EExpert · deel E1 · Wiskundige gereedschapskist

Oplossingen · hoofdstuk 2Optimaliseren

Het beste ontwerp vinden: waar de afgeleide nul is, op de rand, of numeriek

Uitgewerkte oplossingen bij de 16 opdrachten van het werkboek. Voor de leerkracht, en voor wie zichzelf wil verbeteren nadat hij het eerst zelf probeerde.

4× oefenen8× toepassen4× uitdagen± 402 min

WWiskundig modelleren DOntwerpen en maken

Hoe breed en hoe hoog moet een tank van 500 L zijn? Minder materiaal, minder vloer, door de deur: drie doelen tegelijk.

Voor de leerkrachtDeze pagina bevat de antwoorden. Druk het werkboek af zonder deze pagina.

Oefenen

één stap, direct toepassen

2.1

Stationaire punten en hun aard

Oefenen6Rekenen20 min

Bepaal de stationaire punten en zeg van elk of het een lokaal maximum, lokaal minimum of geen extremum is.

a
$f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 3$
$f^{'} (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 = 6 (x - 1) (x - 2)$ : stationair in 1 en 2. $f^{''} (x) = 12 x - 18$ : $f^{''} (1) = - 6 < 0$ maximum $f (1) = 2$ ; $f^{''} (2) = 6 > 0$ minimum $f (2) = 1$ .
b
$g (t) = t e^{- t /2}$ voor $t \geq 0$ (bv. het verloop van een concentratie na een dosis)
$g^{'} (t) = e^{- t /2} - \frac{t}{2} e^{- t /2} = e^{- t /2} (1 - \frac{t}{2})$ : nul in $t = 2$ . Links positief, rechts negatief: maximum $g (2) = 2/ e \approx 0, 736$ .
c
$h (x) = x^{4} - 4 x^{3}$
$h^{'} (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} = 4 x^{2} (x - 3)$ : stationair in 0 en 3. In 0 wisselt het teken niet (negatief aan beide kanten): buigpunt met horizontale raaklijn. In 3 van $-$ naar $+$ : minimum $h (3) = - 27$ .

2.2

Extrema lezen uit de grafiek van de afgeleide

Oefenen6Begrijpen15 min

Een sensor geeft alleen de veranderingssnelheid door. De grafiek toont f′ op het interval [−3, 4].

Je ziet niet f zelf, alleen haar afgeleide f′.

a
Waar stijgt f, waar daalt ze?
f stijgt waar f′ > 0: van −3 tot −2 en van 3 tot 4. f daalt van −2 tot 3 (in x = 1 staat ze even stil).
b
Waar heeft f een lokaal maximum, waar een lokaal minimum? Is x = 1 een extremum?
Lokaal maximum in x = −2 (f′ van + naar −), lokaal minimum in x = 3 (van − naar +). In x = 1 raakt f′ de as zonder van teken te wisselen: geen extremum, maar een buigpunt met horizontale raaklijn.
c
Waar heeft f ongeveer een buigpunt? Hoe zie je dat in deze grafiek?
Een buigpunt van f ligt waar f′ een extremum heeft (f″ = 0): bij x ≈ −1,1 (minimum van f′), x = 1 (maximum van f′) en x ≈ 2,4 (minimum van f′).

2.3

Het proefveld met één gevel

Oefenen6Rekenen10 min

Je hebt 20 m gaas voor drie zijden van een rechthoekig veld tegen een muur.

a
Stel de doelfunctie op en bereken de afmetingen met de grootste oppervlakte.
$A = x (20 - 2 x)$ , $A^{'} = 20 - 4 x = 0 \Rightarrow x = 5 m$ , dan $y = 10 m$ en $A = 50 m^{2}$ .
b
Hoeveel procent oppervlakte verlies je als je de diepte 10 % kleiner maakt dan optimaal?
$x = 4, 5$ : $A = 4, 5 \cdot 11 = 49, 5 m^{2}$ , dus 1 % minder. Een vlak optimum: 10 % afwijking kost 1 %.

