Een schatting vertelt zowel wat je weet als hoe onzeker dat weten is
Uitgewerkte oplossingen bij de 10 opdrachten van het werkboek. Voor de leerkracht, en voor wie zichzelf wil verbeteren nadat hij het eerst zelf probeerde.
Co-located sensoren kunnen dezelfde toestand toetsen; een water- en luchtsensor meten verschillende toestanden.
Voor de leerkrachtDeze pagina bevat de antwoorden. Druk het werkboek af zonder deze pagina.
Oefenen
Oefenen
één stap, direct toepassen
40.1
Niet dezelfde temperatuur
Oefenen6Begrijpen25 min
Een NTC meet 18 °C in water; een SHT31 meet 22 °C in lucht.
a
Waarom is het gemiddelde 20 °C geen betere schatting? Welke informatie moet het model bewaren?
De probes meten verschillende toestanden. Het verschil kan echt zijn en hoeft geen ruis te zijn. Bewaar Twater en Tair met tijd, kwaliteit en kalibratie. Een warmtewisselmodel koppelt ze fysisch. Fusie van één toestand vraagt dezelfde meetplaats of een expliciete observatievergelijking.
40.2
Precisiegewichten
Oefenen6Rekenen25 min
z1=10,2 K, z2=9,8 K; R1=0,04 K² en R2=0,01 K².
a
Bereken schatting en standaardafwijking met alle tussenstappen.
Precisies zijn 25 en 100 K⁻². Normaliseren geeft gewichten 0,2 en 0,8. De schatting is 0,2×10,2+0,8×9,8=9,88 K. P=1/125=0,008 K² en σ=0,08944 K. Dit geldt voor onafhankelijke ruis met gemiddelde nul.
40.3
Drift en filtergewicht
Oefenen6Rekenen25 min
Gyrobias 0,05 °/s; Δt=0,1 s en filtertijdconstante τ=5 s.
a
Bereken de ongeijkte drift na 2 min en het gewicht α van de oude schatting.
Drift=0,05×120=6°. α=exp(−0,1/5)=0,9801987. Corrigeer eerst de gyro-bias. Het complementaire filter gebruikt daarnaast een geldige zwaartekrachtreferentie om langzame drift te begrenzen.
Toepassen
Toepassen
meerdere stappen, in een context
40.4
Voorspel en corrigeer
Toepassen7Rekenen25 min
x=19,9 °C, P=0,02 K², Q=0,01 K², a=h=1; z=20,2 °C en R=0,03 K².
a
Bereken P−, gain, nieuwe schatting en variantie.
P−=0,02+0,01=0,03 K². Gain=0,03/(0,03+0,03)=0,5. Innovatie ν=0,3 K; xnieuw=19,9+0,5×0,3=20,05 °C. Pnieuw=(1−0,5)×0,03=0,015 K² en σnieuw=0,12247 K.
b
Toets de innovatie met de 3σ-poort.
S=0,06 K² en ν²/S=0,09/0,06=1,5. Dat is kleiner dan 9, dus de meting wordt aanvaard. Procesruis heeft de oude schatting minder zeker gemaakt.
40.5
Een gedeelde biasvloer
Toepassen7Analyseren25 min
Elke probe heeft σruis=0,10 K; beide delen ijkonzekerheid 0,08 K.
a
Bereken de standaardonzekerheid van het gemiddelde. Vergelijk met blind middelen van onafhankelijke totale fouten.
De variantie van onafhankelijke gemiddelde ruis is 0,01/2=0,005 K². De gedeelde ijking blijft 0,0064 K². Totaal=0,0114 K², dus u=0,10677 K. Blind middelen van twee totale varianties 0,0164 K² geeft 0,0082 K² en u=0,09055 K: de gedeelde bijdrage wordt onderschat.
40.6
Synchroniseren bij een stap
Toepassen7Labo45 min
Een snelle probe en een sensorkast met tijdconstante 60 s zien dezelfde opwarmproef.
a
Ontwerp een vergelijking die vertraging van bias onderscheidt. Leg meetmoment en bereik vast.
