EExpert · deel E7 · Informatica

Oplossingen · hoofdstuk 36Numerieke methoden en wetenschappelijk rekenen

Een getal is pas een resultaat als je ook zijn fout en gevoeligheid kent

Uitgewerkte oplossingen bij de 9 opdrachten van het werkboek. Voor de leerkracht, en voor wie zichzelf wil verbeteren nadat hij het eerst zelf probeerde.

3× oefenen3× toepassen3× uitdagen± 280 min

PProgrammeren en computationeel denken WWiskundig modelleren

Twee gemeten temperaturen helpen de snelle lucht en trage buffer van elkaar onderscheiden.

Voor de leerkrachtDeze pagina bevat de antwoorden. Druk het werkboek af zonder deze pagina.

Oefenen

één stap, direct toepassen

36.1

Arrayvorm lezen

Oefenen6Begrijpen25 min

T heeft shape (49,2), C heeft shape (2,) en tijd heeft shape (49,1).

a
Leg uit wat T/C en tijd+T opleveren, en waarom tijd[:,0]+T kan falen.
T/C heeft shape (49,2), per kolom delen. tijd+T broadcast naar (49,2). tijd[:,0] heeft shape (49,); laatste maten 49 en 2 passen niet, dus ValueError. Voor een kolom gebruik tijd of tijd[:,0, None].

36.2

Bisectiebudget

Oefenen6Rekenen25 min

Een bracket is 8 K breed; de middenfout moet ≤ 0,001 K zijn.

a
Bereken het minimum aantal halveringen.
$8/ 2^{k + 1} \leq 0, 001$ geeft $k + 1 \geq lo g_{2} 8000 = 12, 966$ , dus k≥12. Na 12 halveringen bedraagt de middenfout 8/8192 = 0,0009766 K.

36.3

Newton bij een vlak punt

Oefenen6Analyseren25 min

f (x) = x^{2} - 2

x_{0} = 0

a
Waarom kan de Newtonstap niet worden uitgevoerd? Kies een andere start en bereken één stap.
$f^{'} (0) = 0$ : delen door nul. Met $x_{0} = 1$ geeft Newton $1 - (- 1) /2 = 1, 5$ . Een bracket [1,2] voorkomt dat een onbetrouwbare stap buiten het bekende gebied terechtkomt.

Toepassen

meerdere stappen, in een context

36.4

Afkoeling met Euler

Toepassen7Rekenen25 min

Station: τ = 10 800 s, beginoverschot 20 K, één stap h = 1800 s.

a
Bereken Euler en exact na één stap; bepaal de absolute fout en stabiliteitsfactor.
Euler: $20 (1 - 1800/10800) = 16, 6667$ K. Exact: $20 e^{- 1/6} = 16, 9296$ K. Fout 0,2630 K. Factor 5/6 heeft modulus kleiner dan 1, dus stabiel; dit betekent niet foutloos.

36.5

Energie verdwijnt intern niet

Toepassen7Analyseren25 min

De tweeknoopsbalans staat in het handboek.

a
Tel de vergelijkingen op en controleer P=0, UA=0: wat blijft constant? Geef een implementatietest.
De H-termen annuleren; $d (C_{a} T_{a} + C_{b} T_{b}) / d t = 0$ . De totale sensible energie ten opzichte van een vaste referentie blijft constant, terwijl beide temperaturen naar een gezamenlijk evenwicht gaan. Test verschillende starttemperaturen met vaste h, controleer energieresidu met tolerantie en halveer h. Een tekenfout in H geeft geen annulering.

36.6

Een fit heeft te veel vrijheden

Toepassen7Begrijpen25 min

Alleen lucht wordt één uur gemeten; UA, H, beide C en sensorvertraging zijn vrij.

a
Leg uit waarom een klein residu onvoldoende is en wijzig proef en fit.
Verschillende parametercombinaties kunnen dezelfde korte respons geven; sensortraagheid en warmtecapaciteit lijken op elkaar. Meet buffer en buiten tegelijk, verleng afkoeling, geef verschillende bekende vermogens en ijk de sensorvertraging apart. Houd fysisch bepaalde capaciteiten eerst vast en fit UA/H. Controleer gevoeligheidsrang en test een andere cyclus. Klein residu toont geen unieke parameters.

Uitdagen

transfer, open problemen, leerlijnen combineren

36.7

Orde en fout aantonen

Uitdagen9Programmeren45 min

Gebruik y' = −y/10 800, y(0)=20, eindtijd 10 800 s.

a
Implementeer Euler en RK4 voor h=1800,900,450. Vergelijk foutverhoudingen en formuleer beperkingen.
De code uit het handboek berekent de exacte referentie 20/e. Bij halveren daalt Eulerfout ongeveer met factor 2 en RK4-fout ongeveer met factor 16, zodra de asymptotische foutterm domineert. De globale ordes zijn één en vier. Ronding kan bij extreem kleine h overheersen; inputdiscontinuïteiten vragen gesplitste stappen. Een grafiek van log(fout) tegen log(h) heeft helling ongeveer 1 respectievelijk 4.

Zo wordt dit beoordeeld

berekening	Dezelfde eindtijd, exacte referentie en drie stappen.
interpretatie	Foutorde en stabiliteit onderscheiden.

36.8

Warmteproef voor Habitat

Uitdagen9Habitat60 min

Je wilt UA en H identificeren zonder het teeltklimaat te verstoren.

a
Maak een proefplan met input, sensoren, tijd, veiligheid, fit en onafhankelijke validatie. Leg vast welke waarden je niet opnieuw schat.
Gebruik een lege of afgescheiden module, begrens warmte en buitenconditie; registreer P, Ta, Tb, To en sensorleeftijd op UTC+1. Begin nabij evenwicht, wissel twee of meer veilige vermogens en neem een lange afkoelfase; warmtecapaciteiten 80 kJ/K en 1,10 MJ/K staan eerst vast, sensorvertraging is apart geijkt. Fit positieve UA/H met gewogen residuen. Reserveer een andere cyclus voor validatie; toets bias, rms en residustructuur. Stop de proef bij klimaatalarm; noodstop en lokaal regelbeleid blijven actief. Publiceer raw data, versie en grenswaarden. Zonder echte proef blijft de 20,2/30-fit een synthetische softwaretest.

Zo wordt dit beoordeeld

identificatie	Bekende input, beide knopen en onafhankelijke proef.
veiligheid	Temperatuurgrenzen en afbreekprocedure.
bewijs	Residuen, onzekerheid, versies en geldigheidsgebied.

36.9

Een nauwkeuriger verschil

Uitdagen9Onderzoeken25 min

Voor kleine x wordt

1 - cos x

berekend.

a
Leid een stabiel equivalent af, vergelijk bij x=10⁻⁸ en bespreek conditionering.
Gebruik $1 - cos x = 2 sin^{2} (x /2)$ . Voor $x = 1 0^{- 8}$ is het resultaat ongeveer $5 \cdot 1 0^{- 17}$ . In float 64 kan cos afronden tot 1 waardoor de eerste vorm 0 wordt; de sinusvorm houdt het kleine resultaat. Het verlies betreft subtractie van bijna gelijke getallen, niet een nieuwe fysische onzekerheid. Vergelijk ook met de reeks x²/2 en rapporteer absolute/relatieve fout.