2.4

Extrema op een gesloten interval

Oefenen6Rekenen12 min

Bepaal het globale maximum en minimum van

f (x) = x^{3} - 3 x

[- 2, 3]

a
Zoek alle kandidaten en vergelijk hun waarden.
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$ . Waarden: $f (- 2) = - 2$ , $f (- 1) = 2$ , $f (1) = - 2$ , $f (3) = 18$ . Globaal maximum 18 in $x = 3$ (rand); globaal minimum $- 2$ , tweemaal: in $x = - 2$ (rand) en in $x = 1$ .
b
Waarom volstaat f′(x) = 0 hier niet om het maximum te vinden?
Het globale maximum ligt op de rand, waar de afgeleide niet nul is (f′(3) = 24). Randen zijn altijd kandidaten.

Toepassen

meerdere stappen, in een context

2.5

Een bak uit één plaat

Toepassen7Rekenen15 min

Uit een vierkante plaat PP van 60 cm × 60 cm snijd je in elke hoek een vierkant weg en plooi je de randen omhoog tot een open bak.

a
Stel het volume op als functie van de zijde x van de weggesneden vierkanten. Wat is het domein?
$V (x) = x (60 - 2 x)^{2}$ (cm³), met $0 < x < 30$ .
b
Bereken de x met het grootste volume, en dat volume in liter.
$V^{'} (x) = (60 - 2 x)^{2} - 4 x (60 - 2 x) = (60 - 2 x) (60 - 6 x) = 0 \Rightarrow x = 10 cm$ ( $x = 30$ geeft $V = 0$ ). $V (10) = 10 \cdot 4 0^{2} = 16000 c m^{3} = 16 L$ . Tekenschema: $V^{'} > 0$ voor $x < 10$ , $V^{'} < 0$ tussen 10 en 30: maximum.

2.6

Vermogen of rendement?

Toepassen7Rekenen15 min

Een thermo-elektrische generator op de kachel van het station gedraagt zich als een bron van 4,0 V met 2,0 Ω inwendige weerstand. Hij laadt een kleine buffer voor een noodlampje.

a
Bij welke belasting levert hij het grootste vermogen? Hoe groot is dat, met welk rendement?
$R = r = 2, 0 Ω$ : $P = U^{2} / (4 r) = 16/8 = 2, 0 W$ bij 50 % rendement.
b
Bereken vermogen en rendement voor R = 6 Ω. Wat zou je kiezen, en waarom?
$R = 6 Ω$ : $I = 4/8 = 0, 5 A$ , $P = 0, 25 \cdot 6 = 1, 5 W$ , $η = 6/8 = 75 %$ . De warmte van de kachel is gratis, dus hier telt het vermogen: kies $R \approx r$ . Bij een batterij, waar elke joule telt, kies je het rendement.

2.7

De goedkoopste leiding naar de meetkas

Toepassen7Rekenen25 min

Een waterleiding loopt van de technische ruimte (punt A, 4,0 m van de rand van het terras, in het gras) naar de meetkas (punt B, 3,0 m ver op het terras). Langs de rand gemeten liggen A en B 10,0 m uit elkaar. Graven in het gras kost € 12 per meter, tegels uitbreken en terugleggen € 30 per meter. De leiding loopt recht naar een punt op de rand, op afstand x van het voetpunt van A, en dan recht naar B.

