EExpert · deel E8 · Regeltechniek

Oplossingen · hoofdstuk 38Dynamische systemen modelleren

Toestanden en tijdschalen verklaren waarom een station nog beweegt nadat de knop omgaat

Uitgewerkte oplossingen bij de 9 opdrachten van het werkboek. Voor de leerkracht, en voor wie zichzelf wil verbeteren nadat hij het eerst zelf probeerde.

3× oefenen3× toepassen3× uitdagen± 290 min

RRegelen en robotica WWiskundig modelleren EEnergie

Dezelfde input voedt toestanden die op minuten en uren reageren.

Voor de leerkrachtDeze pagina bevat de antwoorden. Druk het werkboek af zonder deze pagina.

Oefenen

één stap, direct toepassen

38.1

Tijdconstante uit een balans

Oefenen6Rekenen25 min

C=120 kJ/K, H=40 W/K.

a
Bereken τ, K en de eindstijging bij 400 W.
τ=C/H=120000/40=3000 s=50 min. K=1/H=0,025 K/W; de eindstijging is K×400=10 K.
b
Welke stijging is na één tijdconstante bereikt?
Na 50 min is 10(1−exp(−1))=6,321 K bereikt. Een tijdconstante is geen insteltijd waarop de eindwaarde volledig bereikt wordt.

38.2

Dode tijd herkennen

Oefenen6Analyseren25 min

Uitvoer A stijgt direct exponentieel; uitvoer B blijft 90 s plat en stijgt daarna.

a
Kies het passende model. Waarom bootst een grotere warmtecapaciteit het plateau niet exact na?
A past bij een eersteordemodel; B vraagt daarnaast dode tijd L=90 s. Een grotere C geeft meteen een kleinere niet-nulle beginhelling en dus geen exact plateau. Een heel kleine helling kan wel onder de meetresolutie verdwijnen; rapporteer daarom ook die resolutie.

38.3

Polen lezen

Oefenen6Begrijpen25 min

Een model heeft polen −0,01 en −0,0001 s⁻¹; een ander model heeft een pool +0,001 s⁻¹.

a
Geef tijdschalen en stabiliteit.
De negatieve polen hebben tijdschalen 100 s en 10000 s: beide vrije modes sterven uit. De positieve pool groeit met een e-voudtijd van 1000 s; dat model is instabiel. Een solver kan een stabiel continu model numeriek laten divergeren, maar verandert de continue polen niet.

Toepassen

meerdere stappen, in een context

38.4

P-regeling afleiden

Toepassen7Rekenen25 min

τ \overset{y}{˙} + y = K u

u = K_{p} (r - y)

a
Leid de gesloten-lusversterking en tijdconstante af.
Invullen geeft $τ \overset{y}{˙} + (1 + K K_{p}) y = K K_{p} r$ . Delen door $(1 + K K_{p})$ geeft $τ_{c l} = τ / (1 + K K_{p})$ en $K_{c l} = K K_{p} / (1 + K K_{p})$ .
b
Bereken voor e39: K=0,02 K/W, τ=10800 s en Kp=200 W/K. Wat gebeurt bij r=15 K?
KKp=4; τcl=2160 s=36 min en Kcl=4/5. Bij r=15 K wordt uiteindelijk 12 K bereikt: een blijvende fout van 3 K. Dit resultaat geldt tijdens onbegrensde lineaire werking; de vermogenslimiet kan de respons veranderen.

38.5

Tweedeordeontwerp

Toepassen7Rekenen25 min

ωn=0,02 rad/s; maximaal 10% doorschot.

a
Bereken de minimaal vereiste ζ.
Neem de logaritme: $ln 0, 1 = - π ζ / 1 - ζ^{2}$ . Kwadrateren en herschikken geeft $ζ = ∣ ln 0, 1∣/ π^{2} + (ln 0, 1)^{2} = 0, 5912$ .
b
Bereken de piektijd op deze grens en geef een beperking van het resultaat.
De piektijd is π/(0,02√(1−ζ²))=194,75 s. Deze grens geldt voor het lineaire standaardmodel. Bevestig de respons met de werkelijke actuatorbegrenzing in een simulatie.

