EExpert · deel E4 · Elektrotechniek en elektronica
Oplossingen · hoofdstuk 21Filters en signaalverwerking
Ruis beperken terwijl betekenis en reactietijd behouden blijven
Uitgewerkte oplossingen bij de 12 opdrachten van het werkboek. Voor de leerkracht, en voor wie zichzelf wil verbeteren nadat hij het eerst zelf probeerde.
Een filterontwerp wordt met zowel amplitude als reactietijd gecontroleerd.
Voor de leerkrachtDeze pagina bevat de antwoorden. Druk het werkboek af zonder deze pagina.
Oefenen
Oefenen
één stap, direct toepassen
21.1
Een kantelpunt berekenen
Oefenen6Rekenen25 min
Laagdoorlaat R = 10 kΩ en C = 1 µF.
a
Bereken τ, fc en overdracht bij 1, 15,9 en 159 Hz.
τ = 0,010 s, fc = 15,915 Hz. |H| bij genoemde frequenties ≈ 0,9980; 0,70745; 0,09960. Fase wordt steeds negatiever; een kantelpunt is geen harde blokkering.
21.2
Decibel omkeren
Oefenen6Rekenen25 min
Een filter heeft −12 dB amplitudeniveau.
a
Bereken de amplitudeverhouding en bij gelijke impedanties de vermogensverhouding.
Amplitude = 10^(−12/20) = 0,25119. Vermogen = 10^(−12/10) = 0,06310. −12 dB is dus geen 12 % en geen negatieve spanning.
21.3
Laag- of hoogdoorlaat
Oefenen6Begrijpen25 min
Je wil (a) langzame temperatuur meten met snelle ruis; (b) een kleine trilling zien bovenop een DC-offset.
a
Kies filtersoort voor beide situaties en benoem een verlies van nuttige informatie.
(a) Laagdoorlaat: snelle echte temperatuurverandering kan ook worden vertraagd. (b) Hoogdoorlaat: DC en heel langzame trillingen verdwijnen. Zonder kennis van frequentiegebied kan je niet bewijzen dat alleen storing verwijderd wordt.
21.4
Aliasing herkennen
Oefenen6Rekenen25 min
Sinus f = 73 Hz, sampletempo 100 Hz.
a
Bereken aliasfrequentie. Wat verandert bij fs = 200 Hz?
Bij 100 Hz: |73−100| = 27 Hz. Bij 200 Hz ligt 73 binnen 0–100 Hz en is zonder andere componenten geen vouw nodig. Een analoog filter blijft nodig voor frequenties boven de nieuwe Nyquistband.
Toepassen
Toepassen
meerdere stappen, in een context
21.5
Twee RC-trappen
Toepassen7Rekenen25 min
Twee onbelaste en met buffers gescheiden identieke laagdoorlaten hebben fc = 20 Hz.
a
Bereken totale amplitude en fase bij 20 en 200 Hz.
Bij 20 Hz elk 1/√2 en −45°: totaal 0,50, −6,02 dB, −90°. Bij 200 Hz elk 1/√101: totaal 1/101 = 0,009901, −40,09 dB, fase −168,58°.
b
Waarom mogen twee passieve trappen zonder buffer niet zomaar worden vermenigvuldigd?
De tweede trap belast de eerste en verandert haar effectieve impedantie. Vermenigvuldigen van onbelaste transferfuncties vraagt scheiding/buffering of verwaarloosbare belasting.
21.6
Groot venster, grote vertraging
Toepassen7Analyseren25 min
NTC witte ruis σ = 0,10 K; N = 28 onafhankelijke metingen op 1 Hz zoals de onzekerheidsanalyse van e06.
a
Bereken de ruis na middelen en de online groepsvertraging.
σ = 0,10/√28 = 0,01890 K; groepsvertraging (28−1)/2 = 13,5 s. Op 1 Hz vraagt een volledig nieuw venster 28 monsters.
b
Waarom wordt de totale standaardonzekerheid niet 0,019 K?
IJking en andere systematische bijdragen blijven. e06 geeft na middelen totale u≈0,07 K, groter dan het ruisdeel; het filter verbetert precisie maar corrigeert geen offset.
21.7
Een exponentieel filter uitvoeren
Toepassen7Programmeren25 min
Vorige y = 20,0 °C; nieuwe x = 21,0 °C; Δt = 2 s, τ = 8 s.
a
Bereken α en nieuwe y; schrijf een functie die dt als argument krijgt.
α = 1−exp(−2/8) = 0,221199. ynew = 20 + α·1 = 20,221199 °C. Functie: def filter_stap(x,y,dt,tau): return y + (1-math.exp(-dt/tau))*(x-y).
b
Verklaar de fout bij een vast α wanneer het loggerinterval verdubbelt.
Bij vast α is de afvlakking per monster constant, niet per seconde. Verdubbeling van dt verdubbelt dan de fysieke tijdconstante; bereken α uit werkelijke dt.
21.8
Een spectrum met bekende componenten
Toepassen7Analyseren25 min
Maak x = sin(2π·10t) + 0,5sin(2π·40t), fs = 200 Hz, N = 200, t = arange(N)/fs.
a
Bereken rfft en rfftfreq, en normaliseer amplitudes met 2/N. Geef frequentieafstand en pieken.
z = np.fft.rfft(x); f = np.fft.rfftfreq(N,1/fs); a = 2*abs(z)/N. Δf=fs/N=1 Hz, pieken 10 Hz met amplitude 1 en 40 Hz met 0,5. DC/Nyquist zouden eigen factor nodig hebben.
b
Herhaal met N = 180 en verklaar het verschil.