a
Stel de kostenfunctie K(x) op.
$K (x) = 12 4^{2} + x^{2} + 30 3^{2} + (10 - x)^{2}$ (€), $0 \leq x \leq 10$ .
b
Zoek het minimum numeriek (rooster of bisectie op K′). Vergelijk met de rechte lijn van A naar B.
$K^{'} (x) = \frac{12 x}{16 + x ^{2}} - \frac{30 ( 10 - x )}{9 + ( 10 - x ) ^{2}}$ . Bisectie geeft $x = 8, 83 m$ en $K = €213$ . De rechte lijn (kruist de rand bij $x = 5, 71$ ) kost € 241: 13 % duurder. Het optimum loopt lang door het goedkope gras.
c
Toon aan dat in het optimum $12 sin θ_{1} = 30 sin θ_{2}$ (hoeken met de loodlijn op de rand). Welke wet herken je?
$K^{'} = 0$ zegt $12 \cdot \frac{x}{16 + x ^{2}} = 30 \cdot \frac{10 - x}{9 + ( 10 - x ) ^{2}}$ , en die breuken zijn $sin θ_{1}$ en $sin θ_{2}$ . Numeriek: $sin θ_{1} = 0, 911$ , $sin θ_{2} = 0, 364$ , verhouding $2, 50 = 30/12$ . De brekingswet van Snellius, zoals Fermat haar vond: de kost per meter speelt de rol van de traagheid van het licht.

2.8

Gulden snede met de hand

Toepassen7Rekenen20 min

Zoek het maximum van

f (x) = x e^{- x}

[0, 3]

met de gulden snede (

φ = 0, 618

a
Voer drie stappen uit: noteer telkens a, b, x₁, x₂, f(x₁), f(x₂) en welk stuk je schrapt.
Met x₁ = b − 0,618 (b − a) en x₂ = a + 0,618 (b − a): stap 1: [0,000; 3,000], x₁ = 1,146, x₂ = 1,854, f = 0,3643 en 0,2903, schrap rechts van x₂; stap 2: [0,000; 1,854], x₁ = 0,708, x₂ = 1,146, f = 0,3488 en 0,3643, schrap links van x₁; stap 3: [0,708; 1,854], x₁ = 1,146, x₂ = 1,416, f = 0,3643 en 0,3436, schrap rechts van x₂.
b
Hoe lang is het interval na drie stappen? Controleer met de exacte oplossing (f′ = 0).
Na drie stappen $[0, 708; 1, 416]$ : lengte $0, 708 = 3 \cdot 0, 61 8^{3}$ . Exact: $f^{'} (x) = e^{- x} (1 - x) = 0 \Rightarrow x = 1$ , en 1 ligt in het interval.

2.9

Perturb and observe: hoe groot moet de stap zijn?

Toepassen7Programmeren30 min

Je onderzoekt de MPPT-methode uit het handboek met hetzelfde paneelmodel.

Schrijf een functie perturb_observe(u, stap, n) die n stappen zet en de lijst van gebruikte spanningen teruggeeft.

Zie de code hieronder (de functie en de meting in één programma).

import math

ISC, VOC, A = 10.9, 41.0, 2.44
I0 = ISC / (math.exp(VOC / A) - 1)


def P(u):
    return u * (ISC - I0 * (math.exp(u / A) - 1))


def perturb_observe(u, stap, n):
    """n stappen perturb and observe vanaf spanning u; geeft de lijst van gebruikte spanningen."""
    richting, vorig, spoor = +1, P(u), []
    for _ in range(n):
        u += richting * stap
        nu = P(u)
        if nu < vorig:                 # slechter geworden: keer om
            richting = -richting
        vorig = nu
        spoor.append(u)
    return spoor


P_MPP = max(P(i / 1000) for i in range(41000))          # referentie: fijn rooster
for stap in (2.0, 0.5, 0.1):
    spoor = perturb_observe(20.0, stap, 300)
    laatste = spoor[-60:]                                # na het inlopen
    gem = sum(P(u) for u in laatste) / len(laatste)
    stappen = next(k for k, u in enumerate(spoor) if abs(u - 34.4) < stap)
    print("stap %.1f V: na %3d stappen bij het MPP, gemiddeld %.2f W (verlies %.2f W)" % (stap, stappen + 1, gem, P_MPP - gem))