Begin en eindig bij thermisch evenwicht. Een blijvend verschil wijst op ijking; een verschil tijdens de overgang kan uit dynamiek komen. Log dezelfde tijdreferentie UTC+1 en monotone sampletijd, ruwe samples en omgeving. Fit de bekende sensorvertraging apart of vertraag de snelle probe voor vergelijking. Gebruik een veilige kleine temperatuurstap, herhaal en controleer een derde referentie. Middelen over de hele transiënt verbergt het onderscheid.
Zo wordt dit beoordeeld
proef
Evenwichten en overgang onderscheiden.
tijd
Meetmoment en sensorvertraging vastgelegd.
40.7
Ontbreken simuleren
Toepassen7Programmeren25 min
Tien opeenvolgende stappen ontbreken alle metingen; Pstart=0,008 K² en Q=0,0004 K² per stap.
a
Bereken eindvariantie en σ. Pas de code aan zodat ontbreken geen nulmeting wordt.
P=0,008+10×0,0004=0,012 K² en σ=0,10954 K. Voer per stap P+=Q uit en sla de meetupdate over als z ontbreekt, oud of niet eindig is. Bewaar de kwaliteit ‘voorspeld’. Een vervangende nulmeting zou ten onrechte informatie toevoegen en kan een grote innovatie veroorzaken.
Uitdagen
Uitdagen
transfer, open problemen, leerlijnen combineren
40.8
Kalman-afleiding veralgemenen
Uitdagen9Rekenen25 min
z=hx+v; de voorspelling heeft variantie P−.
a
Leid de gain voor h≠1 af.
De fout is (1−Kh)e−+Kv; de variantie is (1−Kh)2P−+K2R. Afleiden geeft −2h(1−Kh)P−+2KR=0 en dus K=P−h/(h2P−+R).
b
Controleer de eenheden als z volt en x kelvin is.
h heeft eenheid V/K; P− heeft K² en R heeft V². De gain heeft K/V. Kν heeft K; de eindvariantie heeft K². De onafhankelijkheid en het gemiddelde nul blijven modelaannamen.
40.9
Een foutdetector tegenspreken
Uitdagen9Onderzoeken40 min
Iedere meting met ν²/S>9 schakelt de sensor direct permanent uit.
a
Analyseer valse meldingen, modeltekort en herstel. Geef een beter beleid dat lokale alarmen ondersteunt.
Een 3σ-overschrijding kan onder het Gaussmodel normale ruis zijn; veel samples geven veel kansen. Een deurbeweging kan een grote innovatie veroorzaken terwijl de sensor goed werkt. Houd bereik-, leeftijd- en innovatiestatus apart, met tellers en herstelvoorwaarden. Vergelijk een onafhankelijke referentie. Het lokale O₂/CO₂-alarm blijft werken wanneer het voorspelmodel de waarneming onwaarschijnlijk vindt. Na ijking en een geslaagde hersteltest mag de probe terugkeren met passende onzekerheid.
40.10
Fusie voor Habitat ontwerpen
Uitdagen9Habitat75 min
Het station wil een temperatuur blijven schatten als één probe faalt.
a
Kies toestand, sensoren, ijking, tijd- en foutcontract. Schets fusie en supervisor.
Kies bijvoorbeeld twee luchtprobes op dezelfde meetplaats met bekende vertraging. Leg °C, kalibratieversie, meetmoment, kwaliteit, leeftijd en boot-ID vast. Voorspel de temperatuur uit een gevalideerd model en corrigeer alleen met verse onafhankelijke metingen. De logger bewaart x, P, innovaties, status en versie. De supervisor kiest bij uitval een geteste gedegradeerde modus; lokale noodstop en luchtgevaarsalarm blijven afzonderlijk.
b
Formuleer storingstests en een onafhankelijk onzekerheidsbudget.
Injecteer een bias van 2 K, een stilstaande waarde, NaN, netwerkvertraging en uitval van beide probes. Controleer detectietijd, valse meldingen, herstel en onzekerheidsgroei. Het budget omvat ruis, ijking, gedeelde referentie, montage, tijd en modeltekort. Meet intervaldekking op een nieuwe proefreeks.