Δf = 200/180 = 1,111… Hz; het venster bevat 9 perioden op 10 Hz en 36 op 40 Hz, nog precies geheel. Deze twee frequenties lekken dus niet! Kies bijvoorbeeld N = 175: 8,75 en 35 perioden, waarbij vooral 10 Hz lekt. Het doel is de vensterinhoud berekenen voordat je 'lekkage' concludeert.
Uitdagen
Uitdagen
transfer, open problemen, leerlijnen combineren
21.9
Een onherstelbaar opnameprobleem
Uitdagen9Onderzoeken50 min
Een logger neemt eenmaal per seconde een 490,196 Hz-storing op. Je ziet een golf van ongeveer vijf seconden.
a
Bewijs algebraïsch dat een digitaal laagdoorlaatfilter niet kan vaststellen of de bron 0,196 of 490,196 Hz was.
Op k seconden: sin(2π·490,196k) = sin(2π·0,196k+2π·490k) = sin(2π·0,196k). Elke bewerking van dezelfde samples levert dezelfde uitkomst; de bron is niet identificeerbaar uit deze reeks alleen.
b
Ontwerp een diagnoseproef met gewijzigde samplefrequentie en/of ingangfilter.
Meet sneller met bekende tijdstippen en een passend analoog filter, of wijzig fs en vergelijk vouwfrequentie. Zet PWM tijdelijk op bekende andere frequentie/duty in een veilige proef. Een echte langzame grootheid verandert niet volgens de aliasformule. Log ook voedingsspanning en PWM-fase.
Zo wordt dit beoordeeld
Signaalpad
Analoog filter vóór ADC, samplefrequentie en digitale decimatie duidelijk.
Afweging
Ruisvermindering en vertraagde detectie beide kwantitatief getoetst.
Veiligheid
Ruwe grenscontrole en sensorvaliditeit behouden; geen alarmverlies door middelen.
21.10
Ontwerp op een storingsbudget
Uitdagen9Ontwerpen50 min
Nuttig signaal tot 1 Hz; sinusruis 100 mV bij 500 Hz mag na analoog filter maximaal 1 mV zijn. Eén RC; sampletempo 2000 Hz.
a
Bepaal maximale fc en beoordeel verlies op 1 Hz.
|H(500)|≤0,01 geeft 1+(500/fc)²≥10000, dus fc≤500/√9999≈5,00025 Hz. Bij fc=5 Hz geeft 1 Hz |H|=0,98058, −0,170 dB en −11,31°. τ≈31,83 ms.
b
Waarom bewijst dit geen bescherming tegen alle PWM-harmonischen?
De eis noemt één sinus. Een PWM-blok heeft harmonischen boven fs/2, die kunnen vouwen; brede ruis en ADC-belasting tellen ook. Een eerste-ordefilter heeft een beperkte helling; bepaal een volledig stopbandbudget en verhoog orde of sampletempo indien nodig.
Zo wordt dit beoordeeld
Signaalpad
Analoog filter vóór ADC, samplefrequentie en digitale decimatie duidelijk.
Afweging
Ruisvermindering en vertraagde detectie beide kwantitatief getoetst.
Veiligheid
Ruwe grenscontrole en sensorvaliditeit behouden; geen alarmverlies door middelen.
21.11
Habitat: filteren zonder blind alarm
Uitdagen9Habitat80 min
NTC σruis≈0,10 K, thermische sensorτ=60 s. A3 heeft 64 Hz-voorfilter; CO₂-waarschuwing op minuutgemiddelde, 5000 ppm-alarm op geldige losse metingen.
a
Teken per sensor de analoge acquisitie, digitale bewerking en alarmtak.
NTC/conditionering → ADC met passend analoog anti-aliaspad → validiteit → ruwe grenscontrole plus 5 s-filter → regeling en log. A3 behoudt zijn aparte deler/RC en heeft een eigen sample-/decimatieplan. CO₂ geldigheid splitst naar minuutwaarschuwing en losse 5000 ppm-grens.
b
Toets NTC-voorstel Δt=1 s en τfilter=5 s op ruis en stapvertraging.
α = 0,181269; σuit≈0,03157 K. Filter-95%-tijd alleen≈14,98 s. Met sensorτ=60 s is totale staprespons een cascade; simuleer beide vóór de eis wordt afgetekend.
c
Beschrijf ontbrekende samples, ADC-verzadiging en een alarmtest met een korte hoge CO₂-puls.
Lege/ongeldige samples tellen niet als nieuwe informatie. Bereik/railcontrole detecteert verzadiging, tijdstempel detecteert oud bericht. Alarm op korte geldige hoge puls blijft mogelijk via ruwe tak; filtertak mag de veiligheidsgrens niet verbergen. Plaats een afzonderlijke hardware-/sensorbewaking waar de risicoanalyse dat verlangt.
Zo wordt dit beoordeeld
Signaalpad
Analoog filter vóór ADC, samplefrequentie en digitale decimatie duidelijk.
Afweging
Ruisvermindering en vertraagde detectie beide kwantitatief getoetst.
Veiligheid
Ruwe grenscontrole en sensorvaliditeit behouden; geen alarmverlies door middelen.
21.12
Een mooie lijn kritisch beoordelen
Uitdagen9Argumenteren25 min
Een collega toont alleen een glad temperatuurverloop en zegt dat dit nauwkeuriger is dan alle ruwe waarden.
a
Geef een onderbouwde beoordeling met precisie, bias, vertraging en traceerbaarheid.
Middelen kan onafhankelijke ruis verminderen, maar ijkbias blijft en veranderingen vertragen. Zonder ruwe data, instellingen, tijdstippen en sensorvaliditeit kan je geen nauwkeurigheidsclaim toetsen. Bewaar beide reeksen en vergelijk tegen referentie en bekende stappen. Een gladde lijn kan aliasing of een defect verbergen; precisie is geen juistheid.