b
Bereken voor stappen van 2,0, 0,5 en 0,1 V het gemiddelde vermogen rond het MPP (na het inlopen). Hoeveel verlies je tegenover het MPP?
Echte uitvoer:
```
stap 2.0 V: na   7 stappen bij het MPP, gemiddeld 345.26 W (verlies 4.62 W)
stap 0.5 V: na  28 stappen bij het MPP, gemiddeld 349.53 W (verlies 0.35 W)
stap 0.1 V: na 143 stappen bij het MPP, gemiddeld 349.87 W (verlies 0.01 W)
```
Het verlies daalt ongeveer kwadratisch met de stap: het optimum is vlak, dus een schommeling rond de top kost weinig.
c
Waarom kiest een echte regelaar toch niet de kleinste stap?
Als de zon verandert (een wolk), verschuift het MPP. Met een kleine stap duurt het lang om het nieuwe MPP te bereiken; met een grote stap volg je sneller maar schommel je meer. Echte regelaars passen de stap aan (groot als het vermogen sterk verandert, klein rond de top).

2.10

Hoe hoog hangt de lamp?

Toepassen7Analyseren25 min

Een groeilamp (als puntbron met lichtsterkte I) hangt op hoogte h boven het midden van het kweekbed van 1,2 m × 2,4 m. De verlichtingssterkte op een punt op horizontale afstand r is

E = \frac{I cos θ}{d ^{2}} = \frac{I h}{( h ^{2} + r ^{2} ) ^{3/2}}

a
Voor welke h is de verlichtingssterkte in een hoek van het bed maximaal?
$r = 0, 6^{2} + 1, 2^{2} = 1, 342 m$ . $\frac{d E}{d h} = I \frac{( h ^{2} + r ^{2} ) ^{3/2} - h \cdot \frac{3}{2} ( h ^{2} + r ^{2} ) ^{1/2} \cdot 2 h}{( h ^{2} + r ^{2} ) ^{3}} = 0 \Rightarrow h^{2} + r^{2} = 3 h^{2} \Rightarrow h = r / 2 = 0, 949 m$ .
b
Bereken bij die h de verhouding hoek/midden. Wat betekent dat voor het aantal lampen?
In het midden $E = I / h^{2}$ ; verhouding $\frac{h ^{3}}{( h ^{2} + r ^{2} ) ^{3/2}} = 0, 19$ . De hoek krijgt maar ongeveer een vijfde van het midden: één lamp geeft een erg ongelijk bed. Daarom hangt de module twee lampen (en reflectoren).
c
Welke twee doelen werken hier tegen elkaar in?
Zoveel mogelijk licht op het bed (lamp laag) tegenover een gelijkmatig bed (lamp hoog). Een hoogte die de hoek maximaliseert, is niet het beste voor de planten in het midden.

2.11

Een tank in roestvast staal, met lasnaden

Toepassen7Rekenen25 min

Een alternatief voor de drinkwatertank: roestvast staal. Wandplaat kost € 60/m², bodem en deksel € 90/m², en elke meter lasnaad € 25 (twee rondnaden van 2πr en één langsnaad van h). Volume 0,50 m³.

a
Stel de kostenfunctie K(r) op.
$K (r) = 60 \cdot \frac{2 V}{r} + 90 \cdot 2 π r^{2} + 25 (4 π r + \frac{V}{π r ^{2}})$ (€), $V = 0, 5 m^{3}$ .
b
Zonder lassen: zoek het optimum exact. Met lassen: zoek het numeriek.
Zonder lassen: $r^{3} = \frac{60 V}{2 π \cdot 90}$ , $r = 0, 376 m$ ( $d = 0, 75 m$ , $h / d = 90/60 = 1, 5$ ). Met lassen (rooster met stap 0,1 mm): $r = 0, 344 m$ , $d = 0, 69 m$ , $h = 1, 35 m$ , $K = €383$ .
c
Wat doen de lasnaden met de vorm? Verklaar.
De rondnaden groeien met r, de langsnaad met h. Bij een kleine tank weegt de rondnaad (4πr) het zwaarst, dus wordt de tank iets smaller en hoger dan zonder lassen.

