FFundamental · deel F2 · Materie en materialen

Oplossingen · hoofdstuk 7Massa, volume en dichtheid

Waarom een boomstam drijft en een paperclip zinkt, en hoe je een stof herkent zonder ze te proeven

Uitgewerkte oplossingen bij de 15 opdrachten van het werkboek. Voor de leerkracht, en voor wie zichzelf wil verbeteren nadat hij het eerst zelf probeerde.

5× oefenen6× toepassen4× uitdagen± 361 min

MMaterie en chemie WWiskundig modelleren OOnderzoeken en meten

Het grootste deel van een ijsberg zit onder water. Hoe groot dat deel is, volgt uit twee dichtheden.

Voor de leerkrachtDeze pagina bevat de antwoorden. Druk het werkboek af zonder deze pagina.

Oefenen

één stap, direct toepassen

7.1

Omzetten

Oefenen1Rekenen10 min

Gebruik: 1 mL = 1 cm³, 1 L = 1 dm³ = 1000 cm³, 1 m³ = 1000 L, en 1 g/cm³ = 1000 kg/m³.

a
$2, 70 g/c m^{3} =$ kg/m³
$2, 70 \times 1000 = 2700 kg/ m^{3}$
b
$7870 kg/ m^{3} =$ g/cm³
$7870/1000 = 7, 87 g/c m^{3}$
c
$1, 20 kg/ m^{3}$ (lucht) $=$ g/cm³
$1, 20/1000 = 0, 0012 g/c m^{3}$
d
$0, 79 g/mL =$ kg/L
$0, 79 kg/L$ (g/mL en kg/L zijn gelijk)
e
$250 c m^{3} =$ mL $=$ L
$250 mL = 0, 250 L$
f
$1, 5 m^{3} =$ L
$1, 5 \times 1000 = 1500 L$

7.2

Juist of fout?

Oefenen1Begrijpen10 min

Zijn deze uitspraken juist of fout? Verbeter de foute.

a
Vul in.
(a) F: dichtheid is een stofeigenschap; beide blokken hebben 7,87 g/cm³. (b) F: allebei 1 kg; het lood neemt minder plaats in. (c) J. (d) F: een boomstam van honderden kilo drijft; de dichtheid beslist. (e) F: de massa blijft gelijk, het volume wordt groter. (f) J. (g) J. (h) F: de staaf zet uit (hoofdstuk 6), de massa blijft gelijk, dus de dichtheid wordt iets kleiner.

7.3

Dichtheden berekenen en opzoeken

Oefenen1Rekenen12 min

Bereken de dichtheid en zoek in de tabel van het handboek welke stof het kan zijn.

a
Vul de tabel aan.
- (a) $54/20 = 2, 7 g/c m^{3}$ : aluminium
- (b) $393, 5/50 = 7, 87 g/c m^{3}$ : ijzer
- (c) $23, 7/30 = 0, 79 g/c m^{3}$ : ethanol (een vloeistof, want het volume staat in mL)
- (d) $56, 5/5, 0 = 11, 3 g/c m^{3}$ : lood
- (e) $12/60 = 0, 20 g/c m^{3}$ : kurk

7.4

Aflezen: een loodje onder water

Oefenen2Rekenen12 min

Een visser wil weten of zijn gewichtje echt van lood is. Het weegt 203,4 g. Hij gebruikt een maatcilinder van 100 mL.

Links zonder, rechts met het gewichtje. Kleinste streepje: 2 mL.

a
Lees beide maatcilinders af. Wat is het volume van het gewichtje?
Voor: 45 mL; na: 63 mL. $V = 63 - 45 = 18 mL = 18 c m^{3}$ .
b
Bereken de dichtheid. Is het gewichtje van lood?
$ρ = 203, 4/18 = 11, 3 g/c m^{3}$ : dat is lood.
c
Waarom moet het gewichtje helemaal onder water zitten, en waarom tik je tegen het glas?
Zit een deel boven water, dan meet je alleen het ondergedompelde deel: het volume is te klein. Tikken maakt luchtbelletjes los die anders als volume meetellen.
d
Waarom gebruik je hier geen maatbeker van 1 L?
Op een maatbeker van 1 L liggen de streepjes typisch 10 of 25 mL uit elkaar: een verschil van 18 mL kan je dan amper aflezen. Een smallere cilinder geeft een fijnere verdeling en een nauwkeuriger volume.

