StemExpert

Expert · Werkboek · 39. PID-regeling
StemExpert · Brecht Corbeel · schoolium.me

EExpert · deel E8 · Regeltechniek

Werkboek · hoofdstuk 39PID-regeling

Drie getallen die van een verwarming, een drone of een insulinepomp een regelaar maken

Je begint met de begrippen en de P-formules, rekent en programmeert daarna echte regelaars door, en eindigt met ontwerpproblemen waar de ideale formule niet volstaat. Voor opdrachten 39.8 en 39.10 heb je Python nodig. Opdracht 39.10 is een bouwsteen voor het brein van het station.

3× oefenen4× toepassen4× uitdagen± 312 min0/11 gedaan

RRegelen en robotica PProgrammeren en computationeel denken WWiskundig modelleren

Regelen is meten, vergelijken en bijsturen, elke seconde opnieuw.

Hoe lees je een opdracht?

Drie tredenOefenen Toepassen Uitdagen

Elk hoofdstuk bouwt op: eerst oefenen (één stap, direct toepassen), dan toepassen (meerdere stappen, in een context), dan uitdagen (transfer, open problemen, andere leerlijnen erbij).

De StemExpert-schaal5

Eén moeilijkheidsschaal van 1 tot 9 over de drie niveaus heen: Fundamental loopt van 1 tot 4, Intermediate van 3 tot 7, Expert van 6 tot 9. Zo zie je dat de uitdaging van het ene niveau de oefening van het volgende is.

Oefenen

één stap, direct toepassen

39.1

Welke actie doet wat?

Oefenen6Begrijpen10 min

gedaan

Een regeling van een waterreservoir (niveau in cm, pomp als actuator) gedraagt zich telkens anders. Welke aanpassing past het best bij elke waarneming?

a
Het niveau blijft 4 cm onder het setpoint hangen, ook na een uur.
- AKp verlagen
- Been I-actie toevoegen
- CKd verhogen
- Dde bemonsteringstijd verlengen
b
Het niveau schiet telkens ver door en slingert lang na.
- AKi verhogen
- BKp verhogen
- CKd verhogen of Ki verlagen
- Dde D-actie op de fout zetten
c
Bij elke wijziging van het setpoint krijgt de pomp een harde stoot.
- AD op de meting nemen
- BKi verlagen
- CKp verhogen
- Danti-windup toevoegen
d
Na een lange periode met de pomp op vol vermogen schiet het niveau ver door.
- AKd verhogen
- Banti-windup toevoegen
- Ceen P-regelaar gebruiken
- Dsneller bemonsteren

39.2

De blijvende afwijking van een P-regelaar

Oefenen6Rekenen15 min

gedaan

Een kleine kweekkast volgt

τ d y / d t = - y + K u

met

τ = 900 s

K = 0, 050^{\circ} C/W

. Een P-regelaar met

K_{p} = 60 W /^{\circ} C

moet

y

van 0 naar

r = 12^{\circ} C

brengen. Het verwarmingselement kan 0 tot 1000 W.

a
Bereken de lusversterking, de eindwaarde van $y$ en de blijvende afwijking.
b
Bereken het eindvermogen en controleer het met het procesmodel.
c
Raakt het element zijn grens? Bereken de tijdconstante van de gesloten lus.

39.3

Eén stap van een discrete PID

Oefenen6Rekenen12 min

gedaan

Een discrete PID (

Δ t = 2 s

, D op de meting) heeft

K_{p} = 150

K_{i} = 0, 8

K_{d} = 400

(eenheden zoals in het handboek). Setpoint 20,0 °C. Vorige meting 18,2 °C, nieuwe meting 18,5 °C. De som van alle fouten tot en met de vorige stap is 214,0 °C.

a
Bereken de fout $e_{k}$ , de nieuwe som, en de drie termen apart.
b
Welk vermogen stuurt de regelaar als de actuator 0 tot 2000 W kan?

