 m/s² en v = 0,15 m/s: dicht in 4,75 s, met wat marge.' Bij 0,12 m/s: $T = 0, 60/0, 12 + 0, 12/0, 20 = 5, 0 + 0, 6 = 5, 6 s$ : de eis wordt niet gehaald. Een iets snellere motor of een kleinere slag lost dat op.

Zo wordt dit beoordeeld

Afleiding	Tijden en afstanden van de drie fasen correct opgeteld en vereenvoudigd tot s/v + v/a.
Berekening	Beide profielen correct getoetst; minimale versnelling 0,15 m/s².
Grafieken	Drie grafieken op één tijdas, met juiste vormen (trappen, trapezium, parabool-rechte-parabool) en getallen.
Reflectie	Gevolg van een tragere motor berekend en besproken.

7.14

De put, exact

Uitdagen6Rekenen25 min

In het handboek liet je een steen in een put vallen en hoorde je hem na 2,4 s. Nu houd je rekening met de looptijd van het geluid (343 m/s). Noem de diepte

h

a
Schrijf de valtijd $t_{1}$ en de looptijd van het geluid $t_{2}$ als functie van $h$ .
$t_{1} = \frac{2 h}{g}$ (vrije val vanuit rust) en $t_{2} = \frac{h}{343}$ (ERB van het geluid).
b
Stel $t_{1} + t_{2} = 2, 4 s$ . Substitueer $u = h$ en los de vierkantsvergelijking in $u$ op.
$\frac{u ^{2}}{343} + 0, 4515 u - 2, 4 = 0$ : $D = 0, 4515 2^{2} + 4 \cdot \frac{2 , 4}{343} = 0, 20387 + 0, 02799 = 0, 23186$ ; $u = \frac{- 0 , 45152 + 0 , 48152}{2/343} = 5, 144$ ; $h = u^{2} = 26, 5 m$ . (De negatieve oplossing voor u valt weg.) Valtijd 2,32 s, geluid 0,08 s.
c
Hoe groot is de fout als je het geluid verwaarloost, in meter en in procent?
$28, 3 - 26, 5 = 1, 8 m$ , ongeveer 7 % te diep.

7.15

Zone 30: een debat met cijfers

Uitdagen6Argumenteren35 min

De gemeente wil de straat voor de school van 50 naar 30 km/h brengen. Een buurtbewoner vindt dat onzin: 'Het scheelt maar 20 km/h, en een goede chauffeur remt toch op tijd.' Werk in groepjes van twee: de ene verdedigt de zone 30, de andere zoekt de zwakke plekken in de argumenten.

a
Bereken de stopafstand bij 30 en bij 50 km/h op een droge en op een natte weg (5,0 m/s²), met een reactietijd van 1,0 s.
Droog: 13,3 m en 27,7 m. Nat: $8, 3 + 8, 3 3^{2} /10 = 8, 3 + 6, 9 = 15, 3 m$ en $13, 9 + 13, 9^{2} /10 = 13, 9 + 19, 3 = 33, 2 m$ .
b
Op welke afstand moet een kind opduiken opdat de auto aan 50 km/h het nog raakt met meer dan 30 km/h (droog)?
Snelheid bij het kind hoger dan 30 km/h = 8,33 m/s: $8, 3 3^{2} = 13, 9^{2} - 14 (d - 13, 9)$ , dus $d - 13, 9 = \frac{192 , 9 - 69 , 4}{14} = 8, 8 m$ en $d = 22, 7 m$ . Duikt het kind binnen 22,7 m op, dan is de botssnelheid groter dan 30 km/h.
c
Hoeveel langer duurt een rit van 400 m door de zone aan 30 km/h dan aan 50 km/h?
$400/8, 33 = 48 s$ tegenover $400/13, 9 = 29 s$ : 19 s langer.
d
Schrijf je drie sterkste argumenten op, elk met een getal, en het sterkste tegenargument.
Bijvoorbeeld: (1) aan 30 km/h staat de auto na 13 m stil, aan 50 km/h pas na 28 m; (2) waar de auto aan 30 al stilstaat (13,3 m), rijdt hij aan 50 nog 50 km/h (hij remt dan nog niet eens); (3) het tijdverlies is 19 s per 400 m. Tegenargument: 'een goede chauffeur let op' – maar de reactietijd van 1 s is al die van een alerte chauffeur, en kinderen zijn onvoorspelbaar.