7.5

Zinkt, zweeft of drijft het?

Oefenen2Begrijpen12 min

Gebruik de tabel met dichtheden uit het handboek.

a
Vul in: zinkt, zweeft of drijft?
(a) drijft (0,2 < 1,00). (b) zinkt (7,87 > 1,00). (c) drijft (7,87 < 13,5). (d) drijft (0,92 < 1,00). (e) zinkt (0,92 > 0,79). (f) zinkt (1,24 > 1,00). (g) drijft (0,90 < 1,00). (h) zinkt (0,90 > 0,79).
b
In een recyclagebedrijf liggen snippers PP en PET door elkaar. Hoe kan je ze met een bak water scheiden?
Gooi de snippers in een bak water en roer. PP (0,90) drijft en schep je bovenaf weg; PET (1,38) zinkt en haal je van de bodem. Zo'n zink-drijfbak wordt echt gebruikt om kunststoffen te sorteren (hoofdstukken 9 en 10).

Toepassen

meerdere stappen, in een context

7.6

Een goudstaaf, een klaslokaal en een kilo kurk

Toepassen2Rekenen15 min

Kies telkens de juiste vorm van de formule:

ρ = m / V

m = ρ \cdot V

V = m / ρ

a
(a) Een standaard goudstaaf van een centrale bank weegt ongeveer 12,4 kg. Hoe groot is zijn volume? Vergelijk met een pak melk van 1 L.
$V = m / ρ = 12400 g /19, 3 g/c m^{3} \approx 642 c m^{3}$ : nog geen twee derde van een pak melk, en toch zo zwaar als 12 pakken.
b
(b) Een klaslokaal is 8,0 m lang, 7,0 m breed en 3,0 m hoog. Hoeveel weegt de lucht erin?
$V = 8, 0 \times 7, 0 \times 3, 0 = 168 m^{3}$ ; $m = 1, 20 kg/ m^{3} \times 168 m^{3} \approx 202 kg$ : zwaarder dan twee volwassenen.
c
(c) Hoeveel volume neemt 1,0 kg kurk in, en 1,0 kg lood? Hoeveel keer groter is het kurk?
Kurk: $1000 g /0, 2 g/c m^{3} = 5000 c m^{3} = 5 L$ . Lood: $1000/11, 3 \approx 88, 5 c m^{3}$ . $5000/88, 5 \approx 57$ : het kurk is ongeveer 57 keer groter.
d
(d) Hoeveel weegt een fles van 2,0 L olijfolie (zonder de fles)?
$m = ρ \cdot V = 0, 91 kg/L \times 2, 0 L \approx 1, 8 kg$ .

7.7

Twee metalen in één grafiek

Toepassen3Analyseren15 min

Een klas meet de massa en het volume van blokjes van twee metalen, A en B, van verschillende grootte.

Metingen van massa en volume voor blokjes van twee metalen.

a
Welk metaal heeft de grootste dichtheid? Hoe zie je dat zonder te rekenen?
B: zijn punten liggen op een steilere rechte; bij hetzelfde volume is de massa groter.
b
Teken voor elk metaal de best passende rechte. Waarom moet die door de oorsprong gaan?
Een blok zonder volume heeft geen massa: bij V = 0 is m = 0. Massa en volume zijn recht evenredig.
c
Bepaal de dichtheid van A en van B met een punt ver op elke rechte. Welke metalen zijn het?
A: bij 25 cm³ ongeveer 67,5 g: $ρ_{A} = 67, 5/25 = 2, 7 g/c m^{3}$ , aluminium. B: bij 10 cm³ ongeveer 78,7 g: $ρ_{B} \approx 7, 87 g/c m^{3}$ , ijzer.
d
Hoeveel weegt een blok van metaal A van 30 cm³? Is dat interpoleren of extrapoleren?
$m = 2, 7 \times 30 = 81 g$ . Extrapoleren (30 ligt buiten de metingen), maar hier veilig: de dichtheid van aluminium verandert niet met de grootte van het blok.