Toepassen

meerdere stappen, in een context

39.4

Waarom een P-regelaar sneller is

Toepassen7Rekenen20 min

gedaan

Het station (

τ = 10800 s

K = 0, 020^{\circ} C/W

) krijgt twee strategieën om 12 °C boven buiten te komen: (A) gewoon 600 W aanzetten; (B) een P-regelaar met

r = 15^{\circ} C

K_{p} = 200 W /^{\circ} C

a
Toon aan dat beide strategieën op dezelfde eindtemperatuur uitkomen.
b
Leid voor B de gesloten-lusvergelijking af en bereken de tijdconstante. Hoeveel keer sneller is B dan A?
c
Strategie B begint met een vermogen boven 2000 W. Wat betekent dat voor je antwoord op b?

39.5

Anti-windup inbouwen

Toepassen7Programmeren25 min

gedaan

Een leerling schreef deze PI-regelaar in Python. De verwarming kan 0 tot 1500 W.

def pi_stap(r, y, toestand, Kp=300, Ki=1.2, dt=1.0):
    e = r - y
    toestand["som"] += e * dt
    u = Kp * e + Ki * toestand["som"]
    return min(max(u, 0), 1500)

a
Leg uit wat er met toestand["som"] gebeurt als de verwarming een halfuur op 1500 W staat.
b
Herschrijf de functie met anti-windup (niet integreren als de uitgang verzadigd is en de fout de verzadiging vergroot).
c
Bedenk een tweede manier van anti-windup en beschrijf ze in één zin.

39.6

Een staprespons aflezen

Toepassen7Analyseren20 min

gedaan

Lees de grafiek zo nauwkeurig mogelijk af.

Gemeten staprespons van een PI-regeling (setpoint van 0 naar 15 °C boven buiten).

a
Bepaal de stijgtijd (10 % tot 90 %).
b
Bepaal de piekwaarde, de piektijd en het doorschot in procent.
c
Bepaal de insteltijd voor een band van ±2 %.
d
Deze regeling had doorschot, terwijl het proces van eerste orde is. Geef een mogelijke oorzaak.

39.7

Ziegler-Nichols voor de waterpomp

Toepassen7Rekenen15 min

gedaan

De druk in de waterleiding van het station wordt geregeld met een pomp (sturing in %). Met alleen P-actie begint de druk blijvend te slingeren bij

K_{u} = 12 %/bar

; de periode van de slingering is

T_{u} = 8, 0 s

a
Bereken de instellingen voor een PI-regelaar ( $K_{p}$ , $T_{i}$ , $K_{i}$ ).
b
Bereken de instellingen voor een PID-regelaar ( $K_{p}$ , $T_{i}$ , $T_{d}$ , $K_{i}$ , $K_{d}$ ), met eenheden.
c
Welke bemonsteringstijd kies je hoogstens voor deze lus? Motiveer met $T_{u}$ .

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

39.8

Simulatie-onderzoek: de beste PI voor het station

Uitdagen8Onderzoeken60 min

gedaan

Gebruik de simulatiecode uit het handboek (met anti-windup). Eisen voor een stap van 0 naar 15 °C: doorschot hoogstens 5 %, insteltijd (±2 %) hoogstens 3 uur, en bij een storing van 300 W (vanaf uur 6 blijft er een deur op een kier) mag de temperatuur hoogstens 0,5 °C zakken.

a
Breid de simulatie uit met de storing $d$ (in W, zelfde teken als in het procesmodel) en met een functie die doorschot, insteltijd en grootste daling berekent.
b
Zoek systematisch (een rooster van Kp- en Ki-waarden) naar instellingen die aan alle eisen voldoen. Noteer je beste drie.
Kp Ki doorschot (%) insteltijd (min) daling (°C)
c
Welke eis is het moeilijkst, en waarom botst ze met een andere? Verklaar met de werking van P en I.

Hint

Een storing van 300 W in het model: vervang -y + K*u door -y + K*(u - d) vanaf t = 21 600 s en simuleer 12 uur. De storing moet opgevangen worden door extra vermogen: een grotere Kp reageert sneller, een grotere Ki herstelt sneller maar geeft meer doorschot bij de stap.

Zo wordt dit beoordeeld

Code	Storing correct ingebouwd, kenmerken automatisch berekend, anti-windup behouden.
Zoektocht	Systematisch rooster, resultaten in een tabel, eisen expliciet getoetst.
Verklaring	Afweging tussen doorschot bij de stap en herstel na de storing correct uitgelegd.