2.12

Habitat: de drinkwatertank ontwerpen

Toepassen7Habitat60 min

Het stationsdossier legt een drinkwatertank van 500 L vast. Werk het ontwerp zelf uit en verdedig het in een korte nota voor de bewoners. Gegeven: deur met 0,80 m vrije doorgang, technische ruimte 2,6 m hoog, woonmodule van 24 m², woningvloer berekend op ongeveer 2 kN/m², HDPE-tank.

a
Kies je doelen en randvoorwaarden en schrijf ze als formules in d.
Doelen: materiaal $A (d) = \frac{π d ^{2}}{2} + \frac{4 V}{d}$ en vloeroppervlak $F (d) = \frac{π d ^{2}}{4}$ (beide minimaal). Voorwaarden: $d \leq 0, 78 m$ (deur), $h = \frac{4 V}{π d ^{2}} \leq 2, 2 m$ (plafond), dus $0, 54 \leq d \leq 0, 78 m$ .

Bereken voor minstens vijf diameters materiaal, vloeroppervlak, hoogte en waterdruk (tabel of programma).

Zie de uitvoer van tank.py in het handboek:

  d (m)  h (m)  A (m2)  extra  F (m2)  p (kPa)  toegelaten
  0.54   2.183  4.162   19.3%  0.229   21.4    ja
  0.60   1.768  3.899   11.8%  0.283   17.3    ja
  0.70   1.299  3.627    4.0%  0.385   12.7    ja
  0.78   1.046  3.520    0.9%  0.478   10.3    ja
  0.86   0.861  3.487    0.0%  0.581    8.4    nee
  1.00   0.637  3.571    2.4%  0.785    6.2    nee
beste toegelaten diameter: 0.780 m (h = 1.046 m)

c
Kies een diameter met een gewogen som of een ε-methode. Toon hoe gevoelig je keuze is voor de gewichten.
Bv. $J = 0, 7 A / A_{ref} + 0, 3 F / F_{ref}$ geeft $d \approx 0, 65 m$ . Met $w_{2} = 0, 1$ ligt het optimum op 0,78 m (de deurgrens), met $w_{2} = 0, 5$ bij 0,54 m. Of met de ε-methode: minimaal materiaal met $F \leq 0, 40 m^{2}$ geeft $d = 0, 714 m$ (de grootste toegelaten diameter, want $A$ daalt tot 0,86 m).
d
Schrijf de nota (8 à 12 regels): keuze, argumenten, wat de tank vraagt van de vloer, en wat je nog moet nagaan.
Bijvoorbeeld: 'We kiezen een gesloten HDPE-tank van 0,78 m binnendiameter en ±1,05 m waterhoogte (plus luchtruimte). Ze past door de deur, vraagt minder dan 1 % meer materiaal dan de theoretisch zuinigste vorm en neemt 0,48 m² vloer in. Vol weegt ze ±530 kg: dat is ±11 kN/m² onder de tank, vijf keer wat een woningvloer draagt; ze komt dus op een eigen sokkel op de fundering. Na te gaan: welke standaardmaat het dichtst ligt, de hoogte van de aansluitingen, een ontluchting, en hoe de tank gereinigd wordt.'

Zo wordt dit beoordeeld

Opstellen	Doelen en voorwaarden correct als functie van d, met eenheden; domein juist.
Berekening	Tabel correct; optimum en actieve voorwaarde herkend; vlakheid van het optimum gezien.
Afweging	Gewogen som of ε-methode correct gebruikt; gevoeligheid voor de gewichten getoond.
Nota	Keuze helder en verdedigbaar; vloerbelasting (sokkel) en praktische punten (standaardmaat, luchtruimte, hygiëne) benoemd.