7.8

Labo: de dichtheid van grillige voorwerpen

Toepassen3Labo45 min

Bepaal de dichtheid van drie voorwerpen: een steen, een metalen voorwerp (bv. een moer of een sleutelbos) en een stuk kaars. Je hebt een balans, maatcilinders van 100 en 250 mL, een naald en een overloopvat.

a
Schrijf voor elk voorwerp op hoe je het volume zal meten. Wat is er speciaal aan de kaars?
Steen en metaal: verschilmethode in de maatcilinder (of het overloopvat voor een grote steen). De kaars drijft: duw ze met een naald helemaal onder water, of maak er een zinker aan vast.
b
Voer de metingen uit.
Eigen metingen. Typisch: steen 2,5 à 2,8 g/cm³; stalen moer ± 7,8; messing sleutels ± 8,5; kaars ± 0,9.
c
Vergelijk met de tabel in het handboek. Van welke stof kan elk voorwerp zijn?
Steen: graniet, kalksteen of zandsteen (2,6 à 2,7). Moer: staal. Sleutels: messing. Kaars: paraffine (± 0,9, kleiner dan water, want ze drijft).
d
Welke meting was het minst nauwkeurig? Hoe kan je ze verbeteren?
Meestal het volume van het kleinste voorwerp: een verschil van enkele mL op een cilinder met streepjes van 2 mL. Verbeteren: een smallere maatcilinder, meerdere gelijke voorwerpen samen meten (meet veel en deel, hoofdstuk 3), of een overloopvat met een kleine maatcilinder eronder.

Zo wordt dit beoordeeld

Meetplan	Verschilmethode of overloopvat passend bij de grootte; drijvende kaars onder water geduwd met een naald.
Metingen	Eenheden in de kop van de tabel; volumes afgelezen op ooghoogte; geen luchtbellen.
Berekening	Dichtheid met de juiste eenheid, zinvol afgerond (hoofdstuk 3).
Besluit	Vergelijking met de tabel, met oog voor de nauwkeurigheid van het volume.

7.9

IJs, flessen en ijsbergen

Toepassen3Rekenen15 min

IJs heeft een dichtheid van 0,917 g/cm³, water 1,00 g/cm³ en zeewater 1,025 g/cm³.

a
(a) Een PET-fles bevat 1,5 L water (1,5 kg). Welk volume heeft dat water als ijs? Hoeveel meer is dat?
$V = m / ρ = 1500 g /0, 917 g/c m^{3} \approx 1636 c m^{3} \approx 1, 64 L$ : ongeveer 0,14 L of 9 % meer.
b
(b) Waarom mag je een volle glazen fles niet in de diepvries leggen, en een halfvolle wel?
Het ijs heeft 9 % meer ruimte nodig. In een volle fles kan het nergens heen en duwt het het glas kapot. In een halfvolle fles zet het ijs uit in de lege ruimte.
c
(c) Welk deel van een ijsberg zit onder het zeewater? Welk deel van een ijsblokje zit onder het water in je glas?
IJsberg: $0, 917/1, 025 \approx 0, 89$ , bijna 90 % onder water. IJsblokje in zoet water: $0, 917/1, 00 \approx 92 %$ .
d
(d) Een ijsblokje in een glas ethanol: wat gebeurt er, en waarom?
Het ijsblokje zinkt: ijs (0,92) is dichter dan ethanol (0,79).

7.10

Is deze ring van zilver?

Toepassen3Analyseren15 min

Een ring weegt 5,25 g. In een maatcilinder van 10 mL (streepjes per 0,1 mL) stijgt het water van 6,0 mL naar 6,5 mL als de ring erin gaat. Je kan elke aflezing tot op ongeveer 0,05 mL juist doen, dus het verschil is onzeker tot op ongeveer 0,1 mL.

a
Bereken de dichtheid met het gemeten volume.
$ρ = 5, 25/0, 5 = 10, 5 g/c m^{3}$ : precies zilver.
b
Bereken de dichtheid als het volume in werkelijkheid 0,4 mL is, en als het 0,6 mL is.
$5, 25/0, 4 \approx 13, 1 g/c m^{3}$ en $5, 25/0, 6 = 8, 75 g/c m^{3}$ .
c
Welke metalen uit de tabel passen allemaal bij deze meting? Kan je besluiten dat de ring van zilver is?
Alles tussen 8,75 en 13,1: koper (8,96), zilver (10,5) en lood (11,3) passen allemaal. De meting alleen bewijst dus niet dat de ring van zilver is.
d
Bedenk een manier om de dichtheid van kleine voorwerpen nauwkeuriger te bepalen.
Bijvoorbeeld: meerdere gelijke ringen samen meten; een smallere buis gebruiken; het overgelopen water wegen in plaats van het volume af te lezen (0,5 mL water weegt 0,5 g, en een balans meet tot 0,01 g); of zoals Galilei de ring in water wegen (Intermediate).