39.9

Bewijs: PI maakt ook een storing ongedaan

Uitdagen8Analyseren25 min

gedaan

Het station staat stabiel op het setpoint. Op

t_{0}

gaat er een deur open: vanaf dan geldt

τ \overset{y}{˙} = - y + K u - d_{0}

met een constante

d_{0} > 0

a
Toon aan dat een P-regelaar een blijvende extra fout overhoudt en bereken die in functie van $d_{0}$ , $K$ en $K_{p}$ .
b
Toon aan dat bij een PI-regelaar, als de lus weer tot rust komt, de fout nul is. Leg ook uit waar het extra vermogen vandaan komt.

39.10

Habitat: de temperatuurregeling van het station ontwerpen

Uitdagen9Habitat90 min

gedaan

Het brein van het station moet de binnentemperatuur op 20 °C houden (±0,5 °C in normaal bedrijf) met een verwarming van 2 kW (SSR, tijdproportioneel), een sensor met ruis van ongeveer ±0,1 °C en een tijdconstante van 60 s. Het station staat in ons klimaat: de ontwerptemperatuur voor Ukkel is −8 °C, bij een uitzonderlijke koudegolf zakt het tot −15 °C. Het station verliest 50 W per °C verschil met buiten (dus

K = 0, 020^{\circ} C/W

in het model, zoals in het handboek).

a
Controleer of 2 kW volstaat bij −8 °C en bij −15 °C. Welke reserve blijft er telkens?
b
Teken het volledige blokschema: regelaar, SSR, verwarming, station, sensor, filter, en de buitentemperatuur als storing.
c
Kies en motiveer: P, PI of PID; de bemonsteringstijd; het venster van het SSR; een filter op de meting; de anti-windup.
d
Wat doet je regeling als de sensor uitvalt of een onmogelijke waarde geeft (bv. −40 °C of +85 °C)? Beschrijf een veilige toestand.

Zo wordt dit beoordeeld

Dimensionering	Warmteverlies bij −8 en −15 °C correct berekend, reserve benoemd en beoordeeld.
Blokschema	Alle blokken en signalen met symbool en eenheid; storing en filter op de juiste plaats.
Keuzes	Elke keuze gemotiveerd met een getal of een argument uit dit hoofdstuk (ruis, tijdconstanten, verzadiging).
Veiligheid	Sensorfout gedetecteerd (bereik, sprong) en een fail-safe toestand die het station niet laat bevriezen of oververhitten.

39.11

Aan/uit of PID?

Uitdagen7Argumenteren20 min

gedaan

Een collega vindt PID overdreven voor de verwarming: 'Een thermostaat met hysterese van ±0,5 °C doet het ook, is eenvoudiger, en een SSR dat telkens schakelt slijt toch niet.'

a
Geef twee sterke argumenten vóór de aan/uit-regeling en twee vóór PI, telkens met een getal of voorbeeld.
b
Voor welk onderdeel van het station zou je zelf aan/uit kiezen, en voor welk PID? Motiveer.

ZelfevaluatieKleur per doel: lukt al / bijna / nog niet

Ik kan een gesloten regelkring tekenen als blokschema en de begrippen setpoint, fout, stuurgrootheid, storing en meting gebruiken.
Ik kan voor een eerstegraadsproces met P-regeling de gesloten-lusvergelijking afleiden en er de blijvende afwijking en de tijdconstante uit halen.
Ik kan verklaren waarom een I-actie de blijvende afwijking wegwerkt en een D-actie demping geeft, en wat de nadelen van elk zijn.
Ik kan uit een staprespons stijgtijd, doorschot, piektijd, insteltijd en blijvende afwijking bepalen.
Ik kan een discrete PID-regelaar programmeren met een vaste bemonsteringstijd, D op de meting en anti-windup.
Ik kan een regelaar afstellen met de methode van Ziegler-Nichols en de uitkomst kritisch bijsturen.
Ik kan een regeling ontwerpen tegen eisen (nauwkeurigheid, snelheid, begrenzing van de actuator) en je keuzes verantwoorden.

Kp	Ki	doorschot (%)	insteltijd (min)	daling (°C)