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

2.13

Waarom grote opslagtanks breed en laag zijn

Uitdagen9Analyseren40 min

Bij een grote stalen tank moet de wand de waterdruk dragen: de ringspanning in een dunne wand is

σ = p r / t

, dus op diepte

y

onder het wateroppervlak is minstens

t (y) = ρ g y r / σ

nodig. Bodem en dak hebben een vaste dikte

t_{0}

a
Toon aan dat het staalvolume van de wand gelijk is aan $\frac{π ρ g r ^{2} h ^{2}}{σ}$ , en schrijf het totale staalvolume als functie van $r$ bij een vast volume $V$ .
Wandvolume $= \int_{0}^{h} 2 π r t (y) d y = 2 π r \cdot \frac{ρ g r}{σ} \cdot \frac{h ^{2}}{2} = \frac{π ρ g r ^{2} h ^{2}}{σ}$ . Met $h = V / (π r^{2})$ : $\frac{ρ g V ^{2}}{π σ r ^{2}}$ . Totaal $M (r) = \frac{ρ g V ^{2}}{π σ r ^{2}} + 2 π t_{0} r^{2}$ .
b
Zoek het optimum en toon aan dat de optimale hoogte $h^{*} = 2 σ t_{0} / (ρ g)$ niet van $V$ afhangt.
$M^{'} (r) = - \frac{2 ρ g V ^{2}}{π σ r ^{3}} + 4 π t_{0} r = 0 \Rightarrow r^{4} = \frac{ρ g V ^{2}}{2 π ^{2} σ t _{0}}$ . Dan $h = \frac{V}{π r ^{2}} = \frac{V}{π} \frac{2 π ^{2} σ t _{0}}{ρ g V ^{2}} = \frac{2 σ t _{0}}{ρ g}$ : het volume valt weg.
c
Reken h* uit voor σ = 160 MPa en t₀ = 6 mm, en de optimale diameter voor 1000 m³ en 100 000 m³. Wat besluit je? Waarom geldt dit niet voor de tank van 500 L van het station?
$h^{*} = 2 \cdot 160 \cdot 1 0^{6} \cdot 0, 006/ (1000 \cdot 9, 81) = 14, 0 m$ . Voor 1000 m³: $d = 9, 5 m$ ; voor 100 000 m³: $d = 95 m$ . Grote tanks worden dus niet hoger maar breder: breed en laag. Bij de tank van 500 L is de wand overal veel dikker dan de druk vraagt (stijfheid, hanteren, minimale wanddikte bij het gieten): dan geldt het model met gelijke dikte, en is $h \approx d$ optimaal.

2.14

Bewijs zonder afgeleide

Uitdagen8Analyseren20 min

Voor positieve getallen

a, b, c

geldt

\frac{a + b + c}{3} \geq 3 ab c

, met gelijkheid alleen als

a = b = c

(ongelijkheid van het rekenkundig en meetkundig gemiddelde).

a
Schrijf de oppervlakte van het blik als $A = 2 π r^{2} + \frac{V}{r} + \frac{V}{r}$ en gebruik de ongelijkheid om te bewijzen dat $A \geq 3 3 2 π V^{2}$ .
$\frac{A}{3} = \frac{2 π r ^{2} + V / r + V / r}{3} \geq 3 2 π r^{2} \cdot \frac{V}{r} \cdot \frac{V}{r} = 3 2 π V^{2}$ : de $r$ valt weg. Dus $A \geq 3 3 2 π V^{2}$ voor elke $r$ .
b
Wanneer geldt de gelijkheid? Toon aan dat daaruit h = 2r volgt.
Gelijkheid als $2 π r^{2} = V / r$ , dus $V = 2 π r^{3}$ . Met $V = π r^{2} h$ : $π r^{2} h = 2 π r^{3} \Rightarrow h = 2 r$ .
c
Wat heeft dit bewijs dat de afleiding met f′ = 0 niet heeft?
Het bewijst meteen dat het een globaal minimum is (A kan nergens kleiner zijn), zonder tekenschema of tweede afgeleide.