7.11

Maak: een aräometer uit een rietje

Toepassen3Maken40 min

Een aräometer (densimeter) is een drijvend buisje dat dieper of minder diep zakt naargelang de dichtheid van de vloeistof. Wijnmakers en bierbrouwers meten er het suikergehalte mee. Maak er een uit een rietje van 15 cm, dat je onderaan dichtmaakt met een propje boetseerklei.

a
Voeg klei toe tot het rietje rechtop drijft in kraanwater, met ongeveer 5 cm boven water. Zet een streepje met watervaste stift aan het wateroppervlak: '1,00'.
Eigen resultaat. Te veel klei: het rietje zinkt; te weinig: het kantelt.
b
Los 30 g zout op in 270 mL water (10 % zout, dichtheid 1,07 g/cm³). Zet de aräometer erin en markeer '1,07'. Zakt hij dieper of minder diep dan in kraanwater? Verklaar.
Hij drijft hoger: het streepje '1,07' staat lager op het rietje dan '1,00'. In een dichtere vloeistof hoeft een drijvend voorwerp minder vloeistof opzij te duwen om evenveel massa te 'dragen', dus zakt het minder diep.
c
Test je aräometer in een onbekende vloeistof (melk, suikerwater, zeewater). Schat de dichtheid.
Melk zit rond 1,03: tussen de twee streepjes. Zeewater ongeveer 1,025. Suikerwater hangt af van hoeveel suiker.
d
Hoe kan je je aräometer gevoeliger maken?
Een dunner buisje (of een dunner rietje boven een zwaarder onderstuk): dan verandert de diepte meer bij een klein verschil in dichtheid, en liggen de streepjes verder uit elkaar.

Zo wordt dit beoordeeld

Bouw	Rietje drijft rechtop; de klei zit onderaan en lekt niet.
Ijken	Twee streepjes bij bekende dichtheden, op het oppervlak afgelezen.
Uitleg	Legt uit waarom de aräometer in een dichtere vloeistof hoger drijft.
Test	Schatting voor de onbekende vloeistof, tussen of buiten de twee streepjes.

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

7.12

Habitat: hoeveel weegt de meetkas?

Uitdagen4Habitat45 min

Voor het ontwerp van de tafel en het frame (hoofdstukken 11 en 13) moet je weten wat de meetkas weegt. Gegevens: reservoir met binnenmaten 40 × 30 × 25 cm, gevuld tot 20 cm; 12 bakjes met elk 10 cm potgrond op 30 × 20 cm (droog ± 0,3 kg/L, vochtig ± 0,6 kg/L); 576 L lucht (1,20 kg/m³). Het frame is 10,4 m aluminium kokerprofiel van 20 × 20 mm met een wand van 1,5 mm: de doorsnede is 1,11 cm². Wanden en dak zijn samen 3,60 m².