38.6

Thermische overdracht controleren

Toepassen7Analyseren25 min

Gebruik de tweeknoops-overdracht uit het handboek.

a
Toon dat G(0)=1/H en controleer de dimensies.
De Laplacevariabele s heeft eenheid s⁻¹. Cbs en de koppeling G hebben eenheid W/K; elke noemerterm heeft eenheid (W/K)². De verhouding heeft dus eenheid K/W. Bij s=0 volgt G/(HG)=1/H.
b
Wat wordt de luchtoverdracht als de koppeling G naar nul gaat?
De ontkoppelde lucht volgt 1/(Cas+H). De buffer wordt dan niet meer door P beïnvloed. Bij G=0 kan voor niet-nulle s een gemeenschappelijke s-factor worden geschrapt. De buffertoestand blijft constant en heeft geen invloed op de lucht.

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

38.7

Responskenmerken automatiseren

Uitdagen9Programmeren50 min

Gebruik stap2(t,ζ) met ωn=1 rad/s voor ζ=0,2; 0,4; 0,8.

a
Bepaal piek, t10, t90 en de echte 2%-insteltijd. Vergelijk de laatste met 4/ζ.
Gebruik een tijdreeks tot ruim 20/ζ met een vaste Δt. Zoek de eerste punten boven 0,1 en 0,9, het maximum en de laatste index waarvoor |y−1|>0,02. De insteltijd ligt één sample na die laatste overschrijding; een eerdere eerste binnenkomst in de band volstaat niet.
b
Hoe controleer je de tijdresolutie van je uitkomst?
Herhaal met de halve Δt. Rapporteer het verschil als discretisatiecontrole, vooral bij kleine ζ met meerdere bandkruisingen. De piekformules zijn exact binnen het model; 4/ζ is een benadering.

Zo wordt dit beoordeeld

uitvoering	Alle kenmerken uit dezelfde respons en een expliciete band.
controle	Formules en tijdresolutie onafhankelijk getoetst.

38.8

De tweeling van Habitat

Uitdagen9Habitat65 min

Een manager wil alle thermische toestanden vervangen door C=540 kJ/K omdat dit in de PID-proef goed werkt.

a
Verdedig de systeemgrenzen en ontwerp een validatieproef voor nachtplanning.
540 kJ/K hoort bij de vereenvoudigde stationsknoop. De module heeft Ca=80 kJ/K, Cb=1,10 MJ/K, H=20,2 W/K en G=30 W/K. Tel deze beschrijvingen niet blind op. Voor nachtplanning blijft de trage buffer nodig. Meet bekende warmte-input, buiten, lucht en buffer tijdens een opwarmfase en lange afkoeling, met tijd UTC+1. Reserveer een andere inputcyclus voor validatie. Voeg de 100 L warmtepompbuffer alleen als aparte knoop toe met een expliciete grens die dubbeltelling voorkomt.
b
Geef een meetbaar criterium om het model af te wijzen.
Leg vooraf een eis vast, bijvoorbeeld een rms-luchtvoorspelfout ≤0,3 K en geen blijvende bias >0,2 K over 2 h in het beoogde gebied. Dit zijn ontwerpvoorstellen. Structurele residuen na iedere inputwissel of een ontbrekende bufferenergiebalans vragen modelherziening.

Zo wordt dit beoordeeld

grens	Vereenvoudigingen en fysieke opslag onderscheiden.
proef	Bekende input, buiten, twee toestanden en aparte validatie.
besluit	Kwantitatieve criteria en afwijzingsregel.

38.9

Een model met verzadiging

Uitdagen9Ontwerpen25 min

Een lineair model vraagt 3000 W, terwijl de SSR maximaal 2000 W kan leveren.

a
Welke conclusies gelden niet rechtstreeks? Bouw de geschikte simulatiestructuur.
Superpositie en vaste gesloten-luspolen beschrijven de verzadigingsfase niet exact. Standaardformules voor doorschot en insteltijd kunnen niet rechtstreeks worden toegepast. Simuleer de regelaar, thermische toestanden, begrenzing 0–2000 W, anti-windup en echte bemonstering. Gebruik de overdrachtsfunctie voor lokale analyse buiten de verzadiging en toets een koudegolf en opwarmstart met het begrensde model.