Zo wordt dit beoordeeld

Berekeningen	Vier stopafstanden correct; eenheden omgezet.
Analyse	Afstand voor een botsing boven 30 km/h correct met de formule zonder tijd.
Argumentatie	Argumenten met getallen, eerlijk tegenover het tijdverlies.
Luisteren	Het tegenargument ernstig genomen en beantwoord.

7.16

Een bal omhoog

Uitdagen6Analyseren20 min

Je gooit een bal recht omhoog met 12 m/s en vangt hem op dezelfde hoogte weer op. Omhoog is positief; luchtweerstand verwaarloos je.

Een rechte die door de t-as gaat.

a
Wanneer bereikt de bal de top? Hoe lees je dat af, en wat is dan de versnelling?
Waar de rechte de t-as snijdt: $t = 12/9, 81 = 1, 22 s$ . De helling is overal $- 9, 81 m/ s^{2}$ , ook daar.
b
Hoe hoog komt de bal boven je hand? Gebruik een oppervlakte, en controleer met de formule zonder tijd.
Driehoek boven de as: $\frac{1}{2} \cdot 1, 22 \cdot 12 = 7, 3 m$ . Zonder tijd: $0 - 1 2^{2} = 2 \cdot (- 9, 81) \cdot Δ y$ geeft $Δ y = 7, 3 m$ .
c
Wanneer vang je hem, en met welke snelheid? Leg uit met de oppervlaktes boven en onder de t-as.
Na $2 \cdot 1, 22 = 2, 45 s$ , met $- 12 m/s$ : de driehoek onder de as moet even groot zijn als die erboven (netto verplaatsing nul), en dat kan alleen als hij even breed en even hoog is.
d
Een klasgenoot zegt: 'Op de top is de bal even gewichtloos, dus is de versnelling daar nul.' Wat antwoord je?
De snelheid is op de top even nul, maar ze blijft veranderen: de helling van de (v,t)-grafiek is daar niet nul. Was a nul, dan bleef v nul en bleef de bal hangen. De zwaartekracht werkt de hele tijd (hoofdstuk 8).

7.17

Onderzoek: versnelling en hellingshoek

Uitdagen7Onderzoeken60 min

Hoofdstuk 6 voorspelt dat de zwaartekracht langs een helling een component

m g sin α

heeft. Zonder wrijving zou een karretje dus versnellen met

a = g sin α

. Klopt dat, en wat verandert de wrijving?

a
Formuleer een onderzoeksvraag, een hypothese en een voorspelling voor α = 2°, 4° en 6°.
Bijvoorbeeld: 'Hoe hangt de versnelling van een karretje af van de hellingshoek?' Hypothese $a = g sin α$ . Voorspelling: 2°: 0,34; 4°: 0,68; 6°: 1,03 m/s².
b
Beschrijf je opstelling, je variabelen en hoe je de hoek nauwkeurig instelt.
Veranderen: de hoek (hoogte van de blokjes, α = sin⁻¹(hoogte / planklengte)). Meten: a (sensor of video). Constant: karretje, lading, startplaats, plank, meetmethode.
c
Voer uit: meet voor minstens vijf hoeken de versnelling (drie keer per hoek).
Versnellingen die met de hoek stijgen, telkens iets lager dan de voorspelling.
d
Zet $a$ uit tegen $sin α$ . Wat verwacht je zonder wrijving? Wat betekenen de helling en het snijpunt van jouw rechte?
Zonder wrijving: een rechte door de oorsprong met helling $g = 9, 81 m/ s^{2}$ . Met rolweerstand ligt de rechte lager: ze snijdt de horizontale as bij een kleine positieve $sin α$ (onder die hoek blijft het karretje staan), en de helling is iets kleiner dan g omdat ook de wielen moeten gaan draaien. Hoofdstuk 8 geeft de formule $a = g (sin α - μ cos α)$ .

Zo wordt dit beoordeeld

Onderzoeksopzet	Vraag, hypothese en voorspelling; één variabele veranderd, de rest constant (karretje, startpunt, plank).
Metingen	Vijf hoeken, drie herhalingen, gemiddelde en spreiding.
Linearisering	a tegen sin α uitgezet (hoofdstuk 3), rechte getekend, helling en snijpunt met eenheid.
Interpretatie	Helling vergeleken met g; snijpunt verklaard als wrijving.