a
Bereken de massa van het water: bij 20 cm vulhoogte en bij een vol reservoir.
$40 \times 30 \times 20 = 24000 c m^{3} = 24 L$ , dus 24 kg. Vol: $40 \times 30 \times 25 = 30 L$ , dus 30 kg.
b
Bereken de massa van de potgrond, droog en vochtig.
$12 \times 30 \times 20 \times 10 c m^{3} = 72000 c m^{3} = 72 L$ . Droog: $72 \times 0, 3 \approx 22 kg$ ; vochtig: $72 \times 0, 6 \approx 43 kg$ .
c
Bereken de massa van het frame in aluminium (2,70 g/cm³). Hoeveel zou het wegen in staal (7,85 g/cm³)?
$V = 1, 11 c m^{2} \times 1040 cm \approx 1154 c m^{3}$ . Aluminium: $1154 \times 2, 70 \approx 3116 g \approx 3, 1 kg$ . Staal: $1154 \times 7, 85 \approx 9060 g \approx 9, 1 kg$ , bijna drie keer zo zwaar.
d
Voor de wanden twijfel je tussen massief polycarbonaat van 4 mm (1,20 g/cm³) en een kanaalplaat van 4 mm, die volgens de verkoper 0,8 kg per m² weegt. Bereken voor beide de massa van de wanden. Wat is de gemiddelde dichtheid van de kanaalplaat, en hoe verklaar je dat verschil?
Massief: $V = 3, 60 m^{2} \times 0, 004 m = 0, 0144 m^{3}$ ; $m = 1200 kg/ m^{3} \times 0, 0144 m^{3} \approx 17 kg$ . Kanaalplaat: $3, 60 \times 0, 8 \approx 2, 9 kg$ . Gemiddelde dichtheid: $0, 8 kg$ per $1 m^{2} \times 0, 004 m = 0, 004 m^{3}$ , dus $200 kg/ m^{3} = 0, 20 g/c m^{3}$ . Een kanaalplaat bestaat uit twee dunne wanden met dwarsribben, en daartussen lucht: net als bij een schip telt de lucht mee in het volume.
e
Maak in je portfolio een tabel met alle massa's (water vol, grond vochtig, lucht, frame, wanden als kanaalplaat) en het totaal. Welke twee onderdelen bepalen het meest wat de tafel en de vloer moeten dragen?
Water 30 kg; potgrond 43 kg; lucht 0,7 kg; frame 3,1 kg; wanden 2,9 kg; totaal ongeveer 80 kg. De vochtige potgrond en het water zijn samen goed voor ruim 90 % van de massa. De tafel draagt vooral de grond; het reservoir staat eronder op de vloer.

Zo wordt dit beoordeeld

Rekenwerk	Telkens de juiste vorm van de formule; volumes in de juiste eenheid voor de dichtheid.
Eenheden	Omzettingen cm³, L, m³ en g, kg correct en zichtbaar.
Vergelijking	Aluminium tegenover staal en massief tegenover kanaalplaat besproken.
Portfolio	Overzichtelijke tabel met totaal en een besluit.

7.13

Archimedes nagerekend

Uitdagen4Rekenen25 min

Stel dat de krans van koning Hiëro 1000 g woog. Goud: 19,3 g/cm³; zilver: 10,5 g/cm³. Neem aan dat de volumes van het goud en het zilver gewoon optellen.

a
Welk volume heeft een krans van 1000 g zuiver goud?
$V = 1000/19, 3 \approx 51, 8 c m^{3}$ .
b
De goudsmid verving 200 g goud door 200 g zilver. Welk volume heeft de krans nu? Hoeveel is dat meer?
$800/19, 3 + 200/10, 5 \approx 41, 5 + 19, 0 = 60, 5 c m^{3}$ : ongeveer $8, 7 c m^{3}$ meer.
c
Wat is de dichtheid van de vervalste krans?
$ρ = 1000/60, 5 \approx 16, 5 g/c m^{3}$ , duidelijk minder dan 19,3.
d
De krans past in een ronde kom met een diameter van 20 cm. Hoeveel hoger komt het water bij de vervalste krans dan bij een krans van zuiver goud? (Oppervlakte van een cirkel: $π \cdot r^{2}$ .)
Oppervlakte van de kom: $π \times 1 0^{2} \approx 314 c m^{2}$ . Extra hoogte: $8, 7/314 \approx 0, 028 cm \approx 0, 3 mm$ .
e
Had Galilei gelijk dat de methode uit de legende moeilijk werkt? Hoe zou jij het verschil beter zichtbaar maken?
Ja: een verschil van een derde millimeter in een brede kom, met golfjes en een meniscus, zie je nauwelijks. Beter: de overgelopen hoeveelheid water opvangen en in een smalle maatcilinder meten of wegen (8,7 g verschil zie je makkelijk op een balans), of de krans en evenveel goud onder water aan een balans vergelijken, zoals Galilei voorstelde.

7.14

Onderzoek: hoe zout moet het water zijn?