2.15

Onderzoek: gradiëntafdaling en de stapgrootte

Uitdagen8Onderzoeken45 min

Gebruik de open balkvormige bak uit het handboek:

A (l, b) = l b + \frac{2 V}{b} + \frac{2 V}{l}

met

V = 0, 5 m^{3}

, start in

(0, 45; 1, 80)

a
Programmeer de gradiëntafdaling en tel het aantal stappen tot de gradiënt kleiner is dan 10⁻⁶, voor η = 0,1; 0,3; 0,6 en 0,7.
Zie de code in het handboek (blad 'Meer variabelen'). Echte uitvoer:
```
eta 0.1: na 142 stappen l = 1.0000, b = 1.0000
eta 0.3: na  41 stappen l = 1.0000, b = 1.0000
eta 0.6: na  71 stappen l = 1.0000, b = 1.0000
eta 0.7: na   3 stappen l = 1.7820, b = 85.0149
```
b
Wat gebeurt er bij η = 0,7? Verklaar met een schets van het dal.
Bij η = 0,7 is elke stap te groot: de nieuwe positie ligt aan de overkant van het dal, verder van het minimum dan de vorige. De afwijking groeit elke stap (of de zoektocht springt heen en weer): divergentie.
c
Tweede afgeleiden in het minimum: $A_{l l} = 4 V / l^{3}$ , $A_{bb} = 4 V / b^{3}$ en $A_{l b} = 1$ . Toon aan dat de stap stabiel is zolang $η < 2/3$ (de grootste eigenwaarde van de matrix is 3).
In het minimum ( $l = b = 1$ ): $A_{l l} = A_{bb} = 4 \cdot 0, 5 = 2$ en $A_{l b} = 1$ . Eigenwaarden van $(2112)$ : 1 en 3. Een stap vermenigvuldigt de afwijking in de richting van een eigenvector met $1 - η λ$ ; stabiel als $∣1 - 3 η ∣ < 1$ , dus $η < 2/3$ . Hoe steiler (hoe groter $λ$ ), hoe kleiner de stap moet zijn.

Zo wordt dit beoordeeld

Code	Correcte gradiënt, stopcriterium, bescherming tegen divergentie.
Waarneming	Aantal stappen per η correct; divergentie of oscillatie bij grote η vastgesteld.
Verklaring	Verband tussen stapgrootte en kromming (tweede afgeleide) gelegd.

2.16

Debat: optimaal of robuust?

Uitdagen8Argumenteren25 min

Een collega: 'Waarom zoveel rekenwerk? Het optimum is toch vlak: neem gewoon een ronde maat.' Een andere collega: 'Een ontwerp dat optimaal is voor één scenario, faalt in het volgende. Ik wil geen optimum, ik wil marge.'

a
Geef voor elke stelling een sterk argument met een getal uit dit hoofdstuk.
Vlak optimum: het echte blikje wijkt 12 % af van de optimale straal en kost maar 1,5 % meer; de tank van 0,78 m kost 0,9 % meer. Marge: de tank die 'optimaal' 0,86 m breed was, paste niet door de deur; een MPPT-regelaar die op één MPP afgesteld is, verliest vermogen zodra er een wolk komt. Beide hebben gelijk: optimaliseren toont waar de marge goedkoop is.
b
Wanneer loont het echt om nauwkeurig te optimaliseren? Geef twee voorbeelden uit het station.
Waar het optimum steil is of op een actieve grens ligt, en waar kleine winsten vaak herhaald worden: het werkpunt van de zonnepanelen (elke seconde, jaren lang), het energiebeheer van de batterij (elke dag), de regeling van de verwarming. Niet voor een eenmalige maat die in standaardgroottes verkocht wordt.