Uitdagen4Onderzoeken50 min

Hoe hangt de dichtheid van zout water af van de hoeveelheid zout? Bij welke dichtheid gaat een ei zweven? Tabelwaarden bij 20 °C (massa zout per 100 g zout water): 5 % → 1,034 g/cm³; 10 % → 1,071 g/cm³; 12 % → 1,086 g/cm³; 14 % → 1,101 g/cm³; 16 % → 1,116 g/cm³.

a
Maak vijf oplossingen: 0, 10, 20, 30 en 40 g zout, elk aangevuld met water tot 200 g samen. Hoe bepaal je de dichtheid van elke oplossing met een balans en een maatcilinder?
Weeg een getarreerd bekerglas, meet 100 mL oplossing af met de maatcilinder, giet het erin en weeg: $ρ = m /100 mL$ . (0, 10, 20, 30, 40 g per 200 g is 0, 5, 10, 15 en 20 % zout.)
b
Meet en bereken.
Verwacht ongeveer: 0 % → 1,00; 5 % → 1,03; 10 % → 1,07; 15 % → 1,11; 20 % → 1,15 g/cm³.
c
Zet de dichtheid uit tegenover het percentage zout. Teken ook de tabelwaarden. Komen ze overeen?
De dichtheid stijgt bijna recht evenredig met het zoutgehalte, maar de rechte begint bij 1,00 en niet bij 0.
d
Leg een vers ei in elke oplossing. In welke zweeft het (ongeveer)? Wat is dus de dichtheid van het ei?
Rond 12 % zout (tussen 10 en 15 %): het ei heeft een dichtheid van ongeveer 1,08 à 1,09 g/cm³.
e
Noem twee oorzaken van verschillen tussen jouw metingen en de tabel.
Afleesfouten op de maatcilinder (1 mL op 100 mL is al 1 %), zout dat niet helemaal opgelost is, water dat in de cilinder achterblijft, een andere temperatuur dan 20 °C, onzuiver keukenzout.

Zo wordt dit beoordeeld

Werkwijze	Oplossing afgewogen; 100 mL afgemeten en gewogen in een getarreerd bekerglas.
Metingen	Tabel met eenheden; dichtheid berekend met drie cijfers.
Grafiek	Stijgende, bijna rechte lijn; tabelwaarden ter vergelijking.
Besluit	Dichtheid van het ei afgeleid uit de oplossing waarin het zweeft; bronnen van fouten benoemd.

7.15

Ontwerp: een bootje van aluminiumfolie

Uitdagen3Ontwerpen40 min

Je krijgt een vel aluminiumfolie van 20 cm × 20 cm (ongeveer 1 g) en een bak water. Ontwerp een bootje dat zoveel mogelijk knikkers draagt voor het zinkt. Een prop aluminiumfolie zinkt; een bootje uit hetzelfde vel drijft.

a
Leg met de gemiddelde dichtheid uit waarom de prop zinkt en het bootje drijft.
De prop is bijna massief aluminium (2,70 g/cm³): dichter dan water. Het bootje omsluit veel lucht: de totale massa gedeeld door het volume onder de waterlijn (lucht inbegrepen) is kleiner dan 1 g/cm³.
b
Schets twee ontwerpen met hun maten. Voorspel welk meer knikkers draagt en waarom.
Bijvoorbeeld een platte bak met een brede bodem tegenover een smalle, hoge bak. Een brede, vlakke bodem met een stevige rand draagt meestal het meest.
c
Test, verbeter en test opnieuw. Noteer telkens het aantal knikkers.
Eigen resultaten; verbeteringen zijn bijvoorbeeld een dubbele bodem, knikkers gelijkmatig verspreiden, een hogere rand.
d
Een bootje van 10 cm × 10 cm met een rand van 3 cm kan hoogstens 300 cm³ water opzij duwen. Hoeveel gram kan het dan hoogstens dragen (bootje zelf inbegrepen)? Waarom haal je dat in de praktijk niet?
300 cm³ water heeft een massa van 300 g: het bootje kan samen met de knikkers hoogstens 300 g wegen voor het water over de rand komt. In de praktijk kantelt het bootje, buigt de bodem door, of lekt er water in voor de rand bereikt is.

Zo wordt dit beoordeeld

Uitleg	Gemiddelde dichtheid: massa gedeeld door het volume inclusief de lucht in het bootje.
Ontwerp	Twee schetsen met maten en een onderbouwde voorspelling.
Iteratie	Minstens twee verbeteringen, gemeten en genoteerd.
Grens	Maximale last berekend met de dichtheid van water; verschil met de praktijk verklaard.